1992年考研數(shù)學(xué)三真題及答案

1、1992年考研數(shù)學(xué)三真題及答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè)商品的需求函數(shù)為,其中分別表示為需求量和價(jià)格,如果商品需求彈性的絕對(duì)值大于1,則商品價(jià)格的取值范圍是_.(2) 級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開.(3) 交換積分次序_.(4) 設(shè)為階方陣,為階方陣,且,則_.(5) 將等七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行,那么,恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 設(shè),其中為連續(xù)函數(shù),則等于 ( )(A) (B) (C) 0

2、(D) 不存在(2) 當(dāng)時(shí),下面四個(gè)無窮小量中,哪一個(gè)是比其他三個(gè)更高階的無窮小量? ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)為矩陣,齊次線性方程組僅有零解的充分條件是 ( )(A) 的列向量線性無關(guān) (B) 的列向量線性相關(guān)(C) 的行向量線性無關(guān) (D) 的行向量線性相關(guān)(4) 設(shè)當(dāng)事件與同時(shí)發(fā)生時(shí),事件必發(fā)生,則 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布,則 ( )(A) 是的無偏估計(jì)量 (B) 是的最大似然估計(jì)量(C) 是的相合估計(jì)量(即一致估計(jì)量) (D) 與相互獨(dú)立三、(本題滿分5分)設(shè)函數(shù)問函數(shù)在處是否連續(xù)?若不連續(xù),修改函數(shù)在處的定義使之連續(xù)

3、.四、(本題滿分5分)計(jì)算五、(本題滿分5分)設(shè),求,其中有二階偏導(dǎo)數(shù).六、(本題滿分5分)求連續(xù)函數(shù),使它滿足.七、(本題滿分6分)求證:當(dāng)時(shí),.八、(本題滿分9分)設(shè)曲線方程.(1) 把曲線,軸,軸和直線所圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周,得一旋轉(zhuǎn)體,求此旋轉(zhuǎn)體體積;求滿足的.(2) 在此曲線上找一點(diǎn),使過該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大,并求出該面積.九、(本題滿分7分)設(shè)矩陣與相似,其中.(1) 求和的值.(2) 求可逆矩陣,使得.十、(本題滿分6分)已知三階矩陣,且的每一個(gè)列向量都是以下方程組的解:(1) 求的值; (2) 證明.十一、(本題滿分6分)設(shè)分別為階正定矩陣,試判定分

4、塊矩陣是否是正定矩陣.十二、(本題滿分7分)假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差,試求100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中,至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字).附表1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、(本題滿分5分)一臺(tái)設(shè)備由三大部分構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求的數(shù)學(xué)期望和方差.十四、(本題滿分4分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1) 求隨機(jī)變量的密度; (2) 求概率.答案一

5、、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】根據(jù),得價(jià)格,又由得,按照經(jīng)濟(jì)學(xué)需求彈性的定義,有,令,解得.所以商品價(jià)格的取值范圍是.(2)【答案】因題設(shè)的冪級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù),故可直接用比值判別法討論其收斂性.首先當(dāng)即時(shí)級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),后項(xiàng)比前項(xiàng)取絕對(duì)值求極限有當(dāng),即當(dāng)或時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.又當(dāng)和時(shí)得正項(xiàng)級(jí)數(shù),由級(jí)數(shù)：當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散.所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)是發(fā)散的.綜合可得級(jí)數(shù)的收斂域是.注：本題也可作換元后,按如下通常求收斂半徑的辦法討論冪級(jí)數(shù)的收斂性. (3)【答案】這是一個(gè)二重積分的累次積分,改換積分次序時(shí),先表成：原式由累次積分的內(nèi)外層積分限確定積分區(qū)域：, 即中最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)

6、,最高點(diǎn)的縱坐標(biāo),的左邊界的方程是,即的右支,的右邊界的方程是即的右半圓,從而畫出的圖形如圖中的陰影部分,從圖形可見,且所以(4)【答案】由拉普拉斯展開式, .(5)【答案】按古典概型求出基本事件總數(shù)和有利的基本事件即可. 設(shè)所求概率為,易見,這是一個(gè)古典型概率的計(jì)算問題,將給出的七個(gè)字母任意排成一行,其全部的等可能排法為7!種,即基本事件總數(shù)為,而有利于事件的樣本點(diǎn)數(shù)為,即有利事件的基本事件數(shù)為4,根據(jù)古典概型公式.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B)(2)【答案】(D)(3)【答案】(A)(4)【答案】(B)(5)【答案】(C)三、(本題滿分5分)函數(shù)在

7、處連續(xù),則要求.方法1:利用洛必達(dá)法則求極限,因?yàn)闉椤啊毙偷臉O限未定式,又分子分母在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)都存在,所以連續(xù)應(yīng)用兩次洛必達(dá)法則,有 .而,故,所以在處不連續(xù).若令,則函數(shù)在處連續(xù).方法2:利用變量代換與等價(jià)無窮小代換,時(shí),；.求極限,令,則有 .以下同方法1.四、(本題滿分5分)用分部積分法:, 其中為任意常數(shù).注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰先進(jìn)入積分號(hào)的問題,如果選擇不當(dāng)可能引起更繁雜的計(jì)算,最后甚至算不出結(jié)果來.在做題的時(shí)候應(yīng)該好好總結(jié),積累經(jīng)驗(yàn).五、(本題滿分5分)這是帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù),重要的是要分清函數(shù)是如何復(fù)合的.由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無關(guān),所以

