八年級下冊數學最北師大版第四章因式分解 第三節(jié) 公式法課件

1、1.1.把一個多項式化為幾個把一個多項式化為幾個 的的 的的形式形式, ,就是因式分解就是因式分解. .整式整式乘積乘積2、把下列各式分解因式。把下列各式分解因式。（1）4x3-6x2 （2） 2x3y3_2x2y2+3xy（3）-6m2n-15mn2+30m2n2 （4）6m(p-3)+12n(3-p)(baba)2)(2(xx22ba4.4.做一做做一做)(baba22ba 42x3.3.猜一猜猜一猜圖圖1a22ba)(baba 如圖（如圖（1 1），在邊長為），在邊長為a a的正方形中挖掉一個邊長為的正方形中挖掉一個邊長為b b的小正方形（的小正方形（a ab b），把余下部分剪拼成一個

2、矩形（如圖），把余下部分剪拼成一個矩形（如圖（2 2），通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證），通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證一個等式。一個等式。圖圖2ab=由圖可得：由圖可得：b)(22bababa反過來得到22)(bababa把乘法公式： 也就是說，兩個數的平方差，等于這兩個兩個數的平方差，等于這兩個數的和與它們的差的積。數的和與它們的差的積。 利用這整式乘法與因式分解過程相反的關系，利用這整式乘法與因式分解過程相反的關系，我們把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項我們把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。式分解因式，這種方法叫運用公式法。)

3、(22bababa新知識點實例探究新知識點實例探究162x224 x)4)(4(xx)(22bababa2249yx22)()()23)(23(yxyx)(22bababa3x2y【例【例1 1 】把下列各式分解因式】把下列各式分解因式. .2251b22425yx 2201.094nm 2201.094nm22)()()1 .032)(1 .032(nmnmm32n1 . 0利用平方差公式把下列各式分解因式利用平方差公式把下列各式分解因式 口答口答42x21a29y224yx2294yx236m224925qp2291xa1362n221681.0ba判斷判斷)(22yxyxyx（ ） )4

4、)(4(422yxyxyx（ ） 學校搞美化工程，在一個邊長為學校搞美化工程，在一個邊長為米米的正方形廣場的四的正方形廣場的四角均留出一個邊長為角均留出一個邊長為米米的正方形修建花壇，其余地方種草的正方形修建花壇，其余地方種草坪。坪。（1 1）草坪的面積有多大）草坪的面積有多大? ?解：（解：（1 1）廣場種草坪的面積為：）廣場種草坪的面積為：當，時當，時224ba)2)(2(baba)25. 925 .118)(25. 925 .118(平方米ba生活實踐生活實踐生活實踐生活實踐 學校搞美化工程，在一個邊長為學校搞美化工程，在一個邊長為米米的正方形廣場的四的正方形廣

5、場的四角均留出一個邊長為角均留出一個邊長為米米的正方形修建花壇，其余地方種草的正方形修建花壇，其余地方種草坪。坪。（2 2）如果草坪每平方米需）如果草坪每平方米需5 5元，那么給這個廣場種草元，那么給這個廣場種草坪，至少投資多少錢？坪，至少投資多少錢？（2）)(68500137005元答：答： （1 1）草坪的面積是草坪的面積是1370013700平方米；平方米； （2 2）至少投資）至少投資6850068500元。元。ba 如圖，在半徑為如圖，在半徑為R R的圓形鋼板上，沖去半徑為的圓形鋼板上，沖去半徑為r r的四的四個小圓，利用因式分解計算當，時，剩余部分的面積。個小圓，利用因式分解計算當

6、，時，剩余部分的面積。（取取，結果保留三位有效數字，結果保留三位有效數字 ）解：解： 剩余部分的面積是：剩余部分的面積是：224rR224rR)4(22rR) 1 . 128 . 7)(1 . 128 . 7(14. 3)(1762cm當，時當，時答：剩余部分的面積約為答：剩余部分的面積約為176cm176cm2 2 。)(rRrR例題精講例題精講1、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式:(1) 36-25x2解：解：(1) 36-25x2=62-(5x)2=(6+5x)(6-5x)(2) 16a2-9b2(2) 16a2-9b2=(4a)2-(3b)2=(4a+3b)(4a-3b)2、把多

