242拋物線的簡單幾何性質(zhì)1人教A版高二數(shù)學(xué)選修21課件共20張PPT

1、定義：在平面定義：在平面內(nèi)內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直和一條定直線線l(l不經(jīng)過點(diǎn)不經(jīng)過點(diǎn)f)的的距離相等距離相等的點(diǎn)的軌跡叫的點(diǎn)的軌跡叫拋物線拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖圖 形形x xf foy ylx xf foy ylx xf foy ylx xfoy yl)0 ,2p(2px)0 ,2p(2px)2p0( ，2py)2p0(，2py 一、溫故知新一、溫故知新范圍范圍1、yox)0 ,2(pf由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以拋物線的范圍為所以拋物線的范圍為0 x 二

2、、探索新知二、探索新知如何研究拋物線如何研究拋物線y2 =2px（p0）的幾何性質(zhì)）的幾何性質(zhì)?拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，的值增大時(shí)，y也也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。對稱性對稱性2、yox)0 ,2(pf( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱( ,)xy即點(diǎn)即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上也在拋物線上,故故 拋物線拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對稱對稱.則則 (-y)2 = 2px若點(diǎn)若點(diǎn)(x,y)在拋物線上在拋物線上, 即滿足即滿足y2 = 2px，頂點(diǎn)頂點(diǎn)3、yox)0 ,2(pf 定義

3、：拋物線與定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,則則x=0.即：拋物線即：拋物線y2 = 2px (p0)的的頂點(diǎn)（頂點(diǎn)（0，0）.注注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。離心率離心率4、yox)0 ,2(pfp(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做線的距離之比，叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率。 由定義知，由定義知， 拋物線拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為的離心率為e=1. 下面請大家得出其余三種標(biāo)

4、準(zhǔn)方程拋下面請大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。物線的幾何性質(zhì)。（二）歸納：拋物線（二）歸納：拋物線的的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)圖圖 形形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對稱軸對稱軸elfyxolfyxolfyxolfyxoy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pf)0 ,2(pf )2, 0(pf)2, 0(pf2px 2px 2py 2pyx0yrx0yry0 xry 0 xr(0,0)x軸軸y軸軸1特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延

5、伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有沒有對稱中心對稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響.yox)0 ,2(pfp(x,y)p越大越大,開口越開闊開口越開闊補(bǔ)充補(bǔ)充（1）通徑：）通徑：通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，通過焦點(diǎn)且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑通徑。|pf|=

6、x0+p/2xoyfp通徑的長度通徑的長度：2pp越大越大,開口越開闊開口越開闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。因?yàn)閽佄锞€關(guān)于因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)m m（，），（，），2 2解解:所以設(shè)方程為：所以設(shè)方

7、程為：)0(22ppxy又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)m m在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx例：已知拋物線關(guān)于例：已知拋物線關(guān)于x x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)m m（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .2 2三、典例精析三、典例精析坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上軸上,開口方向不定時(shí)開口方向不定時(shí),設(shè)為設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論可避免討論例例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線

8、的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyoba(40,30)解解:所在平面內(nèi)建立直所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系,使反射鏡使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, x軸垂直于燈口直徑軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得由條件可得a (40,30),代入方程得代入方程得:302=2p40解之解之: p=445故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,

9、245焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為( ,0)845練習(xí)：練習(xí)：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在軸，焦點(diǎn)在直線直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是上，那么拋物線通徑長是 .162、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)a（-2，3）與拋物線）與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是的焦點(diǎn)的距離是5，則，則p= 。 22(0)ypx p4法一法一: :直接求兩點(diǎn)坐標(biāo)直接求兩點(diǎn)坐標(biāo), ,計(jì)算弦長計(jì)算弦長( (運(yùn)算量一般較大運(yùn)算量一般較大);); 法法二二: :設(shè)設(shè)而而不不求求, ,運(yùn)運(yùn)用用韋韋達(dá)達(dá)定定理理, ,計(jì)計(jì)算算弦弦長長( (運(yùn)運(yùn)算算量量一一般般) ); ; 法法三三: :設(shè)而不求設(shè)而不求

10、, ,數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合, ,活用定義活用定義, ,運(yùn)用韋達(dá)定理運(yùn)用韋達(dá)定理, ,計(jì)計(jì)算弦長算弦長. . 例例3、斜率為、斜率為1的直線的直線 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的的焦點(diǎn)焦點(diǎn)f，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)，求線兩點(diǎn)，求線段段ab的長。的長。l24yxaabbfoxyaabbfoxy432 .圖圖 .:,101122 xlfpp準(zhǔn)線焦點(diǎn)由題意可知解如 .,.baddlbayxbyxa的距離分別為到準(zhǔn)線設(shè)圖2211432 .| ,|1121 xdbfxdafba由拋物線的定義可知.|221 xxbfafab于是 1101., xyabf方程為的所以直線為由已知得拋物線的焦點(diǎn) .

11、,xxxy412122 得代入將aabbfoxy432 .圖圖. 0162 xx化簡得.|,822232232121 xxabxx于是由求根公式得 621 xx或由韋達(dá)定理得.,8的長是線段所以ab四、歸納總結(jié)四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為拋物線的通徑為2p, 2p越

12、大，拋物線的張口越大，拋物線的張口越大越大.1、范圍：、范圍：2、對稱性：、對稱性：3、頂點(diǎn)：、頂點(diǎn)：4、離心率：、離心率：5、通徑：、通徑：1.1.已知已知m m為拋物線為拋物線 上一動(dòng)點(diǎn)，上一動(dòng)點(diǎn)，f f為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)定點(diǎn)p(3,1)p(3,1), ,則則 的最小值為（的最小值為（ ） (a)3 (b)4 (c)5 (d)6 (a)3 (b)4 (c)5 (d)6 mfmp xy42b b.)0 , 1 (f3xm.n.m.p24l例例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離時(shí)，拱頂離水面水面2米，水面寬米，水面寬4米米. 水下降水下降1米后，水面寬多少？米后，水面寬多少？xoy若在水面上有一寬為若在水面上有一寬為2米米,高高為為1.6米米的船只，能否安全通過拱橋？的船只，能否安全通過拱橋？思考題思考題2ba（2,2）x2=2y6x b（1，y） y=0.5b到水面的距離為到水面的距離為1.5米米不能安全通過不能安全通過y=3代入得代入得26水面寬例題例題3探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在