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文檔簡(jiǎn)介
1、金融數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)金融數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì) 題 目: 股價(jià)二叉樹模型的生成 學(xué) 院: 理學(xué)院 班 級(jí): 數(shù)學(xué)04-1班 學(xué) 生 姓 名: 李珈龍 學(xué) 生 學(xué) 號(hào): 2004026217 指 導(dǎo) 教 師: 2007年 7月 1日課程設(shè)計(jì)任務(wù)書姓名李珈龍班級(jí)數(shù)學(xué)04-1班學(xué)號(hào)2004026217設(shè)計(jì)題目股價(jià)二叉樹模型的生成理論要點(diǎn)假定到期且只有兩種可能,在t分為狠多小的時(shí)間間隔t,而在每一個(gè)t,股票價(jià)格變化由s到su或sd。如果價(jià)格上揚(yáng)概率為p,那么下跌的概率為1-p,二叉樹模型計(jì)算復(fù)雜,利用表單生成股價(jià)二叉樹。設(shè)計(jì)目標(biāo)通過(guò)一組在一段時(shí)期內(nèi)泰亞股份的歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出二叉樹在期權(quán)下的定價(jià)問(wèn)題。研究方法步驟1:利
2、用所給數(shù)據(jù)求出求出它的描述性統(tǒng)計(jì)量2:利用excel表格計(jì)算出期權(quán)下的期權(quán)值。預(yù)期結(jié)果 通過(guò)二叉樹,可以通過(guò)所給數(shù)據(jù)算出描述性統(tǒng)計(jì)量,從而根據(jù)公式求出u,d,利用表單生成股價(jià)二叉樹計(jì)劃與進(jìn)步的安排課程設(shè)計(jì)安排一周,分四次完成:第一次(1-2天):上網(wǎng)搜查有關(guān)的資料,并開始考慮設(shè)計(jì)的方法第二次(3-4天):寫論文的前言、摘要、以及理論依據(jù)部分第三次 (4-6天):寫論文的問(wèn)題描述、問(wèn)題分析以及求解計(jì)算部分第四次(7天):寫論文的結(jié)論部分以及最后的審核和排版、打印等摘要二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向,且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi),股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。隨著要考慮的
3、價(jià)格變動(dòng)數(shù)目的增加,二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的分布函數(shù)就越來(lái)越趨向于正態(tài)分布,二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型和布萊克-休爾斯期權(quán)定價(jià)模型相一致。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn),是簡(jiǎn)化了期權(quán)定價(jià)的計(jì)算并增加了直觀性應(yīng)用excel表格計(jì)算,不僅方便大量數(shù)據(jù)的計(jì)算,而且直觀、簡(jiǎn)單、易懂,對(duì)于金融市場(chǎng)起著較重要的作用。 根據(jù)一組泰亞股份數(shù)據(jù)計(jì)算出上漲因子u和下跌因子的d,利用excel表單生成股價(jià),計(jì)算出二叉樹各節(jié)點(diǎn)的值,畫出最終股價(jià)二叉樹圖 關(guān)鍵詞 二叉樹模型 二叉樹圖 表單金融數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)目錄摘要錯(cuò)誤!未定義書簽。錯(cuò)誤!未定義書簽。題目2一 基本理論錯(cuò)誤!未定義書簽。二 問(wèn)題描述5三 問(wèn)題分析6四 求解計(jì)算6五 結(jié)論9參
4、考文獻(xiàn)10生成股價(jià)二叉樹一 基本理論 期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向,且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi),股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段,根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出正股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑,并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格。對(duì)于美式權(quán)證,由于可以提前行權(quán),每一節(jié)點(diǎn)上權(quán)證的理論價(jià)格應(yīng)為權(quán)證行權(quán)收益和貼現(xiàn)計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格兩者較大者。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上,即在給定的時(shí)間間隔內(nèi),證券的價(jià)格運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)可能的方向:上漲或者下跌。雖然這一假設(shè)非常簡(jiǎn)單,但由于可以把一個(gè)給定的時(shí)間段細(xì)分為更小的時(shí)間
