函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)65173PPT課件

1、可見 , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x一、 函數(shù)連續(xù)性的定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù).)(0連續(xù)連續(xù)在在 xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx 設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;第1頁/共16頁若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . ,baC例如,nnxaxaaxP 10)(在),(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如, 有理分式函數(shù))()()(xQxPxR 在其定義域內(nèi)連

2、續(xù).在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx 第2頁/共16頁對自變量的增量,0 xxx 有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf )(xfy xOy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx )()(lim000 xfxxfx 0lim0 yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)xxx0時, 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:第3頁/共16頁例. 證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù) .證: ),(xxxxysin)sin( )cos(sin222xxx )cos(sin222

3、xxxy 122 xx 0 x即0lim0 yx這說明xysin 在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos 在),(內(nèi)連續(xù) .0第4頁/共16頁連續(xù)性舉例例1. 討論絕對值函數(shù)在 x=0 處的連續(xù)性.解 因?yàn)?(0)( )- (0)xxf xxxx所以0000lim( )lim()0lim( )lim0(0)0 xxxxf xxf xxf所以0lim( )0(0)xf xf所以絕對值函數(shù)在 x=0 處連續(xù)xyo第5頁/共16頁在在二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)(

4、)(lim00 xfxfxx不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一, 函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn) . 在無定義 ;第6頁/共16頁間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn) .第7頁/共16頁xytan)1( 2x為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷

5、點(diǎn) .xy1sin)2( 1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2 xxy例如:xytan2xyOxyxy1sinOxy1O第8頁/共16頁1) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xOy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyO11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .第9頁/共16頁內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx 0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個不

6、存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式第10頁/共16頁思考與練習(xí)1. 討論函數(shù)231)(22 xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型.2. 設(shè) 0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a時提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf為連續(xù)函數(shù).答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn) ,第11頁/共16頁思考題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.xxexf 111)(解: 間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx, 0 x為無窮間斷點(diǎn);,1 時時當(dāng)當(dāng) x xx1, 0)(xf,1 時時當(dāng)當(dāng) x xx1,1)(xf故1 x為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處處在在 x連續(xù)連續(xù))(xf第12頁/共16頁間斷程度的直觀圖解(1)0 xy 0 x最糟的間斷：. )0( ),0(00都不存在都不存在 xfxf第13頁/共16頁間斷程度的直觀圖解(2)不太糟的間斷：. , )0( ,)0(00但但不不相相等等都都存存在在AxfBxf 0 xy 0 x AB第14頁/共16頁間斷程度的直觀圖解(3)離連續(xù)僅差一步的間斷：. , , )0( , )0(00于于這這點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值但但不不等等且且相相等等存存在在都都 x