單位圓與三角函數(shù)線

1、最新單位圓與三角函數(shù)線最新單位圓與三角函數(shù)線初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？OMP sin=OPMPcos=OPOMtan =OMMP當(dāng)OP=1時，sin=MP cos =OM最新單位圓與三角函數(shù)線設(shè)設(shè)P P（x,y)x,y)是是終邊上任一點終邊上任一點, ,線段線段0P0P的長度為的長度為 r r復(fù)習(xí)：任意角三角函數(shù)的定義復(fù)習(xí)：任意角三角函數(shù)的定義比值叫做的正弦，記作，即rysinrysin比值叫做的余弦，記作，即rxcosrxcos比值叫做的正切，記作，即xytanxytanxOP(x,y)y.角角的終邊的終邊最新單位圓與三角函數(shù)線1 1. .設(shè)設(shè)是一個任意角，

2、它的終邊與單位圓交于點是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P P（x x，y y），角），角的三角函數(shù)是怎樣定義的？的三角函數(shù)是怎樣定義的？sinycosxtan(0)yxx2.2.三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號分別如何？三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號分別如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. .3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其數(shù)學(xué)意義如何？其數(shù)學(xué)意義如何？ sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等. .4.4.角是一個幾何概念，同時角的大小也具有數(shù)量特征角是一個幾何

3、概念，同時角的大小也具有數(shù)量特征. .我們從數(shù)我們從數(shù)的觀點定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何的觀點定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一意義，就能實現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一. .可以用何種幾何元素表示任可以用何種幾何元素表示任意角三角函數(shù)值？意角三角函數(shù)值？ 最新單位圓與三角函數(shù)線 由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角的各種三角函數(shù)我們都是用的各種三角函數(shù)我們都是用比值比值來表示的，來表示的，或者說是用或者說是用數(shù)數(shù)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)來表示的，今天我們再來學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種的

4、另一種表示方法表示方法幾何表示法幾何表示法 最新單位圓與三角函數(shù)線新課講授新課講授一、單位圓：一、單位圓： 1、定義：定義：一般地，我們把半徑為1的圓稱為單位圓單位圓。oyxPMN2、單位圓與x軸的交點： 單位圓與y軸的交點： （1，0）和（-1，0）（0，1）和（0，-1）3、正射影：正射影：過P作PM垂直X軸于點M， PN垂直Y軸于點N，則點M、N分別 是點P在X軸、Y軸上的正射影正射影 AT最新單位圓與三角函數(shù)線 問題問題1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與單位圓為第一象限角，其終邊與單位圓的交點為的交點為P P（x x，y y），則），則 ， 都是正數(shù)，都是正數(shù)，你能分別

5、用一條線段表示角你能分別用一條線段表示角的正弦值和余弦值嗎？的正弦值和余弦值嗎？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx最新單位圓與三角函數(shù)線問題問題2 2：若角若角為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為為P P（x x，y y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，都是負(fù)數(shù)，此時角此時角的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M 最新單位圓與三角函數(shù)線A AT T問題問題1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一

6、象限角，其終邊與單為第一象限角，其終邊與單位圓的交點為位圓的交點為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，用是正數(shù)，用哪條有向線段表示角哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATx最新單位圓與三角函數(shù)線AT T問題問題2 2：若角若角為第四象限角，其終邊與單位為第四象限角，其終邊與單位圓的交點為圓的交點為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角此時用哪條有向線段表示角的正切值最合的正切值最合適？適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATx最新單位圓與三角函數(shù)線A AT TA AT

7、TP PO Ox xy yM M思考：思考：若角若角為第二象限角，其終邊與單位圓的交為第二象限角，其終邊與單位圓的交點為點為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時用哪條是負(fù)數(shù)，此時用哪條有向線段表示角有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxtanyATx最新單位圓與三角函數(shù)線tanyx思考：思考：若角若角為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為第三象限角，其終邊與單位圓的交點為為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，此時用哪條有向是正數(shù)，此時用哪條有向線段表示角線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyA

8、Tx最新單位圓與三角函數(shù)線思考：思考：根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？過點過點A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角的終邊或其反的終邊或其反向延長線相交于點向延長線相交于點T T，則，則AT=tan.AT=tan.A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P 我們稱有向線段OM為角的余弦線.根據(jù)實際需要，我們規(guī)定：根據(jù)實際需要，我們規(guī)定：OMOM與與X X軸軸同向同向時，方向為時，方向為正向正向，且有，且有正值正值X X；OMOM與與X X軸軸反向反向時，方向為時，方向為負(fù)向負(fù)向，且有，

9、且有負(fù)值負(fù)值X.X.有向線段：帶有方向的線段. 如:有向線段OM,始點為O點，終點為M點，方向為：由O點指向M點這樣，對任意角,都有： OMcos最新單位圓與三角函數(shù)線 我們把向量我們把向量 分別叫分別叫做做的的余弦線、正弦線和正切線余弦線、正弦線和正切線.,()OM MPATAT和和或或 最新單位圓與三角函數(shù)線xyoxyoxyoxyo的終邊的終邊的終邊的終邊TPMPMPMPMTAATATA()()()()最新單位圓與三角函數(shù)線例例1 1.作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線332（1） ；（；（2） 例2.作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線： （1） （

10、2） （3） 65cos,41cos? 例題3324 例2.比較三角函數(shù)值的大?。?例3.比較三角函數(shù)值的大?。?5cos,41cos?最新單位圓與三角函數(shù)線例例4.比較大?。罕容^大?。?1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函數(shù)線得解：由三角函數(shù)線得sin1cos1.5最新單位圓與三角函數(shù)線探究：探究：當(dāng)當(dāng)0/2時，總有時，總有 sintan.SPOAS扇形扇形AOPSAOTMPOA/2OA OA /2OA AT /2MPATsintan例例5 5：設(shè)：設(shè) 為銳角，試證為銳角，試證: : 1.1.P PO Ox xy yM證明：cossin 如圖示： = =cosOM =sinMP|,|MPMPOMOM1cossin1|OPOMMP 為銳角最新單位圓與三角函數(shù)線例例6. 利用單位圓中的三角函數(shù)線利用單位圓中的三角函數(shù)線.76tan54tan;76cos54cos;110sin40sin:00與與與比較大小若 ，試確定sin的取值