7、項式、把多項式9(a+b)2-4(a-b)2分解因式分解因式.解：解：9(a+b)2-4(a-b)2=3(a+b)2-2(a-b)2=3(a+b)+2(a-b)3(a+b)-2(a-b)=(3a+3b+2a-2b)(3a+3b-2a+2b)=(5a+b)(a+5b)平方差公式中字母平方差公式中字母a、b不僅可以表不僅可以表示數，而且也可以表示其它示數，而且也可以表示其它代數式代數式.3、把多項式、把多項式x4-16分解因式分解因式.解：解：x4-16 =(x2)2-42=(x2+4)(x2-4)分解因式應分解到各因分解因式應分解到各因式都式都不能再分解不能再分解為止為止.=(x2+4)(x+2

8、)(x-2)若多項式中有公因式若多項式中有公因式, ,應應先提取公因式先提取公因式, ,然然后再進一步分解因式后再進一步分解因式, ,直到直到不能分解為止不能分解為止. .解：解：2x3-8x4、把多項式、把多項式2x3-8x分解因式分解因式.=2x (x2_22) =2x (x+2)(x-2)=2x (x2-4)5、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式:(1) a4b4=(2) (m2-3)21=(a2)2-(b2)2=(a2+b2)(a2-b2)=(a2+b2)(a+b)(a-b)(m2-3-1)(m2-3+1)=(m2-4)(m2-2)=(m+2)(m-2)(m2-2)課堂小結課堂小結

9、1.1.平方差公式：平方差公式： a a2 2-b-b2 2 = (a+b)(a-b) = (a+b)(a-b)2.2.用平方差公式因式分解步驟：用平方差公式因式分解步驟： 一變、二分解一變、二分解提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)運用公式法： a2-b2=(a+b)(a-b)練習把下列各式分解因式 x4-16解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2)課前復習：課前復習：1、分解因式學了哪些方法、分解因式學了哪些方法24axax （有公因式，先提公因式。）（有公因式，先提公因式。）（因式分解要

10、徹底。）（因式分解要徹底。）課前復習：課前復習：2除了平方差公式外，還學過了哪些公式？ 2)(ba 2)(ba 222baba222baba2222bababa2222bababa用公式法正確分解因式關鍵是什么？熟知公式特征！熟知公式特征！完全平方式從項數看：完全平方式完全平方式都有兩項可化為兩個數(或整式)的平方,另一項為這兩個數(或整式)的乘積的2倍.從符號看：平方項符號相同a2 2 a b + b2 = （ a b ）2 (一數一數) 2 2(一數一數)(另一數另一數)+(另一數另一數)2=(一數一數另一數另一數)2（即：兩平方項的符號同號，首尾2倍中間項）是否是完全平方式a、b各表示什

11、么表示（a+b）2或（ab）241212xx是a表示2y，b表示12)12(y否否否是a表示2y，b表示3x2)32(xy 是a表示(a+b)，b表示12)1( ba962 xx1442yy241a229124xxyy1)( 2)(2baba2)3( x多項式多項式2244yxx是a表示x，b表示3是否是完全平方式a、b各表示什么表示（a+b）2或（ab）2否否是a表示 ，b表示3n412 xx13922 abba229341nmnm2)21( x多項式多項式251036xxm212)321(nm是a表示x，b表示1/2 填空： （1）a2+ +b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+ =(a

12、-b) 2 （3）m2+2m+ =( ) 2 （4）n2-2n+ =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 22abb21m+11n-1y2x+y(1)x214x49 解：2277x2 x原式27)(x (2)9)(6)(2nmnm解：2233n)(m2)(nm原式2)3(nm例題1 (3)3ax26axy3ay2 解：)y2xy(322xa原式2y)(x3a(4)解： -x2-4y24xy 解：)y44xy-(22x原式)2y()2y(x2x222)2(yx 229124baba22)3b()3b()2a(2(2a)原式2)32(ba(5)解

13、： 16x4- -8x21（6）222211)4x(2)(4x原式解：解：22) 14(x2221)2(x2) 12)(12(xx22) 12() 12(xx（1）25x210 x1 解:原式=（5x)2+25x1+12 =(5x+1)22269)2(baba解:原式=（3a)2-23ab+b2 =(3a-b)2abba1449)3(22解:原式=（7a)2+27ab+b2 =(7a+b)2 （4）-a2-10a -25解:原式=-（a2+2a5+52) =-(a+5)2（5 5）-a-a3 3b b3 3+2a+2a2 2b b3 3-ab-ab3 3解：原式=-ab3(a2-2a1+12)

