1986年試題全國(guó)高考試題(高考數(shù)學(xué)試卷)

1、198阿試題(理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))，把正確一、本題每一個(gè)小題都給出代號(hào)為 A,B,C,D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的 結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi).(1)在下列各數(shù)中，已表示成三角形式的復(fù)數(shù)是(A)2(cosism)(B)2(cos+isin)4444兀K(C)2(sin + 1COS)兀)-2 (si 口 ic csKeyB；、本題考查基本概念和基本運(yùn)算(2)函數(shù)y=(0.2)-x+1的反函數(shù)是(A)y=log 5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log 5(x-1) (D)y=log 5x-1Key(2)C;極坐標(biāo)方程P cos 8 =：表示(A) 一條平行于x軸的直線(B) 一條垂

2、直于x軸的直線(C) 一個(gè)圓(D)一條拋物線【 1Key(3)B;(4)函數(shù)y =泛蚯短盤(pán)(A)周期為三的奇函數(shù))周期為三的偶函數(shù)乙2(周期為巴的寄函數(shù))周期為三的偶函數(shù)44KeyA；(5)給出20個(gè)數(shù)87 91 94 88 93 91 89 87 92 8690 92 88 90 91 86 89 92 95 88它們的和是(A)1789 (B)1799(C)1879(D)1899Key B；(6)設(shè)甲是乙的充分條件乙是丙的充要條件，丙是丁的必要條件，那么丁是甲的(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要的條件Key (6)D；(7)如果方程X2+y2+Dx+Ey+F=

3、0(D 2+E2-4F0)所表示的曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么必有(A)D=E (B)D=F(C)E=F (D)D=E=FKey (7)A； (8)在正方形SGiG2G3中E、F分別是G1G2及G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE、SF及EF把 這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G那么，在四面體S EFG 中必有(A)SG EFG所在平面(B)SD EFG所在平面(C)GF，zSEF所在平面(D)GD LzXSEF所在平面第8頁(yè)共8頁(yè)Key (8)A;(9)在下列各圖中，y=ax2+bx與y=ax+b(abw 0)的圖象只可能是KeyD;（10）當(dāng)x e

4、 -1,0時(shí)，在下面關(guān)系式中正確的是(A)冗-arc cos(-x) = arc sin V1(B)-arcsin(-x) = arccosJT-?(C)兀-arccosx = arc sinVl -)n -arcsinx = arccos/lx2Key (10)C.二、只要求直接寫(xiě)出結(jié)果.求方程2封呻=我的解已知心二, 1 產(chǎn)，求+1的值.在xoy平面上，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為（0,0）、（1,0）、（2,1）及（0,3）,求這個(gè)四邊形 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積.(4)求 lim3 + (-2)ny+1 + (-2)求（貨_了展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).X（6）己知 fin 日-

5、cos 9 =；，求si/S -cos3 日的值.Key 二、本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，只需直接寫(xiě)出結(jié)果1325冉=5溝=-$;。；不甩P-F（心（5）-40;316三、如圖,AB是圓。的直徑,PA垂直于圓O所在的平面。是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn). 求證:平面PAC垂直于平面PBC.Key 三、本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系及推證能力 證明：設(shè)圓O所在平面為a .由已知條件,PA面a，又BC在平面a內(nèi)，因此 PAX BC.因此/ BCA是直角,因此BCAC.而PA與AC是APAC所在平面內(nèi)白相交直線, 因此BC， PAC所在平面.從而證得 PBC所在平面與 PAC所在平面垂直.四、當(dāng)s

6、in2x0時(shí)，求不等式 logo.5（x2-2x-15）logo.5（x+13）的解集.Key 四、本題主要考查對(duì)數(shù)和不等式知識(shí)及運(yùn)算推導(dǎo)能力.解:滿足sin2x0的x取值范圍是E log0.5（x+13）以及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及性質(zhì)得到x2-2x-150,x+130,解不等式得：-4x7,解不等式及得-13x5.綜合、及，可知所求的解集為（-九,-3） U （2 兀,7）.五、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，在y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上給定兩點(diǎn)A、B.試在x軸的 正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上求點(diǎn)C,使/ ACB取得最大值.Key 五、本題主要考查三角函數(shù)、函數(shù)最大（?。┲抵R(shí)及分析問(wèn)題的能力 解:設(shè)

