函數(shù)極限概念PPT課件

1、 教學(xué)要求1 理解函數(shù)極限的“-”，“-M”定義及單側(cè)極限概念；2 掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)及兩個重要極限；3 理解廣義極限、無窮大量及無窮小量等概念。 第三章 函數(shù)極限第1頁/共55頁第2頁/共55頁51015202530354045505500.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2一、 x趨于時函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù)f 定義在)+, a上， 類似于數(shù)列情形，研究當(dāng)自變量x趨于+時，對應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于某個定數(shù) A.例如, 對于函數(shù)( )xxf1= 我們畫出它的 圖像當(dāng)x無限增大時，函數(shù)值無 限地接近于0；第3頁/共55頁0510152025303540

2、45505500.20.40.60.811.21.41.6而對于函數(shù)( )xxgarctan=，則當(dāng) x趨于+時函數(shù)值 無限地接近于2p我們稱這兩個函數(shù)當(dāng)+x時有極限。第4頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第5頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第6頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第7頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

3、第8頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第9頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第10頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第11頁/共55頁.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第12頁/共55頁;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 0,.MxMx +表示的過程. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx=

4、 =通過上面演示實驗的觀察:問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)f(x)“無限接近”某數(shù)A?問題:函數(shù))(xfy =在+x的過程中,對應(yīng)函數(shù)值)(xf無限趨近于確定值 A. 第13頁/共55頁一般地,當(dāng) x趨 于 + 時函數(shù)極限的精確定義如下： 定義1 設(shè)f 定義 在)+, a上的函數(shù)， A為定數(shù).若對任給的0,存在 數(shù)()aM ,使得當(dāng)Mx時有( )Axf, 則稱函數(shù) f 當(dāng) x 趨于 +時以A為極 限,記作 ( )Axfx=+lim 或 ( )()+xAxf。在定義1中正數(shù)M的作用與數(shù)列極限定義中N的相類似,表明x 充分大的程度;但這里所考慮的是比M大的所有 實數(shù)x ,而不僅僅是正整數(shù) n.因此

5、,當(dāng)x趨于 +時函數(shù)f以A 為極限意味著： A的任意小鄰域內(nèi)必含有f 在 +的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。 正第14頁/共55頁M定 義1的幾何意 義 如下圖所示， 對任給 的0,在坐標(biāo)平面上平行于x 軸的兩條直線+=Ay與=Ay，圍成以直線Ay= 為 中心 線、 寬為2 的帶 形區(qū)域;定義中的“當(dāng)Mx 時有( )Axf”表示:在直線Mx=的右方,曲 線( ) xfy=全部落在這個帶形區(qū)域之內(nèi).A-A+AOxf(x)第15頁/共55頁Mx=一般要往右平移;但無論帶形區(qū)域如何窄,總存在這樣的正數(shù)M ,使得曲線( ) xfy=在直線Mx=的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。MA-A+AOxf(x)如果

6、正數(shù)給 的小一點,即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點,那么直線第16頁/共55頁現(xiàn)設(shè)f為定義在 ()U或 ()U上的函數(shù),當(dāng)x或x時 ,若函數(shù)值 ( )xf能無限地接近某定數(shù)A ，則稱f 當(dāng)x或x時以A為極限,分別記作( )Axfx=lim 或 ( )()xAxf ( )Axfx=lim 或 ( )()xAxf 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿,只須把定義1中的“Mx ”分別改為“Mx ”或“Mx ”即可。 第17頁/共55頁= = Axfx)(limAxfx= =+)(limAxfx= =)(lim:情形+x:情形x.)(, 0, 0$AxfMxM恒有時使當(dāng):情形x.)(, 0, 0$AxfMxM恒有