8、本題可以先求,再求.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,首先求,由題設(shè) ,再對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),即得 .六、(本題滿分5分)兩端對(duì)求導(dǎo),得.記,有通解,其中為任意常數(shù).由原方程易見,代入求得參數(shù).從而所求函數(shù).七、(本題滿分6分)方法1：令,則.因?yàn)樵谶B續(xù),所以在上為常數(shù),因?yàn)槌?shù)的導(dǎo)數(shù)恒為0.故,即. 方法2：令,則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由拉格朗日中值定理知,至少存在一點(diǎn),使得由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,得 ,所以.由可得,當(dāng)時(shí),.八、(本題滿分9分)對(duì)于問題(1),先利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的公式求,并求出極限.問題(2)是導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用,首先建立目標(biāo)函數(shù),即面積函數(shù),然后求最大值.(1)將曲線表成是的函數(shù),套用旋轉(zhuǎn)體體積公

9、式.由題設(shè)知,得.(2) 過曲線上已知點(diǎn)的切線方程為,其中當(dāng)存在時(shí), .設(shè)切點(diǎn)為,則切線方程為.令,得,令,得.由三角形面積計(jì)算公式,有切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸夾的面積為.因令得(舍去).由于當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.故當(dāng)時(shí),面積有極大值,此問題中即為最大值.故所求切點(diǎn)是,最大面積為 .九、(本題滿分7分)因?yàn)?故可用相似矩陣的性質(zhì)建立方程組來求解參數(shù)和的值.若,則是的特征向量.求可逆矩陣就是求的特征向量.(1) 因?yàn)?故其特征多項(xiàng)式相同,即即.由于是的多項(xiàng)式,由的任意性,令,得. 令,得.由上兩式解出與.(2) 由(1)知.因?yàn)榍『檬菍?duì)角陣,所以馬上可得出矩陣的特征值,矩陣的特征值是.當(dāng)時(shí),由,得到屬于特征值

10、的特征向量. 當(dāng)時(shí),由,得到屬于特征值的特征向量.當(dāng)時(shí),由,.得到屬于特征值的特征向量.那么令,有.十、(本題滿分6分)對(duì)于條件應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)思路：一是的列向量是齊次方程組的解；另一個(gè)是秩的信息即.要有這兩種思考問題的意識(shí).(1) 方法1：令,對(duì)3階矩陣,由,知必有,否則可逆,從而,這與矛盾. 故,用行列式的等價(jià)變換,將第三列加到第二列上,再按第二列展開,有.解出.方法2：因?yàn)?故中至少有一個(gè)非零列向量.依題意,所給齊次方程組有非零解,得系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān),于是,以下同方法一.(2) 反證法：對(duì)于,若,則可逆,那么.與已知條件矛盾.故假設(shè)不成立,.十一、(本題滿分6分)在證明一個(gè)矩陣是正定

11、矩陣時(shí),不要忘記驗(yàn)證該矩陣是對(duì)稱的.方法1：定義法.因?yàn)榫鶠檎ň仃?由正定矩陣的性質(zhì),故,那么,即是對(duì)稱矩陣.設(shè)維列向量,其中,若,則不同時(shí)為0,不妨設(shè),因?yàn)槭钦ň仃?所以.又因?yàn)槭钦ň仃?故對(duì)任意的維向量,恒有.于是,即是正定二次型,因此是正定矩陣.方法2：用正定的充分必要條件是特征值大于0,這是證明正定時(shí)很常用的一種方法.因?yàn)榫鶠檎ň仃?由正定矩陣的性質(zhì),故,那么,即是對(duì)稱矩陣.設(shè)的特征值是的特征值是由均正定,知.因?yàn)橛谑?矩陣的特征值為因?yàn)榈奶卣髦等笥?,所以矩陣正定.十二、(本題滿分7分)設(shè)事件“每次測(cè)量中測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6”,因?yàn)?,即.根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)則有：.

12、設(shè)為100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布.根據(jù)二項(xiàng)分布的定義,則至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率為：.根據(jù)泊松定理,對(duì)于成功率為的重伯努利試驗(yàn),只要獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)充分大,而相當(dāng)小(一般要求),則其成功次數(shù)可以認(rèn)為近似服從參數(shù)為的泊松分布,具體應(yīng)用模式為若,則當(dāng)充分大,相當(dāng)小時(shí)當(dāng)近似服從參數(shù)為的泊松分布,即 .設(shè)為100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中事件出現(xiàn)的次數(shù),則服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布.故.十三、(本題滿分5分)令隨機(jī)變量.依題意相互獨(dú)立,且分別服從參數(shù)為0.1,0.2,0.3的分布,即01 0.90.1 010.80.2010.70.3由題意知,顯然的所有可能取值為0,1,2,3,又相互獨(dú)立, 所以(1) , .由得出 因此的概率分布為01230.5040.39