偏導數(shù)和全微分課件VIP

1、偏導數(shù)和全微分l 對一元函數(shù)：對一元函數(shù)： yf x0000limxf xxf xfxx 導數(shù)導數(shù)描述了函數(shù)在描述了函數(shù)在0 xx處的瞬時處的瞬時變化率變化率，它的幾何意義就是函數(shù)曲線上點它的幾何意義就是函數(shù)曲線上點00,xf x處的處的切線的斜率切線的斜率.l 對于多元函數(shù)，我們同樣感興趣它在某處的瞬時變化率問題，對于多元函數(shù)，我們同樣感興趣它在某處的瞬時變化率問題，6-4 偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)與全微分以二元函數(shù)以二元函數(shù) 為例，為例，,zf x y將自變量將自變量 固定時，固定時，,zf x y就是就是 的一個一元函數(shù)的一個一元函數(shù), 這函數(shù)求得的對這函數(shù)求得的對 導數(shù)，稱作導數(shù)，稱作,z

2、f x y對對 的的偏導數(shù)偏導數(shù)，類似地，可考慮，類似地，可考慮,zf x y對對 的的偏導數(shù)偏導數(shù).xxxyy偏導數(shù)和全微分 1. 一階偏導數(shù)一階偏導數(shù)(偏微商偏微商)的定義的定義定義定義 設函數(shù)設函數(shù),zf x y 在點在點00,xy 的某一鄰域內(nèi)有定義，的某一鄰域內(nèi)有定義，00000,limxxf xf xyyx若若 存在，則稱此存在，則稱此極限極限為為00000,limyfyyyyxf x若若存在，則稱此存在，則稱此極限極限為為函數(shù)函數(shù),zf x y在點在點00,xy處處對對 的偏導數(shù)的偏導數(shù)，記作，記作x函數(shù)函數(shù),zf x y在點在點00,xy處處對對 的偏導數(shù)的偏導數(shù)，記作，記作y

3、00000000,x xx xyx xyy yy yy yzfzfxyyy或或00,xyzx00,f xyx00,xyxz00,xfxy或或偏導數(shù)和全微分如果函數(shù)如果函數(shù),zf x y在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)每一點內(nèi)每一點, x y處對處對 和對和對 的的xy的偏導數(shù)都存在，那么我們就說函數(shù)的偏導數(shù)都存在，那么我們就說函數(shù),zf x y在在 D 內(nèi)可導，內(nèi)可導，它在它在 D 內(nèi)的偏導數(shù)仍是內(nèi)的偏導數(shù)仍是x和和y的二元函數(shù)，稱為的二元函數(shù)，稱為偏導函數(shù)偏導函數(shù)，簡稱，簡稱偏導數(shù)偏導數(shù)，記為，記為,xxzfzfx yxx或或,yyzfzfx yyy求偏導方法求偏導方法：只需將：只需將其它變量視為常數(shù)其

4、它變量視為常數(shù)，按一元函數(shù)求導則可，按一元函數(shù)求導則可.偏導數(shù)和全微分例例1.,.cos),(22yfxfyexyyxyxfzx求設解解xfyf例例2 設，）0, 0(),(yxxyxfy.,yfxf求解解xfyf,cos2yeyxx.sin2yexyx,1yyx.ln xxy偏導數(shù)和全微分例例3解法解法1 .|),ln(),()2, 1(22xzyxxyxfz求設2yz)2 ,(xf),4ln(2xx) 2, 1(xz1)4ln(2xxxdxd1)42)4(ln(222xxxx.525ln 解法解法2xz.2)ln(22222yxxyx) 2, 1(xz.525ln (先代后求)(先求后代)

5、偏導數(shù)和全微分例例4 設.|)2()2(arctan)0, 2(322yzyxxyyyxz求解解2|xz), 2(yz,2arctany)0, 2(|yz0|), 2(ydyydz0|2arctanydyyd02|4121yy.21偏導數(shù)和全微分),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點 (x , y , z) 處對 x 的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導數(shù)定義為(請自己寫出)例例5.u,.sin)(2222zyuxuxzyxu及求設解解xuyu,cos2222x