5、單位,因而二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型適用于處理更為復(fù)雜的期權(quán)。假定到期且只有兩種可能,在t分為狠多小的時(shí)間間隔t,而在每一個(gè)t,股票價(jià)格變化由s到su或sd。如果價(jià)格上揚(yáng)概率為p,那么下跌的概率為1-p。一般來(lái)說(shuō),二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型的基本假設(shè)是在每一時(shí)期股價(jià)的變動(dòng)方向只有兩個(gè),即上升或下降。bopm的定價(jià)依據(jù)是在期權(quán)在第一次買進(jìn)時(shí),能建立起一個(gè)零風(fēng)險(xiǎn)套頭交易,或者說(shuō)可以使用一個(gè)證券組合來(lái)模擬期權(quán)的價(jià)值,該證券組合在沒有套利機(jī)會(huì)時(shí)應(yīng)等于買權(quán)的價(jià)格;反之,如果存在套利機(jī)會(huì),投資者則可以買兩種產(chǎn)品種價(jià)格便宜者,賣出價(jià)格較高者,從而獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益,當(dāng)然這種套利機(jī)會(huì)只會(huì)在極短的時(shí)間里存在。這一 證券組合的主要功能
6、是給出了買權(quán)的定價(jià)方法。與期貨不同的是,期貨的套頭交易一旦建立就不用改變,而期權(quán)的套頭交易則需不斷調(diào)整,直至期權(quán)到期。二叉樹模型的期權(quán)定價(jià)方法,采用無(wú)套利(no arbitrage)假設(shè),由前向后(backward)逐步計(jì)算期權(quán)價(jià)值,二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 期權(quán)定價(jià)模型基于對(duì)沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標(biāo)的股票的組合來(lái)保證確定報(bào)酬。在均衡時(shí),此確定報(bào)酬必須得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。期權(quán)的這一定價(jià)思想與無(wú)套利定價(jià)的思想是一致的。所謂無(wú)套利定價(jià)就是說(shuō)任何零投入的投資只能得到零回報(bào),任何非零投入的投資,只能得到與該項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的平均回報(bào),而不能獲得超額回報(bào)(超過(guò)與風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)?shù)膱?bào)酬的利潤(rùn))。從blac
7、k-scholes期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)中,不難看出期權(quán)定價(jià)本質(zhì)上就是無(wú)套利定價(jià)。 1979年,科克斯(cox)、羅斯(ross)和盧賓斯坦(rubinsetein)的論文期權(quán)定價(jià):一種簡(jiǎn)化方法提出了二項(xiàng)式模型(binomial model),該模型建立了期權(quán)定價(jià)數(shù)值法的基礎(chǔ),解決了美式期權(quán)定價(jià)的問(wèn)題。二項(xiàng)式模型的假設(shè)主要有:1、 不支付股票紅利。2、 交易成本與稅收為零。 3、 投資者可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率拆入或拆出資金。 4、 市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)。 5、 股票的波動(dòng)率為常數(shù)。 假設(shè)在任何一個(gè)給定時(shí)間,金融資產(chǎn)的價(jià)格以事先規(guī)定的比例上升或下降。如果資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間的價(jià)格為,它可能在時(shí)間t+t上升至或下
8、降至。假定對(duì)應(yīng)資產(chǎn)價(jià)格上升至,期權(quán)價(jià)格也上升至u,如果對(duì)應(yīng)資產(chǎn)價(jià)格下降至,期權(quán)價(jià)格也降至d。當(dāng)金融資產(chǎn)只可能達(dá)到這兩種價(jià)格時(shí),這一順序稱為二項(xiàng)程序。漂移率u和d上漲因子 下跌因子 波動(dòng)率 由black-scholes方程告訴我們:可以假定市場(chǎng)為風(fēng)險(xiǎn)中性。即股票預(yù)期收益率等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r,故 又因股票價(jià)格變化符合布朗運(yùn)動(dòng),從而其中,u,是常量,b服從布朗運(yùn)動(dòng)利用,又因?yàn)楣蓛r(jià)的上漲和下跌滿足 在相等的充分小的t時(shí)段內(nèi),無(wú)論開始時(shí)股票價(jià)格如何。u,d和p都是常數(shù)。(即只與t,r有關(guān),而與s無(wú)關(guān))。 股票期權(quán)還可分為限制性股票期權(quán)、合格的股票期權(quán)、不合格的股票期權(quán)和激勵(lì)性股票期權(quán)四種類型。限制性股票期
