韋達定理應用資料

1、韋達定理的應用一、典型例題例1：已知關于x的方程2x（m1）x1m=0的一個根為4，求另一個根。解：設另一個根為x1，則相加，得x例2：已知方程x5x8=0的兩根為x1，x2，求作一個新的一元二次方程，使它的兩根分別為和.解： 又代入得， 新方程為例3：判斷是不是方程9x10x2=0的一個實數(shù)根？解：二次實數(shù)方程實根共軛，若是，則另一根為，。以為根的一元二次方程即為.例4：解方程組解：設 . a=5. x-y=5 又xy=-6. 解方程組 可解得例5：已知rtabc中，兩直角邊長為方程x（2m7）x4m（m2）=0的兩根，且斜邊長為13，求s的值解：不妨設斜邊為c=13，兩條直角邊為a，b，則

2、2。 又a，b為方程兩根。ab=4m（m-2） s 但a，b為實數(shù)且 m=5或6 當m=6時， m=5 s.例6：m為何值時，方程8x（m1）xm7=0的兩根 均為正數(shù) 均為負數(shù) 一個正數(shù)，一個負數(shù) 一根為零 互為倒數(shù)解： m7 不存在這樣的情況。m7m=7 m=15.但使不存在這種情況【模擬試題】（答題時間：30分鐘）1. 設n為方程xmxn=0（n0）的一個根，則mn等于 2. 已知方程xpxq=0的一個根為2，可求得p= ,q= 3. 若方程xmx4=0的兩根之差的平方為48，則m的值為（ ）a8 b.8 c.8 d.44. 已知兩個數(shù)的和比a少5，這兩個數(shù)的積比a多3，則a為何值時，這

3、兩個數(shù)相等？5. 已知方程（a3）x1=ax有負數(shù)根，求a的取值范圍。6. 已知方程組的兩組解分別為，求代數(shù)式a1b2+a2b1的值。7. abc中，ab=ac， a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a=3,b和c是關于x 的方程xmx2m=0的兩個實數(shù)根，求abc的周長?！驹囶}答案】1. 1 2. 4，1 3. a 4. a=1或135. 3a2 提示：分a=3以及a3討論求解6. 13例1 已知pq198，求方程x2pxq0的整數(shù)根 (94祖沖之杯數(shù)學邀請賽試題) 解：設方程的兩整數(shù)根為x1、x2，不妨設x1x2由韋達定理，得 x1x2p，x1x2q 于是x1x2(x1x2)pq198，

4、 即x1x2x1x21199 (x11)(x21)199 注意到x11、x21均為整數(shù)， 解得x12，x2200；x1198，x20 例2 已知關于x的方程x2(12m)xm10的兩個根都是正整數(shù)，求m的值 解：設方程的兩個正整數(shù)根為x1、x2，且不妨設x1x2由韋達定理得 x1x212m，x1x2m1 于是x1x2x1x211， 即(x11)(x21)12 x1、x2為正整數(shù)， 解得x11，x25；x12，x23 故有m6或7 例3 求實數(shù)k，使得方程kx2(k1)x(k1)0的根都是整數(shù) 解：若k0，得x1，即k0符合要求 若k0，設二次方程的兩個整數(shù)根為x1、x2，由韋達定理得 x1x2

5、x1x22， (x11)(x21)3 因為x11、x21均為整數(shù)，所以 例4 已知二次函數(shù)yx2pxq的圖像與x軸交于(，0)、(，0)兩點，且1，求證：pq1 (97四川省初中數(shù)學競賽試題) 證明：由題意，可知方程x2pxq0的兩根為、由韋達定理得 p，q 于是pq， (1)1 (1)(1)11(因1) 一元二次方程根的判別式、判別式與根的個數(shù)關系、判別式與根、韋達定理及其逆定理 大綱要求 1.掌握一元二次方程根的判別式，會判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況。對含有字母系數(shù)的由一元二次方程，會根據字母的取值范圍判斷根的情況，也會根據根的情況確定字母的取值范圍； 2.掌握韋達定理及其簡單的應用；

6、 3.會在實數(shù)范圍內把二次三項式分解因式； 4.會應用一元二次方程的根的判別式和韋達定理分析解決一些簡單的綜合性問題。 內容分析 1.一元二次方程的根的判別式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式b2-4ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根， 當0時，方程沒有實數(shù)根 2.一元二次方程的根與系數(shù)的關系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a (2)如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q (3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)

7、為1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3.二次三項式的因式分解(公式法) 在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重點與常見題型 1.利用根的判別式判別一元二次方程根的情況，有關試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，如：關于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情況是（ ） （a）有兩個相等的實數(shù)根 （b）有兩個不相等的實數(shù)根 （c）沒有實數(shù)根 （d）不能確定 2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系求有關兩根的代數(shù)式的值，有關問題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填

