機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)課件

1、機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.11.1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)定義兩復(fù)數(shù)相等兩復(fù)數(shù)的實部和虛部對應(yīng)相等zxiy與zxiy互為共軛復(fù)數(shù)注意：兩復(fù)數(shù)不能比較大小一一 復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的基本概念二 復(fù)數(shù)的四則運算 111zxiy222zxiy設(shè)1 加（減）法：121212()()zzxxi yy2 乘法：12112212121221()() ()()z zxiyxiyx xy yi x yx y21.i 的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，i為虛單位，zxiy形如機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)23 除法：112122112222222222zx xy yx yx yizxyxy三三 復(fù)平面復(fù)平面實軸

2、虛軸.x軸oy軸z=x+iyxyz 在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)的加減法和向量的加減法之間保持一致。機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)31.2復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示一一 復(fù)數(shù)的模和輻角復(fù)數(shù)的模和輻角1 模模定義 復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的向量的長度叫做z的模，記作 .| z22| zxy關(guān)于復(fù)數(shù)模的不等式：| |,| |,| |xzyzzxy1212| |zzzz1212| |zzzz22121212|()()zzxxyy機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)42 輻角輻角定義 非零復(fù)數(shù)z對應(yīng)向量的方向角稱為z的輻角，記作argz其中在內(nèi)的輻角稱為z的主輻角，記作argz.復(fù)數(shù)z主輻角的計算：arg zarctan

3、,0,yxyx任意,0,02xy,0,02xyarctan,0,0yxyxarctan,0,0yxyx2argargzkz機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)5121122,iizrezr e設(shè)，則12()121 2,iz zrr e zxiy代數(shù)形式二二 復(fù)數(shù)的三角表示復(fù)數(shù)的三角表示1 復(fù)數(shù)的三種形式復(fù)數(shù)的三種形式三角形式 (cossin )zri指數(shù)形式izre例 寫出復(fù)數(shù)z=-1-i的三角形式和指數(shù)形式。2 用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)的乘除法用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)的乘除法12()11222 (0)izrezzr歐拉公式cossiniei機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6因此有 1122|,|zzzz

4、例 用指數(shù)表示計算(13 )(3)ii1 212| |, z zzz1|212arg(z)zargzargz1122argzargzargzz3 共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)公式共軛復(fù)數(shù)的相關(guān)公式(2);zz1212(3);zzzz1212;zzzz1122;zzzz(1)| |, zzargzargz 機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)72(4)| ;z zz(5)re,im.22zzzzzzi(6) ( , , ,)( , , ,)r a b cr a b c四四 乘方與開方運算乘方與開方運算1 乘方乘方cossinnninnzr erninde moivre 公式： cossincossinninin

5、機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)82 開方開方:若滿足，則稱w為z的n次方根，nwz記為 .nwz幾何解釋：z1/n的n個值就是以原點為中心, r1/n為半徑 的圓的內(nèi)接正n邊形的n個頂點。設(shè)i, zreiweniniere由定義有2, (0,1,2,1)nrkknn推得所以22arg|, (0,1,2,1)kkziinnnnwrez ekn 機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)91.3 平面點集的一般概念一一 開集與閉集開集與閉集去心鄰域：00 |zz內(nèi)點：開集：聚點：孤立點：邊界點：邊界：鄰域：復(fù)平面上以為半徑的開圓的點集，記為0z0|zz為中心，有界集：無界集：機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與

6、復(fù)變函數(shù)10二二 區(qū)域區(qū)域定義閉域閉域1) d是一個開集開集;2) d是連通連通的， 就是說d中任何兩點都可以用完全屬于d的一條折線連接起來區(qū)域加上它的邊界.ddc記為平面點集d稱為一個區(qū)域區(qū)域, 如果它滿足下列兩個條件:常見的區(qū)域：帶形區(qū)域；圓形區(qū)域；環(huán)形區(qū)域；半平面等oxyoxyoxyoxy12imyzyoxy| zr|rzrre0z 12arg z例 下列各式所表示的點集是怎樣的圖形，是不是區(qū)域。1) z+z0 2)|z+2-i|1 3)0argz3機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)11圓 ：re (02 )iz或| |r (02 )z線段：121() (0t1)zzt zz 簡單曲線：

7、簡單曲線：z=x(t)+iy(t), (atb)連續(xù)曲線三三 平面曲線平面曲線對于滿足 at1b, at2b 的 t1與 t2, 設(shè)c: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為c的起點與終點.當(dāng) t1t2而有z(t1)=z(t2) 時, 點 z(t1)稱為曲線 c的重點重點.曲線 c,稱為簡單曲線簡單曲線或若爾當(dāng)若爾當(dāng)(jardan)曲線曲線. 沒有重點的連續(xù)abcab(c)機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)12若爾當(dāng)定理：若爾當(dāng)定理： 任意一條簡單閉曲線 c 把整個復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集, 其中除去 c 外, 一個是有界區(qū)域,稱為 c 的內(nèi)部內(nèi)部, 另

8、一個是無界區(qū)域, 稱為 c 的外部外部,c 為它們的公共邊界. 定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域 d, 如果在其中任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于d, 就稱為單連通域單連通域, 一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域多連通域. 如果簡單曲線 c的起點與終點閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 c 稱為簡單閉曲線簡單閉曲線.a(b)單連通區(qū)域多連通區(qū)域機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)131.4 1.4 無窮大與復(fù)球面無窮大與復(fù)球面一一 無窮遠點無窮遠點四則運算：加減法：)(aaa乘法：)0( aaa除法：),0(0aa),(0aa)(aa復(fù)平面與擴充復(fù)平面機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)

9、變函數(shù)14二二 復(fù)球面復(fù)球面nzzxyoc機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)151.5 1.5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一一 復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的概念定義 設(shè) g 是復(fù)平面上的一個點集, 如果zg 復(fù)變函數(shù)的表示形式：( )wf z例 將復(fù)變函數(shù)2wz化為其它兩種形式。 ( , )( , )u x yiv x y ( , )( , )p riq r(或多個）有確定的一個復(fù)數(shù)w與它對應(yīng)，( )wf z記為則說在g上定義了一個單值函數(shù).（或多值）機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)16二二 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性極限的運算性質(zhì)：000(1)lim( ( )( )lim( )lim(

10、 )zzzzzzf zg zf zg z000(2)lim( ) ( )lim( )lim( )zzzzzzf z g zf zg z1.函數(shù)的極限函數(shù)的極限設(shè)函數(shù) w = f (z) 在0z的去心鄰域00 |zz內(nèi)有定義. 如果有一確定的復(fù)數(shù)a存在, 對于0, 總0, 使得當(dāng)00 |zz時，則稱a為函數(shù)( )f z當(dāng)z趨向0z時的極限. 記為azfzz)(lim0或記作 f (z)a0().zz定義|( )|,f za有機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)170000lim( )( )(3)limlim( )0( )lim( )zzzzzzzzf zf zg zg zg z0000000lim

11、( ,)lim( ).lim( ,)xxyyzzxxyyu x yuf zav x yv例 證明函數(shù)( )zf zz當(dāng) z0 時的極限不存在。定理u(x,y) + iv(x,y) , 設(shè) f (z) =00000+,auiv zxiy則機械測試技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)182. 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性00lim( )(),zzf zf z如果 如果 f (z) 在區(qū)域d內(nèi)處處連續(xù), 定理 函數(shù) f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0處連續(xù)的充要條件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)處連續(xù).連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ：(1)(1)連續(xù)函數(shù)的四則運算仍然連續(xù)； (2)(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)； (3