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1、九年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)第二十六章 二次函數(shù) (證明)1、定義:一般地,如果是常數(shù),那么叫做的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。2、二次函數(shù)的性質(zhì):(1)拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是軸;(2)函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系: 當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。(3) 頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是軸的拋物線的解析式形式為。3、二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于(包括重合)軸的拋物線。4、二次函數(shù)用配方法可化成:的形式,其中。5、二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:;。6、拋物線的三要素:開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)。 的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向:當(dāng)時(shí),開(kāi)口向上;當(dāng)時(shí),開(kāi)口向下;

2、相等,拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同。 平行于軸(或重合)的直線記作.特別地,軸記作直線。(p23-9,10)7、頂點(diǎn)決定拋物線的位置。幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)相同,那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同。8、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法 (1)公式法:,頂點(diǎn)是,對(duì)稱(chēng)軸是直線。 (2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點(diǎn)為(,),對(duì)稱(chēng)軸是直線。 (3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性:由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形,所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 9、拋物線中,的作用 (1)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小,這與中的完

3、全一樣。 (2)和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置。由于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線。,故:時(shí),對(duì)稱(chēng)軸為軸;(即、同號(hào))時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè);(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)。 (3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。 當(dāng)時(shí),拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,): ,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); ,與軸交于正半軸;,與軸交于負(fù)半軸。 以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè),則 。10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()11、 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式:。已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的

4、值,通常選擇一般式。 (2)頂點(diǎn)式:.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸,通常選擇頂點(diǎn)式。 (3)交點(diǎn)式:已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、,通常選用交點(diǎn)式:。12、直線與拋物線的交點(diǎn) (1)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, )。 (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,)。 (3)拋物線與軸的交點(diǎn)。二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定: 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交; 有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切; 沒(méi)有交點(diǎn)拋物線與軸相離。 (4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn):同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)有

5、2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 (5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn),由方程組 的解的數(shù)目來(lái)確定:方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn);方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn)。 (6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線與軸兩交點(diǎn)為,由于、是方程的兩個(gè)根,故:第二十七章相似 (證明)271 圖形的相似 概述如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。(相似的符號(hào):) 判定如果兩個(gè)多邊形滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)多邊形相似。 相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí),相似的兩個(gè)圖形全等。 性質(zhì)相

6、似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。 相似多邊形的面積比等于相似比的平方。272 相似三角形 判定1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等 3.三邊對(duì)應(yīng)成比例 4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 性質(zhì)1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比。 2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方273 位似 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形,

7、這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比。性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上,它們到位似中心的距離之比等于相似比。 位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn),不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。 根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱(chēng)。 注意 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似,所以?xún)蓚€(gè)圖形是位似圖形,必定是相似圖形,而相似圖形不一定是位似圖形; 2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè); 3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè),也可能位于位似中心的一側(cè); 4、

8、位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似; 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。第二十八章 直角三角形邊的關(guān)系 (選擇,填空,計(jì)算,證明)1、正切:定義:在rtabc中,銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的正切,記作tana,即tana=a的對(duì)邊/a的鄰邊。tana是一個(gè)完整的符號(hào),它表示a的正切,記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“”;tana沒(méi)有單位,它表示一個(gè)比值,即直角三角形中a的對(duì)邊與鄰邊的比;tana不表示“tan”乘以“a”;tana的值越大,梯子越陡,a越大;a越大,梯子越陡,tana的值越大。2、正弦:定義:在rtabc中,銳角a的對(duì)邊與斜邊

9、的比叫做a的正弦,記作sina,即sina=a的對(duì)邊/斜邊;3、余弦:定義:在rtabc中,銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做a的余弦,記作cosa,即cosa=a的鄰邊/斜邊;4、余切:定義:在rtabc中,銳角a的鄰邊與對(duì)邊的比叫做a的余切,記作cota,即cota=a的鄰邊/a的對(duì)邊;5、一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。(通常我們稱(chēng)正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣,也稱(chēng)正切、余切互為余函數(shù),可以概括為:一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù))用等式表達(dá):若a 為銳角,則sina = cos(90a)等等。6、記住特殊角的三角函數(shù)值表0,30,45,60,90。

10、7、當(dāng)角度在090間變化時(shí),正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小);余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。0sin1,0cos1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系:tncot=1,tan=sin/cos,cot=cos/sin,sin2+cos2=18、在abc中,c為直角,a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c,則有:(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2;(2)兩銳角的關(guān)系:ab=90;(3)邊與角之間的關(guān)系:sin等; (4)面積公式;(5)直角三角形abc內(nèi)接圓o的半徑為(a+b-c)/2;(6)直角三角形abc外接圓o的半徑為c/2。第二十九章投影與視圖 (選擇)

11、291投影 一般地,用光線照射物體,在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影(projection),照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面。 有時(shí)光線是一組互相平行的射線,例如太陽(yáng)光或探照燈光的一束光中的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(parallel projection).由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影(center projection)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。292三視圖 三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形

12、。 將人的視線規(guī)定為平行投影線,然后正對(duì)著物體看過(guò)去,將所見(jiàn)物體的輪廓用正投影法繪制出來(lái)該圖形稱(chēng)為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖:從物體的前面向后面投射所得的視圖稱(chēng)主視圖能反映物體的前面形狀,從物體的上面向下面投射所得的視圖稱(chēng)俯視圖能反映物體的上面形狀,從物體的左面向右面投射所得的視圖稱(chēng)左視圖能反映物體的左面形狀, 還有其它三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱(chēng)。特點(diǎn):一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀,不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果,另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助,基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正 主視、左視 高平齊 左視、俯視 寬相等 在許多情況下,只用一個(gè)投影不加任何注解,是不能完整清晰地表達(dá)和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示,三個(gè)形體在同一個(gè)方向的投影完全相同,但三個(gè)形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同??梢?jiàn)只用一個(gè)方向的投影來(lái)表達(dá)形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個(gè)方向投影,才能完整清晰地表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu)。 一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀,不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果,另外還有如剖面圖

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