結(jié)構(gòu)動力學(xué)ch2-3

1、1第二章 單自由度體系的振動22.7 對一般動力荷載的響應(yīng) v1、瞬時沖量設(shè)體系在t=0時處于靜止?fàn)顟B(tài)，然后施加瞬時沖量S。ttPS(在時間 內(nèi)作用荷載P，其沖量 。mS0v體系將產(chǎn)生初速度 ，但初位移仍為零。)0(sin)(ttmSty 在t=0時作用瞬時沖量S所引起的動力響應(yīng)為：32.7 對一般動力荷載的響應(yīng) )()(sin)(ttmStytt如果在 時作用有瞬時沖量S，則在 以后任一時刻的動力響應(yīng)為：)0(sin)(ttmSty4 )(sin)(ttmdpdy)()(sin)(ttmSty2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) v2、無阻尼Duhamel積分)(tpt)(pddp)( 任意的一般性

2、荷載 ，在時刻 的荷載強(qiáng)度為 , 在一短時間間隔 范圍內(nèi)作用這荷載，則會在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生一個短持續(xù)時間的沖量 ， 沖量導(dǎo)致的響應(yīng)：5)(sin)(ttmdpdy)(sin)(ttmdpdy2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) 線性彈性體，總響應(yīng)為荷載作用時間的全部微分響應(yīng)的疊加，即對下式進(jìn)行積分。整個荷載時程可看作由一系列瞬時沖量組成，每一個脈沖將產(chǎn)生一個如式所示的微分響應(yīng)。dytd)(ty 表示在 的整個響應(yīng)時程范圍內(nèi)微分沖量的微分響應(yīng)， 不是時間間隔 內(nèi) 的變化。6 作用：計算任意形式的動力荷載作用下無阻尼單自由度體系的動力響應(yīng)。01( )( )sin()ty tptdm無阻尼體系的杜哈梅Duhame

3、l積分地震荷載風(fēng) 荷載tdtpmtvtyty000)(sin)(1sincos)(自由振動 在荷載變化很不規(guī)則時，計算可能需要利用數(shù)值積分來進(jìn)行。如果初始位移和初始速度不為零，則總位移為:2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) 7tdthpty0)()()(式中：tmthsin1卷積積分（convolution integral）單位脈沖響應(yīng)t意義：表示在 時，在一個單位大小的脈沖作用下，結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)。2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) 寫成：8v3、有阻尼杜哈梅積分()( )sin()tddPddyetmt有阻尼體系在一般動力荷載下的響應(yīng)的杜哈梅積分，當(dāng) 時，微分沖量引起的動力響應(yīng)為:2.7 對一般動

4、力荷載的響應(yīng) 在整個荷載作用時間內(nèi)對這些微分響應(yīng)求和，則有阻尼體系的振動響應(yīng)為:tdtddtepmty0)()(sin)(1)()(sin1)()(temthdtdtdthpty0)()()(有阻尼體系對單位脈沖的動力響應(yīng)為:9 1) 荷載函數(shù)是可積的，則結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)可利用下式進(jìn)行計算。01( )( )sin()ty tptdmtdtddtepmty0)()(sin)(1)(2）對于許多實際情況，荷載由試驗數(shù)據(jù)提供，此時的響應(yīng)計算就必須借助于數(shù)值分析方法。2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) v4、杜哈梅積分的數(shù)值計算10無阻尼體系的動力響應(yīng)積分表達(dá)式 ： ttBttAtycos)(sin)()(t

5、dpmtA0cos)(1)(dpmtBtsin)(1)(001( )( )sin()ty tptdmsincoscossin)sin(ttt杜哈梅積分的數(shù)值計算，實質(zhì)上就是對上式進(jìn)行數(shù)值積分。其中：2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) 11三種基本的數(shù)值計算近似方法，其求和表達(dá)式為：cos)()(pattamdamtA0)()(1)(1210)(Naaaata討論積分項)(tAtdpmtA0cos)(1)(2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) 考慮等時間增量，令) 1(1）簡單求和法 ：NNaaaaata1210222)(NNaaaaata2424)(1210)2(2）梯形法則 ：)3(3）辛普森（Simps