7、時使當(dāng).)(, 0, 0$AxfMxM恒有時使當(dāng)定義M第18頁/共55頁幾何解釋:xxysin= = AMM,( ),2.xMxMyf xyA =當(dāng)或時 函數(shù)圖形完全落在以直線為中心線寬為的帶形區(qū)域內(nèi)第19頁/共55頁:( ),fU 不難證明 若 為定義在上的函數(shù) 則lim( )lim( )lim( ).xxxf xAf xf xA+=1例1lim0.xx=證明xO證0, 1,M=取xM則當(dāng)時有110 xx=1M,=1lim0.xx=所以y第20頁/共55頁2例:1) lim arctan;2) lim arctan.22xxxxpp+= =證明證任給0,由于 arctan2xp 等價于arc

8、tan,22xpp- -而此不等式的左半部分對任何x都成立,所以只要考察其右半部分x的變化范圍 。 為此,先限制2p則有tan2xptan.2p= 0(),2p 故對tan,2Mp=只須取xM 則當(dāng)時便有arctan2xp 這就證明了1),類似地可證2).第21頁/共55頁例 證明21121lim= = + + xxx證|12|12321121 = = + +xxx x故不妨設(shè)|x|1， 而當(dāng)|x|1時|1|2|12|xxx |12|12321121 = = + +xxx|3|123xx 0 + +21121xx要使要使同時成立同時成立和和只須只須 3|1| xx第22頁/共55頁3max1,

9、 M=令|xM則當(dāng)時，便有|12|12321121 = = + +xxx |3x21121lim= = + + xxn.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx= = = = 第23頁/共55頁二、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限先看一個例子的變化趨勢的變化趨勢函數(shù)函數(shù)時時考察考察1)1(2)(,12 = =xxxfx 這個函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點從1的左側(cè)或右側(cè)無限地接近于1時， f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當(dāng)x1 時f(x)的極限。1xyo4第24頁/共55頁0,( )( );

10、f xAf xA 表示任意小000,0.xxxx$當(dāng)表示的過程x0 x 0 x + +0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 第25頁/共55頁xx0二 趨于 函數(shù)的極限定義0().(),.fxUxxxxxA0000設(shè) 為定義在點的某空心鄰域內(nèi)的函數(shù)現(xiàn)討論當(dāng) 趨于時 對應(yīng)的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)這類函數(shù)極限的精確定義如下:定 義 2 (函 數(shù) 極 限 的定 義 )00/000(;)0,(),0( ),lim( )( )().xxfxUxAxxf xAfxxAf xAf xA xx=00設(shè)函數(shù) 在點的某空心鄰域內(nèi)有定義,為定數(shù).若對任給的存在正數(shù)使得當(dāng)時有 則稱

11、函數(shù) 當(dāng) 趨于以 為極限 記作 或 第26頁/共55頁定義定義 .)(,0, 0, 00 $ $ Axfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)0lim( )xxf xA=第27頁/共55頁注 定義習(xí)慣上稱為極限的定義其三個要素：10。正數(shù)，20。正數(shù)，30。不等式)|0(|)(|0 xxAxf定義中 |00 xx0 xx 表示表示所以x x0時，f(x) 有無極限與 f(x)在x0處的狀態(tài)并無關(guān)系，這是因為我們所關(guān)心的是f(x) 在x0附近的變化趨勢,即 x x0時f(x) 變化有無終極目標(biāo)，而不是f(x) 在x0這一孤立點的情況 。 約定x x0但 xx0 0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0

12、$0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0 $ = 當(dāng)0|x1| 時 有 例例 4 證明211lim21=xxx 所以211lim21=xxx f(x)A| 211|2=xx=|x1| 當(dāng) x1 時 |f(x)A| 211|2=xx=|x1| 0 只要|x1| 要使|f(x)A|0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 當(dāng)0|xx0| 時 都有 |f(x)A|=|cc|=0 0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A|0 0 當(dāng)0|xx0| 時 都有|f

13、(x)A| 第38頁/共55頁分析 |f(x)A|=|xx0| 當(dāng)0|xx0| 時 有$ = 因為 0 證明 只要|xx0| 要使|f(x)A| 0 例例 2 證明00limxxxx= |f(x)A|=|xx0| 所以00limxxxx= 0 $0 當(dāng) 0|xx0| 有|f(x)A| 0limxxf(x)=A 或 f(x)A(xx0)。 第39頁/共55頁4例00001)limsinsin;2)lim coscos.xxxxxxxx=證明:先建一個不等式證02xp當(dāng)時有sintan .xxxBD1OCAx,事實上在右圖的單位圓內(nèi),02xp當(dāng)時顯然有 111sintan .222xxx即,OAD