7、點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,a）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,b）,0b0.t己/ BCA= a ,/ OCB= B，則/ OCA= a + 0jr顯然,。六、已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素,A A B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的 集合C的個(gè)數(shù)：（1 ）。仁兒=：&,且。中含有3個(gè)元素，（II ）C c A# 0（0表示空集） Key 六、本題考查排列組合、集合等知識(shí)與分析問(wèn)題的能力解法一：因?yàn)锳、B各含12個(gè)元素,AH B含4個(gè)元素，因此，A UB元素的個(gè)數(shù)是12+12-4=20.滿足題目條件（I ）的集合的個(gè)數(shù)是武於在上面集合中，還滿足AC C =。的集合C的個(gè)數(shù)是C：, 因此,所求集合C的個(gè)

8、數(shù)是C Cl = 1084.解法二：由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個(gè)數(shù)是12-4=8.因此，在AUE中只含A中1個(gè)元素的所要求的集合C的個(gè)數(shù)為含A中2個(gè)元素的集合C的個(gè)數(shù)是,含A中3個(gè)元素的集合C的個(gè)數(shù)是C：工,所以，所求集合C的個(gè)數(shù)是&或 +4 C； + 3 = 1084.七、過(guò)點(diǎn)M(-1,0)的直線11與拋物線y2=4x交于Pi、P2兩點(diǎn).記:線段P1P2的中點(diǎn)為P;過(guò)點(diǎn)可口這 個(gè)拋物線的焦點(diǎn)F的直線為I2;|i的斜率為k.試把直線12的斜率與直線li的斜率之比表示為k的 函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，同時(shí)說(shuō)明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函 數(shù).Key 七、本題考查直

9、線、拋物線和函數(shù)的基本知識(shí)及綜合推導(dǎo)能力.解：由已知條件可知，直線li的方程是y=k(x+1),把代入拋物線方程y2=4x,整理后得到k2X2+(2k2-4)x+k2=0,因此，直線11與該拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是：(2k2-4)2-4k2 - k20,及kw0.解出與得到k (-1,0)U(0,1).現(xiàn)在設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為&則直攜1的斜率k =-L,而直繳口的斜率匕=工,X -1記曲)=與，則F(k)=/1 今記11與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)P1與P2的橫坐標(biāo)分別為x1和x2,由韋達(dá)定理及得4.2k2 一汽+其富=-n-(1,0) U (0,1) K因此x = 1 2 ”二百 、由此得到口嶗二二;，

10、1- K定義域是(-1,0)U(0,1).顯然小Y在(10)內(nèi)遞增，在。I)內(nèi)遞減，所以EQ =在。D內(nèi)為1 -K增函數(shù)，在(10)內(nèi)為減函數(shù)一注:可先解出k的取值范圍作為定義域，后給出函數(shù)f(k)的表達(dá)式，也可先給出函數(shù)表達(dá)式，后解 出k的取值范圍作為定義域.2八.已知或i A且4+1 = 式） +12）弒證七數(shù)列保J3 笈:+1n或者對(duì)任意自然數(shù)口都滿足4父4小或者對(duì)任意自然她都滿足% %+Key 八、本題主要考查數(shù)列的概念及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的能力證明：首先，漢南+3）宜.I乳2】n 3x1 +111_2%（1-端）3彳+1由于X10,由數(shù)列xn的定義可知xn0,（n=1,2 ）所以,4.1 -/與1 -復(fù)一的符號(hào)相同.Q）假定盯 0（n N）.顯然，n = l時(shí),1-k；”設(shè) 11 =卜時(shí)1應(yīng)”那么當(dāng)n=k+1時(shí)1.V2 - =1%（立+3）產(chǎn)因此,對(duì)一切自然數(shù)n都有1-熄。,從而對(duì)一切自然數(shù)n都有Xn+1Xn.