單調(diào)性與最大小值2

1、1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲祮握{(diào)性與最大（小）值（2）).()(),()()()(,:)(21212121減函數(shù)減函數(shù)上是增函數(shù)上是增函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那么就說函數(shù)那么就說函數(shù)時(shí)，都有時(shí)，都有，當(dāng)，當(dāng)值值上的任意兩個(gè)自變量的上的任意兩個(gè)自變量的內(nèi)某個(gè)區(qū)間內(nèi)某個(gè)區(qū)間如果對(duì)于定義域如果對(duì)于定義域的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)橐话愕?，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)dxfxfxfxfxfxxxxdiixf 定義定義:復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 如果如果y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么那么就說函數(shù)就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性單調(diào)性，這一區(qū)間叫做這一

2、區(qū)間叫做y=f(x)的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù)單調(diào)性的定義：證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 1. 任取任取x1，x2d，且，且x1x2；2. 作差作差f(x1)f(x2)；3. 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；4. 定號(hào)（即判斷差定號(hào)（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；的正負(fù)）；5.下結(jié)論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間d上的上的單調(diào)性）單調(diào)性） 利用定義證明函數(shù)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間d上的單上的單調(diào)性的一般步驟：調(diào)性的一般步驟：練習(xí)練習(xí)： 證明函數(shù)證明函數(shù) 在在r上是增

3、函數(shù)上是增函數(shù).3( )f xxx證明：證明：1212,xxrxx且且，33121122()()()()f xf xxxxx331212()()xxxx2212112212()()()xxxx xxxx22121122()(1)xxxx xx22221211223()124xxxxx xx22212123() ()124xxxxx則則12xx 120 xx2221231024xxx而而（）12()()0,f xf x3( )f xxx在在r上是增函數(shù)上是增函數(shù).12()()f xf x 即即任取任取常用基本公式：常用基本公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3- b3=(a-b)(

4、a2+ab+b2)a2- b2=(a-b)(a+b)(a+ b)2=a2+2ab+b2(a - b)2=a2- 2ab+b2(a+ b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a - b)3=a3- 3a2b+3ab2- b3 例例1.1.畫出函數(shù)畫出函數(shù) 圖象，圖象，2( )23( 2 2)f xxxx ，解：解：2( )(1)4( 2 2)f xxx ，并根據(jù)圖象說出并根據(jù)圖象說出f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，間上，f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). .由由f(x)的圖象知該函數(shù)單調(diào)區(qū)間有：的圖象知該函數(shù)單調(diào)區(qū)間有：-2 , 1 , 1 ,

5、2.其中其中f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2 , 1上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問：問：f(x)在在-2 , 2上有最值嗎上有最值嗎？當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，時(shí)，答：答：f(x)有最大值有最大值 4；當(dāng)當(dāng)x=-2時(shí)，時(shí)， f(x)有最小值有最小值 -5. .在區(qū)間在區(qū)間1 , 2上是減函數(shù)上是減函數(shù). .最大值最大值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閕，如果，如果存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)m滿足：滿足： （1）對(duì)于任意的）對(duì)于任意的xi，都有，都有f(x)m; （2）存在）存在x0i，使得，使得f(x0) = m .那么稱那么稱m是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值. . 最小值最小值 一般地

6、，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閕，如果，如果存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)m滿足：滿足： （1）對(duì)于任意的）對(duì)于任意的xi，都有，都有f(x)m; （2）存在）存在x0i，使得，使得f(x0) = m .那么稱那么稱m是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值. . max( )f xm 記作：記作：min( )f xm 記作：記作：例例2. .求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間2，6上的最大值和上的最大值和最小值最小值 12xy解解:121222()()11f xf xxx由由2x1x26 ,12()()0,f xf x所以，函數(shù)所以，函數(shù) 是區(qū)間是區(qū)間2,6上的減函數(shù)上的減函數(shù).12xy且

7、且 x10, 于是于是 (x1-1)(x2-1)0,12 ()()f xf x 即即故當(dāng)故當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)，max2y ；當(dāng)當(dāng)x=6時(shí)，時(shí)，min0.4.y 設(shè)設(shè) x1 , x2 2,6，12,(0),xx ， + +12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx120,xx解：解：則則211212()xxxxx x 12121()(1)xxx x1212121()()x xxxx x 120,xx12()()0f xf x ，12()()f xf x 1( )(0 ,1f xxx在在上是減函數(shù)上是減函數(shù).即即1201x x ，例例3. 求函數(shù)求函數(shù) 的最值的最值.1( )(0)f xxxx12xx 且且，設(shè)設(shè) 當(dāng)當(dāng) 0 x1x21時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1x1x2 時(shí)，時(shí)，121x x ，12()()0f xf x ，12()()f xf x 即即1( )1,)f xxx 在在上是增函數(shù)上是增函數(shù).654321-1-2-3-4-8-6-4-224681012xy1234102345故當(dāng)故當(dāng)x=1時(shí)，時(shí)，min( )2.f x 該函數(shù)無最大