圓的一般方程.ppt

1、4.1.2 圓的一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圓的圓心和半徑： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：直接看出圓心與半徑 復(fù)習(xí) x2 y 2dxeyf0 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a)2+(y-b)2=r2展開，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a, b, r均為常數(shù)frbaebda= =- -+ += =- -= =- -222,2,2令令結(jié)論：任何一個圓方程可以寫成下面形式 動動手1.是不是任何一個形如 x2 y 2dxeyf0 方程都表示的曲線是圓呢？ 思考下列方程表

2、示什么圖形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0. 022=+feydxyx4422)2(2)2(2fedeydx-+=+-2,2ed將將左邊配方，得左邊配方，得（1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)時(shí),它表示以它表示以為圓心為圓心,以以為半徑的圓為半徑的圓;d2+e2-4f02422fedr-+=(2)當(dāng)當(dāng)d2e24f0時(shí)，方程表示一個時(shí)，方程表示一個點(diǎn)點(diǎn) ；)2,2(ed- - -(3)當(dāng)當(dāng)d2e24f0時(shí)，方程無時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解實(shí)數(shù)解,不表示任何圖形不表示任何圖形所以形如x2 y 2dxeyf0 （d2+e2-4f0）可表示圓的方程

3、 圓的一般方程：x2 y 2dxeyf0圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系：(d2+e2-4f0)（1）a=-d/2，b=-e/2，r= fed42122- -+ +沒有xy這樣的二次項(xiàng)（2）標(biāo)準(zhǔn)方程易于看出圓心與半徑一般方程突出形式上的特點(diǎn)：x2與y2系數(shù)相同并且不等于0；例1、判斷下列方程能否表示圓的方程,若能,寫出圓心與半徑(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是圓心（1，-2）半徑3是圓心（3，-1）半徑10不是不是不是1. 已知

4、圓 x2+y2+dx+ey+f=0的圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4,則d,e,f分別等于2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圓的方程的充要條件是3 , 6, 4)(- -a3 , 6 , 4)(- -b3, 6 , 4)(- - -c3, 6, 4)(- - -d21)( aa21)( ab21)(= =ac21)( addd 練習(xí) 下列方程各表示什么圖形下列方程各表示什么圖形?若是圓則求出圓心、若是圓則求出圓心、半徑半徑.0112422)1 (22=-+yxyx22(2)20(0)xyaxa+=22222(2)20)0 xyaxxaya+=+=由得（22(1) 224121 0 xyx

5、y+- =解：由2212602xyxy+-=得22211)(3)2xy+-=即：（13-故它表示以（， ）為圓心,422為半徑的圓.a,0a-故它表示以（）為圓心， 為半徑的圓例例2：(1)圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系:一般方程一般方程配方展開標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)一:feded421),2,2(22-+-半徑圓心 典例精析例1： 求過三點(diǎn)o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出這個圓的半徑和圓心坐標(biāo).幾何方法方法一：yxm1(1,1)m2(4,2)0圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)的距離半徑：圓心到圓上一點(diǎn)的距離因?yàn)閛(0,0)

6、,a (1,1),b(4,2)都在圓上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系數(shù)法方法二：所求圓的方程為：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 舉例例1： 求過三點(diǎn)o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出這個圓的半徑和圓心坐標(biāo). 舉例例1： 求過三點(diǎn)o(0，0)，m1 (1，1) ，m2（4，2）的方程，并求出這個圓的半徑和圓心坐標(biāo).解：設(shè)所求圓的一般方程為：因?yàn)閛(0,0),a (1,1),b(4,2)都在圓上，則222240) 0(de

7、fxydx ey f+=+-f=0d+e+f+2=04d+2e+f+20=0所求圓的方程為:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系數(shù)法方法三：f=0d=-8e=6解得 小結(jié)二(特殊情況時(shí),可借助圖象求解更簡單)注意:求圓的方程時(shí),要學(xué)會根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓的方程形式:若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡單.若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解. 例2.已知一圓過p(4 ,-2) .q(-1 ,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截到的線段長為4 ，求圓的方程。 33解：設(shè)圓的方程為解：設(shè)圓的方程為x2+y2+dx+ey+f=0 令令x=

8、0, 得得 y2+ey+f=0 又又|y1-y2|=4 (y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=e2-4f=48 將將p ,q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：4d-2e+f=0 d-3e-f=0 由 得:d=-2 ,e=0 ,f=-12 或d=-10 ,e=-8 ,f=-4例3. 已知一曲線是與兩定點(diǎn)o(0,0)、a(3,0)距離的比為1/2的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線. 舉例2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx-+-=-+-+-=- -解：設(shè)是所求曲線上的點(diǎn)，則由題意可得：兩邊平方化簡得：該曲線為圓.yx .o.

9、（-1，0）a(3,0)m(x,y)直接法 練習(xí)：已知點(diǎn)p在圓c： 上運(yùn)動，求線段op的中點(diǎn)m的軌跡方程。0216822=+-+yxyx練習(xí)： 點(diǎn)點(diǎn)p(3 ,0)是圓是圓x2+y2-8x-2y+12=0內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，求過點(diǎn)求過點(diǎn)p的最短弦所在直線方程。的最短弦所在直線方程。圓圓c: x2+y2+2x+4y-3=0到直線到直線x+y+1=0的的距離為距離為 的點(diǎn)有幾個？的點(diǎn)有幾個？ 圓圓x2+y2-4x+2y+f=0與與y軸交于軸交于a b兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，圓心為圓心為c.若若acb=900 ,求求f.已知方程已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一個圓，求該圓半徑表示一個圓，求該圓半徑r的取值范圍。的取值范圍。221. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是圓的一般方程,其表達(dá)式為(用配方法求解)3. 給出圓的一般方程,如何求圓心和半徑? - -+ += =+ + + + +0402222fedfeydxyx 配方展開2. 圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程(圓心,半徑) 小結(jié)幾何