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1、一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第1頁(yè)/共23頁(yè).)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfx
2、xxbaxbaxf 定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).第2頁(yè)/共23頁(yè)二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理1(必要條件)定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x第3頁(yè)/共23頁(yè)注這個(gè)結(jié)論又稱
3、為Fermat定理如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒(méi)有駐點(diǎn) 則此函數(shù)沒(méi)有極值,此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn):駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn),還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知,若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近,導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào),則問(wèn)題即可得到解決。第4頁(yè)/共23頁(yè)(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf,則,則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf,則,則)(xf在在0 x處取得極小值處
4、取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符號(hào)相同符號(hào)相同, ,則則)(xf在在0 x處無(wú)極值處無(wú)極值. .定理2(第一充分條件)xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形)第5頁(yè)/共23頁(yè)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟:);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn),即方程求駐點(diǎn),即方程 xf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形)第6頁(yè)/共23頁(yè)例1解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf963)(2 xxxf,令
5、令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第7頁(yè)/共23頁(yè)593)(23 xxxxfMm圖形如下第8頁(yè)/共23頁(yè) 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù), ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那末那末(1)(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值; ;(2)(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), , 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .定
6、理3(第二充分條件)證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異號(hào),異號(hào),與與故故xxfxxf )()(00時(shí),時(shí),當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí),時(shí),當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值第9頁(yè)/共23頁(yè)例2解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf,令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.
7、48 20243)(23 xxxxf圖形如下第10頁(yè)/共23頁(yè)Mm注意:. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 第11頁(yè)/共23頁(yè)例3解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí),時(shí),當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí),時(shí),當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).M第12頁(yè)/共23頁(yè)例4)0(12,02 aeaxxxx時(shí)時(shí)證明證明證xeaxxxf 12
8、)(2記記xeaxxf 22)(則則(不易判明符號(hào))xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牡囊灰粋€(gè)個(gè)極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)是是)(2lnxfx 而且是一個(gè)最大值點(diǎn), )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx時(shí)時(shí)第13頁(yè)/共23頁(yè)0)0()( fxfxeaxx 122即即例5 設(shè)f ( x )連續(xù),且f ( a )是f ( x )的極值,問(wèn)f 2( a )是否是 f 2( x )的極值證分兩種情況討論0)(),()( afafxf且且設(shè)設(shè)時(shí),有時(shí),有使當(dāng)使當(dāng)),(, 0 aax)()(22afxf 所以 f 2( a
9、 ) 是 f 2( x ) 的極小值第14頁(yè)/共23頁(yè)設(shè)f ( a ) 是f ( x )的極小值,且0)( af時(shí),有時(shí),有使當(dāng)使當(dāng)),(, 0111 aax)()(afxf 又f ( x )在 x = a 處連續(xù),且0)( af時(shí),有時(shí),有使當(dāng)使當(dāng)),(, 0222 aax0)( xf,min21 令令時(shí),有時(shí),有則當(dāng)則當(dāng)),( aax0)()( xfaf)()(22afxf f 2( a )是 f 2( x )的極大值同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極大值的情況第15頁(yè)/共23頁(yè)例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且0)(, 0)()()(0)(0)1(00 x
10、fxfxfxfnn但但證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), f(x0)是f(x)的極值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor公式,得nnxxnfxfxf)(!)()()(0)(0 )(0之間之間與與在在xx 處連續(xù)處連續(xù)在在又又0)()(xxfn0)()(lim0)()(0 xfxfnnxx第16頁(yè)/共23頁(yè)因此存在x0的一個(gè)小鄰域,使在該鄰域內(nèi)同號(hào)同號(hào)與與)()(0)()(xfxfnn同號(hào)同號(hào)與與)()(0)()(xffnn 下面來(lái)考察兩種情形n為奇數(shù),當(dāng)x 漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí)nxx)(0 變號(hào)!)()(nfn 不變號(hào))()(0 xfxf 變號(hào))(0 xf不是極值第17頁(yè)/共23頁(yè)n為偶數(shù)
11、,當(dāng)x 漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí)nxx)(0 不變號(hào)!)()(nfn 不變號(hào))()(0 xfxf 不變號(hào))(0 xf是極值且當(dāng)0)(0)( xfn時(shí))(0 xf是極小值0)(0)( xfn當(dāng)時(shí))(0 xf是極大值第18頁(yè)/共23頁(yè)極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)三、小結(jié)第19頁(yè)/共23頁(yè)思考題下命題正確嗎? 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn),那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域,在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi),)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降,而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.第20頁(yè)/共23頁(yè)思考題解答不正確例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時(shí),時(shí),
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