9、權(quán)一般是公司以獎(jiǎng)勵(lì)的形式直接向經(jīng)營(yíng)者贈(zèng)送股份,而經(jīng)營(yíng)者并不需要向公司支付什么,其限制條件在于當(dāng)行權(quán)者在獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)定的時(shí)限到期前離開公司,公司將會(huì)收回這些獎(jiǎng)勵(lì)股份。合格的股票期權(quán)一般享有稅收方面的優(yōu)惠,當(dāng)行權(quán)者以低于市場(chǎng)價(jià)的價(jià)格購(gòu)買公司股票時(shí),他不需要對(duì)差價(jià)部份所享有的利益交稅;當(dāng)行權(quán)者出售股票時(shí),他所獲取的“超額利潤(rùn)”(購(gòu)買價(jià)與市場(chǎng)價(jià)之差加上因股票升值所獲利之和)只需按長(zhǎng)期資本收益交稅,而在歐美這種稅率最高不超過(guò)20%。不合格的股票期權(quán)與合格的股票期權(quán)的區(qū)別在于,它要對(duì)購(gòu)買價(jià)與市場(chǎng)價(jià)之差的部分在當(dāng)期按當(dāng)時(shí)稅率繳納所得稅。激勵(lì)性股票期權(quán)是為了向經(jīng)營(yíng)者提供激勵(lì),其形式不僅有著多樣性,而且支付和行權(quán)方式
10、也因企業(yè)不同而不同。但它一般具有稅收優(yōu)惠的特點(diǎn),從而與合格的股票期權(quán)有某些相似性。 股票期權(quán)的操作方式是:交易的買方與賣方經(jīng)商議之后,以支付一筆約定的保證金為代價(jià),取得在一定期限內(nèi)按協(xié)議價(jià)格(公平市場(chǎng)價(jià)值,即簽約當(dāng)天的股票價(jià)格)購(gòu)買或出售一定數(shù)量股票的權(quán)利,超過(guò)期限,買賣雙方的合同義務(wù)自動(dòng)解除。 股票期權(quán)行市中的變量包括:買進(jìn)或賣出股票的協(xié)定價(jià)格、期限長(zhǎng)短、期權(quán)費(fèi)高低。 協(xié)定價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)差密切相關(guān):正差越大,期權(quán)費(fèi)越低;負(fù)差越大,期權(quán)費(fèi)越高。期限與期權(quán)費(fèi)的高低也相關(guān),期限越長(zhǎng),期權(quán)費(fèi)越高。上漲因子u和下跌因子d相等時(shí)的股票價(jià)格的二叉樹壓縮圖二叉樹定價(jià)模型的基本出發(fā)點(diǎn):假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量
11、的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成,用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。二叉樹定價(jià)模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的內(nèi)在一致性:二叉樹模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理相一致,即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)的實(shí)際概率并沒有進(jìn)入二叉樹模型,模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率,從而為期權(quán)定價(jià)。二 問(wèn)題描述 以下是泰亞股份2007年6月11日到6月21日的收盤價(jià)格日期收盤價(jià)1111.461211.131311.191411.181511.241811.511911.522011.632111.64根據(jù)這些數(shù)據(jù)求上漲因子u和下跌因子d,在選取某一日的收盤價(jià)作為初始值,計(jì)算
12、股價(jià)二叉樹。三 問(wèn)題分析日期收盤價(jià)比率描述形態(tài)計(jì)量1111.460.9712041211.131.005391均值1.0020461311.190.999106標(biāo)準(zhǔn)差0.0147551411.181.0053671511.241.024021最小值0.9712041811.511.000869最大值1.0240211911.521.009549和8.0163672011.631.00086樣本數(shù)92111.64表1 (6月15日的價(jià)格)根據(jù)股票數(shù)據(jù)得到的描述性統(tǒng)計(jì)量建立excel表格得到股票二叉樹模型在期權(quán)中的定價(jià)表:四 求解計(jì)算 求出節(jié)點(diǎn)價(jià)格的實(shí)際過(guò)程是很繁瑣的,在減少這些步驟方面,我們使用
