生活中的數(shù)學(xué)問題

1、生活中的數(shù)學(xué)問題對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)曾看過這樣一則謎語:“小小諸葛亮,穩(wěn)坐軍中帳.擺下八卦陣,只等飛來將.”動(dòng)一動(dòng)腦筋,這說的是什么呢?原來是蜘蛛,后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲的生動(dòng)情形.我們知道,蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方,也是它賴以謀生的工具. 你觀察過蜘蛛網(wǎng)嗎?它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來的呢?你心中是不是有一連串的疑問,好,下面就讓我來慢慢告訴你吧.在結(jié)網(wǎng)的過程中,功勛最卓著的要屬它的腿了.首先,它用腿從吐絲器中抽出一些絲,把它固定在墻角的一側(cè)或者樹枝上.然后,再吐出一些絲,把整個(gè)蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來,用一根特別的絲把這個(gè)輪廓固定住.為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架.它每抽一根絲,沿著腳手架,小

2、心翼翼地向前走,走到中心時(shí),把絲拉緊,多余的部分就讓它聚到中心.從中心往邊上爬的過程中,在合適的地方加幾根輻線,為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡,再到對面去加幾根對稱的輻線.一般來說,不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同.絲蛛最多,42條；有帶的蜘蛛次之,也有32條；角蛛最少,也達(dá)到21條.同一種蜘蛛一般不會(huì)改變輻線數(shù). 到目前為止,蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分,相臨的輻線間的圓周角也是大體 相同的.現(xiàn)在,整個(gè)蜘蛛網(wǎng)看起來是一些半徑等分的圓周,畫曲線的工作就要開始了.蜘蛛從中心開始,用一條極細(xì)的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲.這是一條輔助的絲.然后,它又從外圈盤旋著走向中心,同時(shí)在半徑上安上最后成網(wǎng)的

3、螺旋線.在這個(gè)過程中,它的腳就落在輔助線上,每到一處,就用腳把輔助線抓起來,聚成一個(gè)小球,放在半徑上.這樣半徑上就有許多小球.從外面看上去,就是許多個(gè)小點(diǎn).好了,一個(gè)完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了. 讓我們再來好好觀察一下這個(gè)小精靈的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線,越接近中心,每周間的距離越密,直到中斷.只有中心部分的輔助線一圈密似一圈,向中心繞去.小精靈所畫出的曲線,在幾何中稱之為對數(shù)螺線. 對數(shù)螺線又叫等角螺線,因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)和中心的連線與曲線上這點(diǎn)的切線所形成的角是一個(gè)定角.大家可別小看了對數(shù)螺線:在工業(yè)生產(chǎn)中,把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)；螺線的形狀,抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中,把軋刀的

4、刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀,它就會(huì)按特定的角度來切割草料,又快又好.貓捉老鼠問題：如果3只貓?jiān)?分鐘內(nèi)捉住了3只老鼠,那么多少只貓將在100分鐘內(nèi)捉住100只老鼠? 這是一個(gè)古老的趣題,常見的答案是這樣的：如果3只貓用3分鐘捉住了3只老鼠,那么它們必須用1分鐘捉住1只老鼠.于是,如果捉1只老鼠要花去它們1分鐘時(shí)間,那么同樣的3只貓?jiān)趌00分鐘內(nèi)將會(huì)捉住100只老鼠.遺憾的是,問題并不那么簡單.剛才的解答實(shí)際上利用了某個(gè)假定,它無疑是題目中所沒有談到的.這個(gè)假定認(rèn)為這3只貓把注意力全部集中于同一只老鼠身上,它們通過合作在1分鐘內(nèi)把它捉住,然后再聯(lián)合把注意力轉(zhuǎn)向另只老鼠. 但是,假設(shè)3只貓換一個(gè)做法

5、,每只貓各追捕1只老鼠,各花3分鐘把它們捉住.按照這種設(shè)想,3只貓還是用3分鐘捉住3只老鼠.于是,它們要花6分鐘去捉住6只老鼠,花9分鐘捉住9只老鼠,花99分鐘捉住99只老鼠.現(xiàn)在我們面臨著一個(gè)計(jì)算上的困難,同樣的3只貓究竟要花多長時(shí)間才能捉住第100只老鼠呢?如果它們還是要足足花上3分鐘去捉住這只老鼠,那么這3只貓得花l02分鐘捉住102只老鼠.要在100分鐘內(nèi)捉住100只老鼠這是題目關(guān)于貓捉老鼠的效率指標(biāo),我們肯定需要多于3只而少于4只的貓,因此答案只能是需要4只貓,雖然這有點(diǎn)浪費(fèi). 顯然,對于3只貓是怎樣準(zhǔn)確地計(jì)算貓捉老鼠這種行動(dòng)的時(shí)間,這個(gè)趣題沒做任何交代.因此,如果允許答案不唯一,那