6、on）法則 ：12)()()(tatata1）簡單求和法：為了獲得整個響應(yīng)歷程特征，把方程寫成增量形式：2.7 對一般動力荷載的響應(yīng) )()()()(tatatata2）梯形法則：,21tt2目的：計算一系列相繼時刻 的響應(yīng)，其中兩相鄰時刻的間隔為 （用辛普森法則時 ）。)()2()(tatttata3）辛普森法則：)(tB積分項 可用相同的方法進(jìn)行計算。)(tat其中， 表示在時刻 所得到的和。ttBttAtycos)(sin)()(無阻尼體系動力響應(yīng)的數(shù)值解：132.8 阻尼理論與阻尼比的量測 v1、關(guān)于粘滯阻尼理論的討論)()()()(tptkytyctym ( )( )( )0my t

7、cy tky t單自由度體系，按照粘滯阻尼理論建立了體系的自由振動和強(qiáng)迫振動方程：( )sin()y tAttPtpsin)(0在簡諧荷載 作用下，設(shè)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：22( )cos()1sin ()1( /)y tAtAtAy A相應(yīng)的速度為：14時間t增加dt時相應(yīng)的位移增量為dy，故總功為：2022200)(coscAdttcAdtyycdtdtdyfWTTTd122AycAfd 等于橢圓所包圍的面積。df阻尼力 和位移y都隨時間變化，在一周期內(nèi)做的總功可以看成是在各個時間微量dt上所做功的總和。2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 22( )cos()1sin ()1( /)y tAtAt

8、Ay A2)/(1AycAycfd粘滯阻尼的阻尼力為：因此：表示阻尼力 和位移y之間呈橢圓型關(guān)系。df15 粘滯阻尼理論的耗能和外加荷載的頻率成正比，振動越快，每周耗散的能量越大。2cAUd2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 dU用 表示粘滯阻尼振動一個周期時的能量耗散，通常稱為耗能，即實驗結(jié)果表明：對于許多結(jié)構(gòu)振動一個周期的耗能與頻率無關(guān)，即耗能與振動的快慢無關(guān)。 粘滯阻尼理論的耗能就是一個橢圓面積，是個環(huán)，稱為滯回環(huán)。 利用粘滯阻尼理論分析結(jié)構(gòu)振動的結(jié)果，并不能與實驗結(jié)果很好地吻合，尤其是在能量耗散機(jī)理上表現(xiàn)出與實驗結(jié)論的不一致性。但是，粘滯阻尼理論使體系的振動微分方程保持為線性，計算簡便，因

9、此仍然得到廣泛應(yīng)用。16v2、阻尼比的量測2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 多數(shù)情況下，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度可以較容易地用物理方法進(jìn)行分析與計算，通常不可能用計算的方法來確定阻尼系數(shù)。許多結(jié)構(gòu)體系的阻尼必須直接用試驗的方法來量測。用實測結(jié)果計算結(jié)構(gòu)阻尼的幾個主要方法。自由振動衰減法共振放大法半功率譜法17a）自由振動衰減法2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 2/2nndnn )/ln(nkknyy)ln(21nkkdyynnkyky求解：如果 是在任一時刻的振動幅值，而 為 n周后的幅值，則阻尼比：方法：用任意手段使一個體系產(chǎn)生自由振動后，阻尼比可用相隔n周后量得的兩個位移幅值的比來確定。自由振動衰減試

10、驗：最簡單且最常用的方法18為對數(shù)衰減率。)/ln(nkknyy11ln()ln()22dkkk nk nyynyny 2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 自由振動方法的主要優(yōu)點：所需儀器設(shè)備少，可用任何簡便的方法產(chǎn)生振動。一般阻尼比都小于0.2，不考慮阻尼引起的頻率變化。d和 分別為無阻尼和有阻尼時的固有頻率。2/2nndnn 19典型的頻率響應(yīng)曲線tPsin0b)共振放大法 在結(jié)構(gòu)上作用包括共振頻率在內(nèi)的一系列較密分布頻率的簡諧荷載 ，然后分析振幅與荷載頻率之間的關(guān)系曲線，即結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線。 2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 任意給定頻率的動力放大系數(shù)是該頻率的響應(yīng)幅值與零頻率(靜止?fàn)顟B(tài))響應(yīng)