8、空題，如： 設x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值是（ ） （a）15 （b）12 （c）6 （d）3 3在中考試題中常出現(xiàn)有關根的判別式、根與系數(shù)關系的綜合解答題。在近三年試題中又出現(xiàn)了有關的開放探索型試題，考查了考生分析問題、解決問題的能力。 考查題型 1關于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情況是（ ） （a）有兩個相等的實數(shù)根 （b）有兩個不相等的實數(shù)根 （c）沒有實數(shù)根 （d）不能確定 2設x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值是（ ） （a）15 （b）12 （c）6 （d）3 3下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是（ ） （a） 2y

9、2+5=6y（b）x2+5=25 x（c）3 x22 x+2=0（d）3x226 x+1=0 4以方程x22x30的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ） （a） y2+5y6=0 （b）y2+5y6=0 （c）y25y6=0 （d）y25y6=0 5如果x1，x2是兩個不相等實數(shù)，且滿足x122x11，x222x21， 那么x1x2等于（ ） （a）2 （b）2 （c）1 （d）1 6如果一元二次方程x24xk20有兩個相等的實數(shù)根，那么k 7如果關于x的方程2x2(4k+1)x2 k210有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 8已知x1，x2是方程2x27x40的兩根，則x1x2

10、，x1x2 ，（x1x2）2 9若關于x的方程(m22)x2(m2)x10的兩個根互為倒數(shù)，則m 二、考點訓練： 1、 不解方程，判別下列方程根的情況： （1）x2x=5 (2)9x262 +2=0 (3)x2x+2=0 2、 當m= 時，方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數(shù)根； 當m= 時，方程mx2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根； 3、 已知關于x的方程10x2(m+3)x+m7=0，若有一個根為0，則m= ，這時方程的另一個根是 ；若兩根之和為3/5 ，則m= ，這時方程的兩個根為 . 4、 已知32 是方程x2+mx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。 5、 求證：方程(m2+

11、1)x22mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。 6、 求作一個一元二次方程使它的兩根分別是15 和1+5 。 7、 設x1,x2是方程2x2+4x3=0的兩根，利用根與系數(shù)關系求下列各式的值： (1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1 解題指導 1、 如果x22(m+1)x+m2+5是一個完全平方式，則m= ; 2、 方程2x(mx4)=x26沒有實數(shù)根，則最小的整數(shù)m= ; 3、 已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)兩根的和與兩根的積相等，則m= ; 4、 設關于x的方程x26x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值

12、為 ; 5、 設方程4x27x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1x2 （3）x1 x2 （4）x1x2212 x1 6.實數(shù)s、t分別滿足方程19s299s10和且1999tt20求代數(shù)式(st4s1)/t 的值。 7.已知a是實數(shù)，且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實根，試判別方程x2+2ax+1(1/2) (a2x2a21)=0有無實根？ 8.求證：不論k為何實數(shù)，關于x的式子(x1)(x2)k2都可以分解成兩個一次因式的積。 9實數(shù)k在什么范圍取值時，方程kx22（k1）x（k1）0有實數(shù)正根？ 獨立訓練（一） 1、 不解方程

13、，請判別下列方程根的情況； (1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ; (3)5(u2+1)7u=0, ; 2、 若方程x2(2m1)x+m2+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ; 3、 一元二次方程x2+px+q=0兩個根分別是2+3 和23 ，則p= ,q= ; 4、 已知方程3x219x+m=0的一個根是1，那么它的另一個根是 ，m= ; 5、 若方程x2+mx1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是 ; 6、 m,n是關于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式mn= 。 7、 已知關于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和

14、等于6，求k的值; 8、 如果和是方程2x2+3x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)關系，求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別等于+(1/) 和+(1/) ; 9、 已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相等的實數(shù)根，求證：這個三角形是正三角形 10.取什么實數(shù)時，二次三項式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解. 11.已知關于x的一元二次方程m2x22（3m）x10的兩實數(shù)根為,，若s1/ 1/ ，求s的取值范圍。 獨立訓練（二） 1、 已知方程x23x+1=0的兩個根為,，則+= , = ; 2、 如果關于x的方程x24x+m=0與x2x2m=0有一個根相同，則m的值為 ; 3、 已知方程2x23x+k=0的兩根之差為2又1/2 ，則k= ; 4、 若方程x2+(a22)x3=0的兩根是1和3，則a= ; 5、 方程4x22(a-b)xab=0的根的判別式的值是 ; 6、 若關于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為倒數(shù)，那么m的值為 ; 7、 已知p0,q0，則一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是 ; 8、 以方程x23x1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是 ; 9、 設x1,x2是方程2x26x+3=0的