14、 =-ab3(a-1)2 （6 6）9 - 1212(a-b) + 4 (a-b)2解:原式=32-232(a-b)+ = =(3-2a+2b)22)(2ba2)(23ba總結與反思： 1:整式乘法的完全平方公式是： 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是： 3:完全平方公式特點：2222aab ba b 2222a baab b含有三項；兩平方項的符號同號；首尾2倍中間項1.已知 4x2+kxy+9y2 是一個完全平式，則k=a2+b2 22.已知 a(a+1)-(a2-b)=-2, 求 +ab 的值。12解: 由a(a+1)-(a2-b)=a2+a-a2+b=a+b=-2得 22)2(2

15、)(222222222baabbaabba3.已知x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值。解：由x2+4x+y2-2y+5=(x2+4x+4)+(y2-2y+1) =(x+2)2+(y-1)2=0得 x+2=0,y-1=0 x=-2,y=1 x-y=(-2)-1=214、把下列各式因式分解、把下列各式因式分解2249) 1 (yx 224129) 3(yxyx2249)2(yx 224129)4(yxyx)23)(23(yxyx)32)(32(xyxy2)23(yx 2)23(yx)3(49)5(2baba22363)6(ayaxyax(7)(a+1)2- -2(a2-1) (a-1

16、)22222)(4)(12)(9)8(bababa222)23(4129bababa222)(3)2(3yxayxyxa=(a+1-a+1)2=422)5()(2)(3bababa)2)(2(:2222xyxyxyxy原式解9 9、 (y(y2 2 + x + x2 2 ) )2 2 - 4x- 4x2 2y y2 2=(y+x)2(y-x)210、簡便計算：、簡便計算：2234566856解：原式=（56+34）2=902=81001 1.(x+2)(x+1)=.(x+2)(x+1)=請直接口答計算結果： 利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因

17、式的方法叫做因式的方法叫做十字相乘法十字相乘法.2 2+8x+12=+8x+12=2 2-11x-12=-11x-12=2 2-7x+12=-7x+12=2 2-4x-12=-4x-12=(x+2)(x+6)(x+2)(x+6)(x-6)(x+2)(x-6)(x+2)(x-3)(x-4)(x-3)(x-4)(x-12)(x+1)(x-12)(x+1)符號規(guī)律：符號規(guī)律： 常數項是正數時，應分解為兩個常數項是正數時，應分解為兩個 因數，他們的符號與因數，他們的符號與一次項系數符號一次項系數符號 ； 常數項是負數時，應分解為兩個常數項是負數時，應分解為兩個 因數，其絕對值因數，其絕對值 的的因數與

18、一次項系數的符號相同因數與一次項系數的符號相同. .同號同號相同相同異號異號較大較大2 2+13x+12=+13x+12=(x+1)(x+12)(x+1)(x+12)2 2-x-12=-x-12=(x-4)(x+3)(x-4)(x+3)將下列各式因式分解將下列各式因式分解: :xxabax+bx=對二次三項式對二次三項式x x2 2+px+q+px+q進行因式分解，應重點掌握以下三個問題：進行因式分解，應重點掌握以下三個問題：1.1.掌握方法：拆分常數項，驗證一次項掌握方法：拆分常數項，驗證一次項. . 2. 2.符號規(guī)律：符號規(guī)律： 當當q0q0時，時，a a、b b同號，且同號，且a a、b b的符號與的符號與p p的符號相同；的符號相同； 當當q0q0時，時，a a、b b異號，且絕對值較大的因數與異號，且絕對值較大的因數與p p的符號相同的符號相同. . 3.3.書寫格式：豎分橫積書寫格式：豎分橫積(x+2)(x-3)(x+2)(x-3)2 2-x- 6 =-x- 6 =(x-3)(x+5)(x-3)(x+5)2 2+2x-15=+2x-15=(x+2)(x-5)(x+2)(x-5)2 2-3x-10=-3x-10=(x-5)(x-4)(x-5)(x-4)2 2-9x+20=-9x+20=