2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章算法初步統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例10.4變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案文含解析新人教A版

1、10.4變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例必備知識(shí)預(yù)案自診知識(shí)梳理1.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)定義:常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類(lèi):一類(lèi)是函數(shù)關(guān)系,另一類(lèi)是.當(dāng)自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同,相關(guān)關(guān)系是一種.(2)散點(diǎn)圖:表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖,它可直觀地判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示.若這些散點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域,則稱(chēng)兩個(gè)變量;若這些散點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域,則稱(chēng)兩個(gè)變量.(3)線性相關(guān)關(guān)系、回歸直線:如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在,就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫

2、做回歸直線.(4)非線性相關(guān):若散點(diǎn)圖上所有點(diǎn)看上去都在附近波動(dòng),則稱(chēng)此相關(guān)為非線性相關(guān).此時(shí),可以用來(lái)擬合.(5)不相關(guān):如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中,那么稱(chēng)變量間是不相關(guān)的.2.兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看,如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近,稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有,這條直線叫做.(2)回歸方程y=bx+a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)的回歸方程,其中a,b是待定系數(shù).b=ni=1(xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2=ni=1xiyi-nxyni=1xi2-nx2,a=y-bx.(3)通過(guò)求q=ni=1(

3、yi-bxi-a)2的最小值而得到回歸直線的方法,即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(4)相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2.當(dāng)r0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)r0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對(duì)值越接近于0時(shí),表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)|r|大于0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.(5)回歸分析模型擬合效果的判斷r2=1-i=1n(yi-yi)2ni=1(yi-y)2,r2越接近于1,表示回歸效果越好.3.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)分類(lèi)變

4、量:變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別,像這類(lèi)變量稱(chēng)為分類(lèi)變量.(2)22列聯(lián)表:假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量x和y,它們的值域分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱(chēng)22列聯(lián)表)為:xy總計(jì)y1y2x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+dk2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(其中n=a+b+c+d為樣本容量).(3)用k2的大小可以決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)h0,若k2值較大,就拒絕h0,即拒絕事件a與b無(wú)關(guān).考點(diǎn)自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)樣本相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系,也是一種因果關(guān)系.()

5、(2)利用散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.()(3)事件x,y關(guān)系越密切,則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的k2越大.()(4)回歸直線y=bx+a至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的一個(gè)點(diǎn).()(5)兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,它們的線性相關(guān)程度越強(qiáng).()2.某市食品研究部門(mén)為了解一種酒品的儲(chǔ)藏年份與芳香度之間的相關(guān)關(guān)系,在市場(chǎng)上收集了一部分不同年份的該酒品,并測(cè)定了其芳香度如下表.年份x014568芳香度y1.31.85.67.49.3由最小二乘法得到回歸方程y=1.03x+1.13,但不小心在檢測(cè)后滴到表格上一滴檢測(cè)液,污損了一個(gè)數(shù)據(jù),請(qǐng)你推測(cè)該

6、數(shù)據(jù)為()a.6.8b.6.28c.6.5d.6.13.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)50名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表,性別愛(ài)好不愛(ài)好合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050由k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)得k2=50(2015-105)2302025258.333.參照附表,得到的正確結(jié)論是()p(k2k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828a.有99.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”b.有99.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”c.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)

7、與性別有關(guān)”d.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”4.(2020全國(guó)1,文5)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:)的關(guān)系,在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn),由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,20)得到下面的散點(diǎn)圖:由此散點(diǎn)圖,在10 至40 之間,下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類(lèi)型的是()a.y=a+bxb.y=a+bx2c.y=a+bexd.y=a+bln x5.已知下列命題:回歸直線y=bx+a恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y),且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn);兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r就越接近于1;將

8、一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后,方差不變;在回歸方程y=2-0.5x中,當(dāng)解釋變量x增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量y平均減少0.5;在線性回歸模型中,r2表示解釋變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率,r2越接近于1,表示回歸效果越好;對(duì)分類(lèi)變量x與y,它們的隨機(jī)變量k2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō),k越小,“x與y有關(guān)系”的把握程度越大;兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好.則正確命題是.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都寫(xiě)在橫線上)關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】(1)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得以下散點(diǎn)圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,正確的是()a.r2r40r3r1b.r4r20r1r3c.r4r20r3r1d