6、么,答案可以是豐富多彩的,3只、4只、甚至更多.如果要求答案唯一的話,這個(gè)問題的唯一正確答案是：這是一個(gè)意義不明確的問題,由于沒有更多關(guān)于貓是怎樣捕捉老鼠的信息,因此無法回答這個(gè)問題. 這個(gè)簡單的趣題啟示我們,在解答一個(gè)數(shù)學(xué)問題（也包括其他問題）前,一定要仔細(xì)領(lǐng)會(huì)題目所給出的全部信息,既不要曲解題義,也不要人為添加條件以迎合所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案.當(dāng)然這個(gè)趣題也給了我們一個(gè)有益的人生啟示只有合作才能產(chǎn)生最佳的工作效益.表面涂漆的小積木的塊數(shù)一塊表面涂著紅漆的大積木（正方體）,被鋸成27塊大小一樣的小積木,那么,這些小積木中,（1）三面涂漆的有幾塊?（2）兩面涂漆的有幾塊?（3）一面涂漆的有幾塊? 這時(shí)

7、,就不能再用把積木鋸開的辦法來回答問題了.但只需認(rèn)真觀察一下,你就能發(fā)現(xiàn),把正方體鋸開以后,只有位于正方體八個(gè)角上的那些小積木,是三面涂漆的.也就是說,三面涂漆的小積木的塊數(shù),等于正方體的頂點(diǎn)數(shù),有8塊； 涂漆的那些小積木,位于正方體的兩個(gè)面的交界處,但不在正方體的角上（即頂點(diǎn)處）.因此,只需首先確定正方體的某條棱上出現(xiàn)的兩面涂漆的小積木的塊數(shù),而正方體有12條棱.于是,立即可以求得,兩面涂漆的小積木的塊數(shù)為1塊12=12塊； 一面涂漆的小積木,位于正方體每個(gè)面的中心部位.即不在正方體的頂點(diǎn)處,也不在棱上.因此,只需首先確定正方體的某一個(gè)面上出現(xiàn)的一面涂漆的小積木的塊數(shù),而正方體有6個(gè)面.于是

8、可得,一面涂漆的小積木的塊數(shù)為1塊6=6塊.通過觀察,找出解決問題的規(guī)律,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要任務(wù)之一.這樣,就能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識迅速而又有效地解決實(shí)際問題.根據(jù)上面歸納出來的分析方法,即使把這個(gè)正方體鋸成更多的小積木,我們也能輕松地 回答類似的問題. 建議班級購買一臺飲水機(jī) 在炎炎夏日里,同學(xué)們遇到的難事就是飲水問題,為了使同學(xué)們過一個(gè)衛(wèi)生清潔的夏季,班級決定出錢買一臺飲水機(jī),而每人又應(yīng)出多少錢呢?即使買了飲水機(jī),是否比過去每個(gè)學(xué)生每天買礦泉水更節(jié)省、更實(shí)惠?下面就來解答這個(gè)問題. 一、學(xué)生礦泉水費(fèi)用支出溫州市景山中學(xué)共有37個(gè)班級,假設(shè)每班學(xué)生平均為60人,那么全校就有6037=2220（人）.一

9、年中,學(xué)生在校的時(shí)間（除去寒暑假雙休日）大約為240天,設(shè)春季、夏季、秋季、冬季、各為60天,在班級沒有購買飲水機(jī)時(shí),學(xué)生解渴一般買礦泉水,設(shè)礦泉水每瓶為一元,學(xué)生春秋季每人二天1瓶礦泉水,則總共為60瓶.夏季每人每天1瓶,則總共也為60瓶,冬季每人每4天1瓶,總共為15瓶,則全年平均每名學(xué)生礦泉水費(fèi)支出： 60+60+（604）1=135(元)；全班學(xué)生礦泉水費(fèi)用 13560=8100(元)；全校學(xué)生礦泉水費(fèi)用：810037=299700(元).二、使用飲水機(jī)費(fèi)用 一臺冷熱飲水機(jī)的價(jià)格約為750元,1字牌大桶礦泉水為每桶10元,現(xiàn)每班都配備飲水機(jī).設(shè)每班春、季兩季、每2天1桶,則需60桶,夏