11、幅值的比值。阻尼比與共振時的動力放大系數(shù)是緊密相關(guān)的。201/021yy2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 0y1/y當(dāng)靜響應(yīng)和共振響應(yīng)幅值分別用 和 表示時，阻尼比為：maxy在實際加載時，施加準(zhǔn)確的共振頻率比較困難，而確定最大響應(yīng)幅值 則比較方便。 忽略了阻尼對頻率的影響，對于一般的結(jié)構(gòu)而言，引起的誤差很小。max0max02121yyyyd阻尼比：優(yōu)缺點：所需儀器也很簡單，但是，大多數(shù)加載體系不能在零頻率時工作，因此在產(chǎn)生靜位移時可能會出現(xiàn)困難。 21 半功率法：利用阻尼比對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)曲線有很大影響，根據(jù)曲線的變化特性來分析結(jié)構(gòu)阻尼比。2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 c)半功率譜法1/21

12、y方法：阻尼比由響應(yīng)減小到 時的頻率來確定，在此頻率下輸入為共振功率的一半。0/10/11212yyyy 22221/222221/20(1/)(2/) (1/)(2/) stYyYy 2/1222200)2()1 (221yy22將方程兩邊平方，求得頻率比為 ：2/1222200)2()1 (221yy2221221)/(21122112)()(212.8 阻尼理論與阻尼比的量測 得兩個半功率頻率為 ：23 阻尼比等于這兩個半功率頻率差值的一半。12)()(212.8 阻尼理論與阻尼比的量測 2/1在共振響應(yīng)幅值的 處作一條切割響應(yīng)曲線的水平線，此線與曲線相交的兩個頻率間的差值，即為阻尼比的

13、兩倍。優(yōu)點在于可以避免量測結(jié)構(gòu)靜響應(yīng)，但需要得到較高精度的共振響應(yīng)曲線。24 等效粘滯阻尼比 實際結(jié)構(gòu)并非粘滯阻尼體系。利用粘滯阻尼體系簡化的計算結(jié)論2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 試驗結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)在振動時，阻尼因素所起影響的大小主要取決于耗能的數(shù)值，與一個周期內(nèi)形成能量損耗的具體過程無顯著關(guān)系。建立等效粘滯阻尼比的計算理論。假設(shè)體系為一個等效粘滯阻尼（equivalent viscous damping）體系。 假設(shè)等效粘滯阻尼體系一個振動周期內(nèi)所損耗的能量正好與實際結(jié)構(gòu)在一個振動周期內(nèi)所損耗的能量相等，且兩者具有相等的位移振幅值。25 2AcUUeqed2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 等

14、效粘滯阻尼體系中的阻尼常數(shù)和阻尼比分別為等效阻尼常數(shù) 和等效阻尼比 。eqCeqdUeU實線表示實際結(jié)構(gòu)的滯回曲線（hysteretic curve），包圍面積為 ：虛線所表示的橢圓為等效的滯回曲線，包圍的面積為 ；兩者面積相等，并有相同的位移振幅A。2AUcdeq222kAUmcdeqeq 在簡諧荷載作用下發(fā)生共振時，慣性力和彈性力等值反向，根據(jù)平衡條件，阻尼力應(yīng)該與荷載值等值反向。26 2AUcdeq222kAUmcdeqeq即可得到等效阻尼常數(shù)和等效阻尼比。2.8 阻尼理論與阻尼比的量測 dU方法：測出荷載值、量測相應(yīng)的位移值，作出實際結(jié)構(gòu)的滯回曲線，此曲線的面積即為 ，于是利用式：27 在結(jié)構(gòu)實驗中