9、.r2r40r10時(shí),正相關(guān);當(dāng)r0時(shí),正相關(guān);當(dāng)b0時(shí),負(fù)相關(guān).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)相關(guān)變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示,現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行線性相關(guān)分析,方案一:根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù),得到線性回歸方程y=b1x+a1,相關(guān)系數(shù)為r1;方案二:剔除點(diǎn)(10,21),根據(jù)剩下數(shù)據(jù)得到線性回歸方程:y=b2x+a2,相關(guān)系數(shù)為r2.則()a.0r1r21b.0r2r11c.-1r1r20d.-1r2r10(2)某市國(guó)慶節(jié)7天假期的樓房認(rèn)購(gòu)量(單位:套)與成交量(單位:套)的折線圖如圖所示,小明同學(xué)根據(jù)折線圖對(duì)這7天的認(rèn)購(gòu)量與成交量作出如下判斷:日成交量的中位數(shù)是16;日成交量超過(guò)日平均成交量的有2天;認(rèn)購(gòu)量與日

10、期正相關(guān);10月7日認(rèn)購(gòu)量的增量大于10月7日成交量的增量.上述判斷中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()a.1b.2c.3d.4考點(diǎn)回歸分析(多考向探究)考向1線性回歸方程及應(yīng)用【例2】(2020陜西寶雞質(zhì)檢)某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長(zhǎng),下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額),如下表1:表1年份x20152016201720182019儲(chǔ)蓄存款y/千億元567810為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,t=x-2 014,z=y-5得到下表2:表2時(shí)間代號(hào)t12345z01235(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程;(2)通過(guò)(1)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程;(3)用所求回歸

11、方程預(yù)測(cè)到2022年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?附:對(duì)于線性回歸方程y=bx+a,其中b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx解題心得回歸分析問(wèn)題的類(lèi)型及解題方法(1)求回歸方程根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量是否線性相關(guān),如不是,應(yīng)通過(guò)換元構(gòu)造線性相關(guān).利用公式,求出回歸系數(shù)b.待定系數(shù)法:利用回歸直線過(guò)(x,y)求系數(shù)a.(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè),把線性回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員違章行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):月份x12345違章駕駛員人數(shù)/y1201051009085(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸方程

12、;(2)預(yù)測(cè)該路口9月份的違章駕駛員人數(shù).參考公式:b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx,參考數(shù)據(jù):i=15xiyi=1 415.考向2非線性回歸方程【例3】(2020山東青島高三模擬)近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引了越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付.某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動(dòng)推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:x1234567y/十人次6112

13據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=cdx(c,d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型;(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數(shù)據(jù):yvi=17xiyii=17xivi100.5462.141.542 53550.123.47其中vi=lg yi,v=17i=17vi參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸方程v=+u中,=i=1nuivi

14、-nuvi=1nui2-nu2,=v-u解題心得1.根據(jù)樣本畫(huà)出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的分布,從整體看,如果散點(diǎn)沒(méi)有在某一條直線附近,稱(chēng)這兩個(gè)變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),即這兩個(gè)變量非線性相關(guān).2.借助于散點(diǎn)圖,與已學(xué)過(guò)的函數(shù)(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)的圖象相比較,找到合適的函數(shù)模型.3.通過(guò)變量轉(zhuǎn)換,把非線性回歸問(wèn)題化成線性回歸問(wèn)題,并求出線性回歸方程.4.再利用變量代換,可得非線性回歸方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2020山東淄博高三一模)根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù),1978年至2018年我國(guó)gdp總量從0.37萬(wàn)億元躍升至90萬(wàn)億元,實(shí)際增長(zhǎng)了243倍多,綜合國(guó)力大幅提升.將年份1978,19

15、88,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為t;y表示全國(guó)gdp總量,表中zi=ln yi(i=1,2,3,4,5),z=15i=15zi.tyzi=15(ti-t)2i=15(ti-t)(yi-y)i=15(ti-t)(zi-z)326.4741.90310209.7614.05(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表,判斷y=bt+a與y=cedt(其中e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適宜作為全國(guó)gdp總量y關(guān)于t的回歸方程類(lèi)型(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由),并求出y關(guān)于t的回歸方程.(2)使用參考數(shù)據(jù),估計(jì)2020年的全國(guó)gdp總量.附:線性回歸方程y=bx+a中斜率