13、表單來(lái)計(jì)算。表2 空白表單第一步,在h1單元格中輸入值11.24,(用鼠標(biāo)選中單元格,輸入11.24,然后按回車鍵)在敲回車鍵以后,數(shù)值才會(huì)出現(xiàn)在單元格h1中。在h1下面做一個(gè)二叉樹分支。二叉樹接下來(lái)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是g2和i2,為生成g2值,選中g(shù)2,并輸入=.987*h1在按回車鍵以后,在單元格g2中就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)數(shù)值11.09388.表單會(huì)將公式保留在單元格g2中將表單保存為“股價(jià)樹”。我們生成的公式包含了數(shù)值d=0.987.假定d值總是輸在單元格a6中,在a6中輸入.987 ,并在單元格b6中將其標(biāo)記為d值,可以提醒我們參數(shù)d是放在那里的。我們可以對(duì)最初的股價(jià)用同樣的辦法進(jìn)行輸入,在a1中輸入
14、11.24,并在單元格b1中標(biāo)記為股價(jià)為了利益a 欄的值,將單元格h1改成簡(jiǎn)單公式,=a1. 同時(shí)將單元格i2改成=a1*a6. 如果式中的部分?jǐn)?shù)值不變,我們改變股價(jià)或d值得任何一個(gè),g欄和h欄都會(huì)相應(yīng)的改變。就會(huì)形成表3表3 有6個(gè)輸入值的表單這樣我們?cè)趶?fù)制粘貼該表單元格的時(shí)候不改變a6的位置,下一步選中單元格g2并點(diǎn)復(fù)制鍵復(fù)制公式。在選中新的單元格b3,將公式粘貼上去,回車后在f3中出現(xiàn)10.9574253. 繼續(xù)將這個(gè)初始公式貼在單元格e4,d5和c6中去,位置都處在前一個(gè)單元格的左行和下列,這樣股價(jià)二叉樹的一支就填好了,并且該分支可以隨d值和股價(jià)初值的改變而改變。表4 單支股價(jià)二叉樹我
15、們可以可以通過(guò)u值,完成對(duì)其余節(jié)點(diǎn)的輸入,假定u值在a5單元格,并在b5中標(biāo)記為“u值”在a5單元格中輸入值u值,1.017. 接下來(lái),選中二叉樹初始點(diǎn)右下方的節(jié)點(diǎn)i2,輸入公式=h1*a5, 按回車鍵得到下表單。 表5 u分支開始后的表單選中i2生成的公式并點(diǎn)復(fù)制鍵。依次在有輸入值的單元格的右下方粘貼該公式。如果從h3,i4,這樣粘貼下去,就可以得到序列11.28276,11.72781。繼續(xù)此法將整個(gè)二叉樹填完整。填完后的二叉樹如下表。 表6 最后得到的二叉樹表單 11.82 11.62 11.43 11.47 11.28 11.24 11.14 11.09 10.82 10.67 最終的
16、股價(jià)二叉樹圖五 結(jié)論 通過(guò)二叉樹,可以通過(guò)所給數(shù)據(jù)算出描述性統(tǒng)計(jì)量,從而根據(jù)公式求出u,d,再應(yīng)用表單計(jì)算股價(jià)二叉樹,二叉樹模型是衍生品定價(jià)用途比較廣泛的一種模型,金融數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到用二叉樹模型。 二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向,且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi),股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段,根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出正股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑,并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格。 應(yīng)用excel表格計(jì)算,不僅方便大量數(shù)據(jù)的計(jì)算,而且直觀、簡(jiǎn)單、易懂,對(duì)于金融市場(chǎng)起著較重要的作用。通過(guò)表單進(jìn)而畫出表
17、單股票二叉樹圖以及表單期權(quán)二叉樹圖。參考文獻(xiàn)金融數(shù)學(xué) 機(jī)械工業(yè)出版社 蔡名超 譯excel在金融模型分析中的應(yīng)用 人民郵電出版社 劉善存 著金融工程 第一版 高等教育出版社 鄭振龍主編期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法 高等教育出版社 姜禮尚著課程設(shè)計(jì)評(píng)閱書課程設(shè)計(jì)報(bào)告評(píng)語(yǔ): 報(bào)告成績(jī): 答辯記錄與評(píng)語(yǔ): 答辯成績(jī): 課程設(shè)計(jì)總成績(jī): 教師簽名: 年 月 日內(nèi)部資料僅供參考9jwkffwvg#tym*jg&6a*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxp6x4ngpp$vstt#ue9wewz#qcue%&qypeh5
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