2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練47拋物線文含解析北師大版

1、課時(shí)規(guī)范練47拋物線基礎(chǔ)鞏固組1.(2020福建廈門一模)若拋物線x2=ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,則a=()a.2b.4c.2d.42.o為坐標(biāo)原點(diǎn),f為拋物線c:y2=42x的焦點(diǎn),p為拋物線c上一點(diǎn),若|pf|=42,則pof的面積為()a.2b.22c.23d.43.(2020河北唐山一模,文8)拋物線x2=2py(p0)上一點(diǎn)a到其準(zhǔn)線和坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都為3,則p=()a.8b.6c.4d.24.f是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)p在拋物線上,點(diǎn)q在拋物線的準(zhǔn)線上,若pf=2fq,則|pq|=()a.92b.4c.72d.35.(2020河北邯鄲一模)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋有“

2、仙境之橋”之稱,它的橋形可近似地看成拋物線,該橋的高度為5 m,跨徑為12 m,則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a.2512 mb.256 mc.95 md.185 m6.已知拋物線e:y2=2px(p0)的準(zhǔn)線為l,圓c:x-p22+y2=4,l與圓c交于a,b兩點(diǎn),圓c與e交于m,n兩點(diǎn).若a,b,m,n為同一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn),則e的方程為()a.y2=xb.y2=3xc.y2=2xd.y2=23x7.(2020河南安陽三模)已知拋物線c:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線為l,l與x軸的交點(diǎn)為p,點(diǎn)a在拋物線c上,過點(diǎn)a作aal,垂足為a.若四邊形aapf的面積為14,且co

3、sfaa=35,則拋物線c的方程為()a.y2=xb.y2=2xc.y2=4xd.y2=8x8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)f的直線與拋物線交于a,b兩點(diǎn),過a,b分別作y軸的垂線,垂足分別為c,d,則|ac|+|bd|的最小值為.9.(2020江西萍鄉(xiāng)一模)已知拋物線c:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線l:x=-1,點(diǎn)m在拋物線c上,點(diǎn)m在準(zhǔn)線l上的射影為a,且直線af的斜率為-3,則amf的面積為.10.已知f為拋物線c:x2=2py(p0)的焦點(diǎn),曲線c1是以f為圓心,p4為半徑的圓,直線23x-6y+3p=0與曲線c,c1從左至右依次相交于p,q,r,s,則|rs|pq|=.綜合提

4、升組11.(2020廣東廣州一模)已知f為拋物線c:y2=6x的焦點(diǎn),過點(diǎn)f的直線l與拋物線c相交于a,b兩點(diǎn),且|af|=3|bf|,則|ab|=()a.6b.8c.10d.1212.已知拋物線c1:y2=2px(p0)與圓c2:x2+y2-12x+11=0交于a,b,c,d四點(diǎn).若bcx軸,且線段bc恰為圓c2的一條直徑,則點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為()a.116b.3c.113d.613.(2020河北衡水中學(xué)三模,理14)已知拋物線c:y2=4x的焦點(diǎn)為f,過點(diǎn)m(1,1)的直線與c交于a,b兩點(diǎn),若m恰好為ab的中點(diǎn),則|af|+|bf|=,直線ab的斜率為.14.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)

5、f在y軸的正半軸上,點(diǎn)a是拋物線上的一點(diǎn),以a為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點(diǎn)為f.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線交于p,q兩點(diǎn),連接qf并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)r,當(dāng)直線pr恰與拋物線相切時(shí),求直線m的方程.創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2020江西九江二模)已知拋物線c:x2=4y的焦點(diǎn)為f,直線l與拋物線c交于a,b兩點(diǎn),連接af并延長,交拋物線c于點(diǎn)d,若ab中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為|ab|-1,則當(dāng)afb最大時(shí),|ad|=()a.4b.8c.16d.16316.(2020江西上饒三模,理20)已知拋物線c:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為f,拋物線c上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最

6、小距離為1.(1)求拋物線c的方程;(2)若過點(diǎn)f作互相垂直的兩條直線l1,l2,l1與拋物線c交于a,b兩點(diǎn),l2與拋物線c交于c,d兩點(diǎn),m,n分別為弦ab,cd的中點(diǎn),求|mf|nf|的最小值.參考答案課時(shí)規(guī)范練47拋物線1.cx2=ay,p=a2=1,a=2.故選c.2.c利用|pf|=xp+2=42,可得xp=32.yp=26.spof=12|of|yp|=23.故選c.3.c設(shè)a(x0,y0),由題意得y0+p2=3,即p=6-2y0,又因?yàn)閤02=2py0,所以x02=2(6-2y0)y0,化簡得x02+4y02=12.又因?yàn)辄c(diǎn)a到原點(diǎn)的距離為3,所以x02+y02=9,解得x0