16、和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx.n45678en的近似值551484031 0972 981考點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)【例4】(2020海南三亞模擬)自2017年起,部分省、市陸續(xù)實(shí)施了新高考,某省采用了“3+3”的選科模式,即考試除必考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科外,再?gòu)奈锢?、化學(xué)、生物、歷史、地理、思想政治六個(gè)學(xué)科中,任意選取三科參加高考,為了調(diào)查新高考中考生的選科情況,某地區(qū)調(diào)查小組進(jìn)行了一次調(diào)查,研究考生選擇化學(xué)與選擇物理是否有關(guān)系.已知在調(diào)查數(shù)據(jù)中,選物理的考生與不選物理的考生人數(shù)相同,其中選物理且選化學(xué)的人數(shù)占選物理人數(shù)的35

17、,在不選物理的考生中,選化學(xué)與不選化學(xué)的人數(shù)比為14.(1)若在此次調(diào)查中,選物理未選化學(xué)的考生有100人,試完成下面的列聯(lián)表.選科情況選化學(xué)不選化學(xué)合計(jì)選物理不選物理合計(jì)(2)根據(jù)第(1)問(wèn)的數(shù)據(jù),能否有99%把握認(rèn)為選擇化學(xué)與選擇物理有關(guān)系?(3)若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為選化學(xué)與選物理有關(guān)系,則選物理又選化學(xué)的人數(shù)至少有多少?(單位:千人;精確到0.001)附:k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).p(k2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解題心得1.2個(gè)明確(1)明確兩類(lèi)主體;(2)明確研究的兩個(gè)

18、問(wèn)題2個(gè)關(guān)鍵(1)準(zhǔn)確畫(huà)出22列聯(lián)表;(2)準(zhǔn)確求解k23個(gè)步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成22列聯(lián)表;(2)根據(jù)公式k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),計(jì)算k2的觀測(cè)值;(3)查表比較k2與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計(jì)判斷2.用k2的值可以決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)h0,若k2值較大,就拒絕h0,即拒絕事件a與事件b無(wú)關(guān);換一種說(shuō)法,計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值k越大,說(shuō)明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大,根據(jù)臨界表判斷k2大于的臨界值,然后下結(jié)論.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4每年六、七月份,我國(guó)長(zhǎng)江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南q鎮(zhèn)20092018年梅雨季節(jié)的降雨量(單位:mm

19、)的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計(jì)總體概率,解答下列問(wèn)題:(1)請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)q鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量.(2)q鎮(zhèn)的楊梅種植戶(hù)老李在犯愁,他過(guò)去種植的甲品種楊梅,畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大(把握超過(guò)八成).而乙品種楊梅20092018年的畝產(chǎn)量(單位:kg/畝)與降雨量的發(fā)生頻數(shù)(單位:年)如22列聯(lián)表所示(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失).請(qǐng)你幫助老李排解憂(yōu)愁,他來(lái)年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更小?(完善列聯(lián)表,并說(shuō)明理由)畝產(chǎn)量降雨量合計(jì)200,400)100,200)400,5007.879,由上表知7.879對(duì)應(yīng)0.005,所以,有99.5%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”,或在犯錯(cuò)

20、誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”,故選a.4.d結(jié)合題中散點(diǎn)圖,由圖像的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為y=a+blnx.5.對(duì)于,回歸直線y=bx+a恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y),可以不過(guò)任一個(gè)樣本點(diǎn),故錯(cuò)誤;對(duì)于,兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值就越接近于1,故錯(cuò)誤;對(duì)于,將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后,由方差的性質(zhì)可得方差不變,故正確;對(duì)于,在回歸方程y=2-0.5x中,當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量y平均減少0.5個(gè)單位,故正確;對(duì)于,在線性回歸模型中,r2表示解釋變量x對(duì)于預(yù)報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率,r2越接近于1,表示回歸效果越好,故正確;對(duì)于,對(duì)分類(lèi)變量x與y,它們的隨機(jī)變量k2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō),k越大,“x與y有關(guān)系”的把握程度越大,故錯(cuò)誤;對(duì)于,可用殘差平方和判斷模型的擬合效果,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故正確.其中正確的為.關(guān)鍵能力學(xué)案突破例1(1)a(2)b(1)題中圖1和圖3是正相關(guān),相關(guān)系數(shù)大于0;圖2和圖4是負(fù)相關(guān),相關(guān)系數(shù)小于0;圖1和圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中,所以相關(guān)性要強(qiáng),所以r1接近于1,r2接近于-1,由此可得r2r4r3r1,故選a.(2)因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)的絕對(duì)