6、xxz ,22yz).(222yxzzu偏導數(shù)和全微分二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:0000),(dd),(xxyxfxyxfx0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點 M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M對 y 軸的偏導數(shù)和全微分函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在該點不一定連續(xù)不一定連續(xù).一元

7、函數(shù)在某一元函數(shù)在某點可導，則在點可導，則在該點連續(xù)該點連續(xù).偏導數(shù)和全微分偏導數(shù)的幾何意義說明了偏導數(shù)的幾何意義說明了: 二元函數(shù)的偏導數(shù)存在二元函數(shù)的偏導數(shù)存在 , 只是表明函數(shù)沿只是表明函數(shù)沿 x 和和 y 軸方向是連續(xù)的軸方向是連續(xù)的 , 而二元函而二元函數(shù)在一點處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù)數(shù)在一點處連續(xù)必須是沿空間的任何方向均連續(xù), 故由偏導數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù)故由偏導數(shù)存在不能推出函數(shù)連續(xù).偏導數(shù)和全微分2. 高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)設 z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz)(yzx

8、)(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導數(shù) .按求導順序不同, 有下列四個二階偏導22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx數(shù):偏導數(shù)和全微分 若函數(shù)若函數(shù) 的兩個混合偏導數(shù)的兩個混合偏導數(shù)和和 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),則在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階則在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階偏導數(shù)必相等偏導數(shù)必相等, 即即:,f x y,yxfx y,xyfx y定理定理1,.xyyxfx yfx yx yD *證xyf及及yxf稱為稱為混合偏導數(shù)混合偏導數(shù).偏導數(shù)和全微分例例6 設 ，求二階偏導數(shù).xyyez 解解xzyz

9、,2xyey,)1 (xyexyxxz,3xyeyxyzxyxyexyey22xyexyy)2(2yxzxyxyyexyey)1 ( xyeyxyy)1 (,)2(2xyexyy yyzxyxyexyxxe)1 ( xyexyxx)1 (.)2(2xyeyxx注意注意: :此處yxxyzz.的連續(xù)函數(shù)與是與因為yxzzyzxy偏導數(shù)和全微分類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關于 x 的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關于 x 的 n 1 階偏導數(shù) , 再關于 y 的一階) (yyxznn1偏導數(shù)為11nnxz.8),(個三階偏導數(shù)

10、共有一個二元函數(shù)yxf偏導數(shù)和全微分例例7 證明 滿足平面拉普拉斯方程.22lnyxz證證xz),ln(2122yxz,22yxx22xz22222)(2)(yxxxyx,)(22222yxxy利用對稱性 , 有22yz.)(22222yxyx22xz. 022yz 一個含有未知函數(shù)的偏導數(shù)的方程式稱作偏微分方一個含有未知函數(shù)的偏導數(shù)的方程式稱作偏微分方程，顯然，上述程，顯然，上述拉普拉斯方程是一個偏微分方程偏微分方程.偏導數(shù)和全微分例例8 證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證證xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu

11、方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0222222zyx拉普拉斯算子,3rx偏導數(shù)和全微分內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 偏導數(shù)的概念及有關結論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù) 混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2. 偏導數(shù)的計算方法 求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時, 應選擇方便的求導順序)偏導數(shù)和全微分應用 一元函數(shù) y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似計算估計誤差3.全微分設二元函數(shù)為設二元函數(shù)為 00( , )

12、, (,)fzf x yxyD全增量全增量：稱：稱 為函數(shù)在點為函數(shù)在點 處的全增量處的全增量. 0000(,)(,)zf xyxxyfy 00(,)xy偏導數(shù)和全微分. 00yx與的表達式是較復雜的，一般說來， z例如函數(shù)：處的全增量為在),(),(002yxxyyxf),(),(0000yxfyyxxfz200200)(yxyyxx,2220200020yxyxyyxyyxxy是是 與與 的二次以上的多項式的二次以上的多項式y(tǒng)x.項小得多很小時，后三項比前兩，當yx若令,22yx:則有所以有所以有),(20020oyyxxyz. 0,20020yyxxyzyx 可用可用 與與 的線性函數(shù)近