7、2=8,y02=1.又由題可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故選c.4.a記拋物線的準(zhǔn)線和對稱軸的交點(diǎn)為k.過點(diǎn)p作準(zhǔn)線的垂線,垂足為m,則|pf|=|pm|.由qfkqpm,得|fk|mp|=|qf|qp|,即1|mp|=13,所以|mp|=3.故|pf|=3,|qf|=32,所以|pq|=|pf|+|qf|=92.故選a.5.d建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)拋物線的解析式為x2=-2py,p0,因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以橋形對應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為185m.故選d.6.c如圖,圓c:x-p22+y2=4的圓心cp2,0是拋物線e:y

8、2=2px(p0)的焦點(diǎn).圓c:x-p22+y2=4的半徑為2,|nc|=2,根據(jù)拋物線定義可得|na|=|nc|=2.a,b,m,n為同一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)a,n關(guān)于直線x=p2對稱,即xn+xa=p22=p,xn=32p,|na|=32p-p2=2,即2p=2,則e的方程為y2=2x.故選c.7.c過點(diǎn)f作ffaa,垂足為f.設(shè)|af|=3x,因?yàn)閏osfaa=35,所以|af|=5x,|ff|=4x.由拋物線的定義可知|af|=|aa|=5x,則|af|=2x=p,故x=p2.四邊形aapf的面積s=(|pf|+|aa|)|ff|2=(p+52p)2p2=14,解得p=2,故拋物線c的

9、方程為y2=4x.8.2由題意知f(1,0),|ac|+|bd|=|af|+|fb|-2=|ab|-2,即|ac|+|bd|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|ab|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|ab|為通徑,即|ab|=2p=4時(shí),為最小值,所以|ac|+|bd|的最小值為2.9.43設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)n,則|fn|=2.直線af的斜率為-3,afn=60,maf=60,|af|=4.由拋物線的定義可得|ma|=|mf|,amf是邊長為4的等邊三角形.samf=3442=43.10.215x2=2py,23x-6y+3p=012y2-20py+3p2=0.因?yàn)橹本€23x-6y+3p=0與曲線c,c1從左

10、至右依次相交于p,q,r,s,所以yp=p6,ys=32p.由直線23x-6y+3p=0過拋物線c:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)f,所以|rs|=|sf|-p4=ys+p2-p4=ys+p4,|pq|=|pf|-p4=yp+p2-p4=yp+p4,|rs|pq|=|sf|-p4|pf|-p4=3p2+p4p6+p4=74512=215.11.b由已知得拋物線c:y2=6x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為32,0,準(zhǔn)線方程為x=-32.設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),因?yàn)閨af|=3|bf|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.所以x1=3x2+3,x1=9x2,所以x1=92,x2=12.所

11、以|ab|=x1+32+x2+32=8.故選b.12.a圓c2:x2+y2-12x+11=0可化為(x-6)2+y2=52,故圓心為(6,0),半徑為5,由于bcx軸,且線段bc恰為圓c2的一條直徑,故b(6,-5),c(6,5).將b點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得25=12p,故p=2512,拋物線方程為y2=256x.聯(lián)立y2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故a點(diǎn)橫坐標(biāo)為116.故選a.13.42過點(diǎn)a,b,m分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足分別為a1,b1,m1,則|mm1|=2.根據(jù)梯形中位線定理,得|aa1|+|bb1

12、|=4.根據(jù)拋物線的定義,得|af|+|bf|=|aa1|+|bb1|=4.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),則直線ab的斜率為k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=421=2.14.解(1)設(shè)拋物線方程為x2=2py(p0).以a為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點(diǎn)為f,p=2,該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)由題知直線m的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,顯然,=16k2+960.設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),則x1+x2=4

13、k,x1x2=-24.由x2=4y,得y=x24,y=x2.拋物線在點(diǎn)px1,x124處的切線方程為y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,可得點(diǎn)rx12-42x1,-1,由q,f,r三點(diǎn)共線得kqf=kfr,x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4(x1+x2)2-2x1x2+16+16x1x2=0,(-24)2-4(4k)2-2(-24)+16+16(-24)=0,解得k2=14,即k=12,所求直線m的方程為y=12x+6或y=-12x+6.15.c設(shè)點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,

14、y2),d(x3,y3),由拋物線的定義得|af|+|bf|=y1+y2+2,因?yàn)閥1+y22=|ab|-1,所以|af|+|bf|=2|ab|,所以cosafb=|af|2+|bf|2-|ab|22|af|bf|=3(|af|2+|bf|2)-2|af|bf|8|af|bf|6|af|bf|-2|af|bf|8|af|bf|=12,當(dāng)且僅當(dāng)|af|=|bf|時(shí),等號成立.所以當(dāng)afb最大時(shí),afb為等邊三角形,abx軸.不妨設(shè)此時(shí)直線ad的方程為y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.所以|ad|=16.故選c.16.解(1)拋物線c上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1,p2=1,解得p=2,拋物線c的方程為y2=4x.(2)由(1)可知焦點(diǎn)為f(1,0).由已知可得abcd,兩直線ab,cd的斜率都存在且均不為0.設(shè)直線ab的斜率為k,則直線cd的斜率為-1k,直線ab的方程為y=k(x-1).聯(lián)立y2=4x,y=k(x-1),消去x得ky2-4