10、季每天2桶,則需120桶,冬季每6天1桶,則每班需20桶,則一學(xué)年每班需要“60+120+20=200（桶）,一學(xué)生每班水費(fèi)為20010=2000元.電費(fèi)折合為每學(xué)年每班為300元.則一學(xué)年配置飲水機(jī)每班水電費(fèi)2300元.所以,一學(xué)年每班飲水機(jī)等合計(jì)約為2300+7503=2550元；每個(gè)學(xué)生平均一學(xué)年的水電費(fèi)為250060=42.5元；景山中學(xué)全校全年飲水機(jī)等費(fèi)用約為372550=94350元； 顯然,通過計(jì)算,比較兩項(xiàng)開支費(fèi)用,各班購買一臺飲水機(jī)要經(jīng)濟(jì)實(shí)惠得多,一學(xué)年每個(gè)學(xué)生可以節(jié)?。?35-42.5=92.5元；每個(gè)班一學(xué)年可節(jié)?。?92.560=5550元；全校一學(xué)年可節(jié)?。?5503

11、7=205350元.205350元,一個(gè)了不起的數(shù)據(jù),而我們每天又可以喝上衛(wèi)生清潔、冷暖皆宜的飲水機(jī)的礦泉水,等我們畢業(yè)時(shí)還可以把飲水機(jī)贈(zèng)給下屆同學(xué),何樂而不為呢?我向昌樂二中提出倡議：在每個(gè)教室里配一臺飲水機(jī). 巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實(shí) 在現(xiàn)實(shí)生活中,人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟(jì)化,合理化但怎樣才能達(dá)到這樣的目的呢? 某報(bào)紙上報(bào)道了兩則廣告,甲商廈實(shí)行有獎(jiǎng)銷售：特等獎(jiǎng) 10000元 1名,一等獎(jiǎng)1000元 2名,二等獎(jiǎng)100元10名,三等獎(jiǎng)5元200名,乙商廈則實(shí)行九五折優(yōu)惠銷售.請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人?哪一家商廈提供給銷費(fèi)者的實(shí)惠大?面對問題我們并不能一目了然.于是我們首先作了一個(gè)隨機(jī)調(diào)查

12、.把全組的16名學(xué)員作為調(diào)查對象,其中8人愿意去甲家,6人喜歡去乙家,還有兩人則認(rèn)為去兩家都可以.調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人,但事實(shí)是否如此呢? 在實(shí)際問題中,甲商厚每組設(shè)獎(jiǎng)銷售的營業(yè)額和參加抽獎(jiǎng)的人數(shù)都沒有限制.所以我們認(rèn)為這個(gè)問題應(yīng)該有幾種答案. 一、苦甲商廈確定每組設(shè)獎(jiǎng),當(dāng)參加人數(shù)較少時(shí),少于213（1十210200=213人）人,人們會(huì)認(rèn)為獲獎(jiǎng)機(jī)率較大,則甲商廈的銷售方式更吸引顧客. 二、若甲商廈的每組營業(yè)額較多時(shí),它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的小.因?yàn)榧咨虖B提供的優(yōu)惠金額是固定的,共 14000元（10000 2000 10001000=14000）.假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是

13、14000元,則可求乙商廈的營業(yè)額為 280000元（ 14000 5=280000）.所以由此可得：（l）當(dāng)兩商廈的營業(yè)額都為280000元時(shí),兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多.（2）當(dāng)兩商廈的營業(yè)額都不足 280000元時(shí),乙商廈的優(yōu)惠則小于 14000元,所以這時(shí)甲商廈提供的優(yōu)惠仍是 14000元,優(yōu)惠較大.（3）當(dāng)兩家的營業(yè)額都超過280000元時(shí),乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元,而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時(shí),乙商廈所提供的實(shí)惠大. 像這樣的問題,我們在日常生活中隨處可見.例如,有兩家液化氣站,已知每瓶液化氣的質(zhì)和量相同,開始定的價(jià)也相同.為了爭取更多的用戶,兩站分別推出優(yōu)惠政策.甲站的辦法是實(shí)行七五折錯(cuò)售,乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售.兩站的優(yōu)惠期限都是一年.你作為用戶,應(yīng)該選哪家好? 這個(gè)問題與前面的問題有很大相同之處.只要通過你所需要的罐數(shù)來分析討論