13、似代替的線性函數(shù)近似代替.z是關于是關于 與與 的線性函數(shù)的線性函數(shù)xy偏導數(shù)和全微分定義定義A xB y 為函數(shù)在為函數(shù)在 處的處的全微分全微分,記為：記為：00,xydzA xB y 設設 在點在點 的某個鄰域內(nèi)有定義的某個鄰域內(nèi)有定義,f x y00,xy 其中其中 只與點只與點 有關而與自變量的改變量有關而與自變量的改變量 無關無關,A B00,xy, xy22,xy 則稱則稱 在在 處處可微可微，并稱，并稱00,x y,f x y- 全增量全增量 的的線性主線性主要要部部分分z當當 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)每一點都可微時內(nèi)每一點都可微時,稱函數(shù)在稱函數(shù)在 可微可微.,f x yDD若若 的的

14、全增量全增量( , )f x y0000,zfxyxfxyy 可寫成可寫成 (6. 3) ,zA xB yo 0, 對于一般的二元函數(shù)，我們也希望能用 的一個線性函數(shù)來近似代替yx 與. z為此，引進全微分的概念全微分的概念.偏導數(shù)和全微分(2) 偏導數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim0000yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(00yxf函數(shù)在該點連續(xù)偏導數(shù)存在 函數(shù)可微 即偏導數(shù)和全微分定理定理2若若 在在 處可微處可微,f

15、x y00,xy定理定理3若若 在在 處可微處可微,則它在則它在 處處的兩個偏導數(shù)存在的兩個偏導數(shù)存在,且且 ,f x y00,xy00,xy0000,.xyfxyAfxyB 則則 在在 處必連續(xù)處必連續(xù).00,x y,f x y證證 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令并有這時|,| x),(),(0000yxfyxxf. 0|),(|xxoxA. 0,|)(|),(),(0000 xxxoAxyxfyxxf.),(),(lim00000Axyxfyxxfx),(00yxfx偏導數(shù)和全微分.),(00Byxfy同理可證因此有.),(00yyxfdzyxyxfx),(00 若若 在區(qū)域在區(qū)

16、域D 內(nèi)可微內(nèi)可微,則在則在D內(nèi)任一點內(nèi)任一點的全微分可寫成的全微分可寫成,f x y, x yd,xyzfx y dxfx y dy,df x yf x yfdxdyxy,df x yf x yfdxdyxy或寫成或寫成d,xyzfx y dxfx y dy定理定理3告訴我們偏導數(shù)存在是二元函數(shù)全微分存在的告訴我們偏導數(shù)存在是二元函數(shù)全微分存在的必必要條件，但不是充分條件要條件，但不是充分條件 .偏導數(shù)和全微分例例 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 它在(0,0)點的偏導數(shù)存在,注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0),(,22y

17、xyxyx0),(, 0yx但它在但它在(0,0)點并不連續(xù)點并不連續(xù). 另一方面，連續(xù)是可微的必另一方面，連續(xù)是可微的必要條件要條件.由此可見，這個函數(shù)在由此可見，這個函數(shù)在(0,0)點不可微點不可微.偏導數(shù)和全微分 若若 的偏導數(shù)的偏導數(shù) 與與 在點在點 的某個鄰域內(nèi)存在的某個鄰域內(nèi)存在, 且這兩個偏導數(shù)在且這兩個偏導數(shù)在處連續(xù)處連續(xù),則則 在點在點 處可微處可微.,zf x y,xfx y,yfx y00,xy00,xy,f x y00,xy定理定理4 (可微的充分條件可微的充分條件)證 考察函數(shù)的全增量),(),(0000yxfyyxxfz),(),(0000yyxfyyxxf),()

18、,(0000yxfyyxfxyyxxfx),(010(應用拉格日中值定理)(*)1,0(),(21200yyyxfy連續(xù)，所以在由于),(,00yxffyx偏導數(shù)和全微分),(010yyxxfx時，當0,0yx),(00yxfx),(200yyxfy).,(00yxfy故有),(010yyxxfx,),(100yxfx),(200yyxfy,),(200yxfy，其中0021時，當0)()(22yx代入到（*）式得xyxfzx),(00,),(2100yxyyxfy).(021oyx時再證事實上偏導數(shù)和全微分|02121yxyx,21由夾逼定理得,0lim210yx).(021oyx時即因此xyxfzx),(00.0),(),(00oyyxfy.