14、OABOADSSS扇形sin1,2xxxp 又當(dāng)時有0,sin;xxx故對一切都有0,sin()sin.xxxxx 當(dāng)由得,sin,xx xR綜上 我們又得到不等式0.x =等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立1).現(xiàn)證000sinsin2 cossin22xxxxxx+=0.xx0, 對,=只需取00,xx則當(dāng)時 就有0sinsin.xx00limsinsinxxxx=所以2).類似證明第40頁/共55頁5例22112lim.213xxxx=證明證1x 當(dāng)時有221212213213xxxxx+=+1.3 21xx=+011(0),xxx若限制 于此時211.x+則,0,min3 ,1, =于是 對只要取01

15、,x則當(dāng)時 便有221122133xxxx.第41頁/共55頁022006lim 11.(1).xxxxx=例 證明證01,1,xx由于因此2202202201111xxxxxx=+00201xxxxx+0202.1xxx,0(01),于是 對任給的不妨設(shè)取201,2x=00,xx則當(dāng)時 就有22011.xx0220lim 11.xxxx=故:第42頁/共55頁 通過以上各例通過以上各例, ,我們對函數(shù)極限的我們對函數(shù)極限的“”定義定義要把握以下幾點要把握以下幾點: :第43頁/共55頁1定義2 中的正數(shù)，相當(dāng)于數(shù)列極限N定義中的N ，它依賴于， 但不是由所唯一確定,一般來 說，愈小，也相應(yīng)地

16、要小一些,而且把取得更小些也無妨.如在例 3 中可取2=或3=等等。 2定義中只要求函數(shù)f 在0 x 某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考 慮 f 在 點0 x 處的函數(shù)值是否有定義，或者取什 么值。這是因為，對于函數(shù)極限我 們所研究的是當(dāng)x趨于0 x 過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在例3 中，函數(shù)f 在點2=x是沒有定義的，但當(dāng)2x時 f 的函數(shù)值趨于一個定數(shù)。 3定義2 中的不等式00 xx等價于();00 xUx，而不等式 ( ) Axf等價于( )();AUxf。于是，定義又可寫成： 任給0，存在0，使得對一切();00 xUx有( )();AUxf?；蚋?第44頁/共55頁( )yf x=

17、A0 x0 x+0 xxyoA+A單地表為：任給0，存在0，使得()()();00AUxUf。 4定義的幾何意義如圖 3-3 所示。 對任給的0，在坐標(biāo)平面上畫一條以直 線 Ay = 為中心線、寬2為的橫帶，則必存在以 直線0 xx =為中心線、寬2為的豎帶，使函數(shù) ( )xfy =的圖象在該豎帶中的部分落在橫帶內(nèi)， 但點( )()00;xfx可能例外（或無意義）。 第45頁/共55頁單側(cè)極限 有些函數(shù)在其定義域上某些點左側(cè)與右側(cè)的解析式不同（如分段函數(shù)定義域上的某些點）,或函數(shù)在某些點僅在其一側(cè)有定義（如在定義區(qū)間端點處），這時函數(shù)在那些點上的極限只能單側(cè)地給出定義.第46頁/共55頁例如，

18、函數(shù)( )=0,0,2xxxxxf5）當(dāng)0 x而趨于0時,應(yīng)按 ( )2xxf=來考察函數(shù)值的變化趨勢當(dāng)0 x而趨于0時,應(yīng)按( )xxf=又如函數(shù)21 x在其定義區(qū)間 1, 1 端點1=x 處的極限，也只能在點 1=x 的右側(cè)和點 1=x 的左側(cè)來分別討論。 來考察.第47頁/共55頁000000003(;)(;),.0,(),()fUxUxAxxxxxx +定義 設(shè)函數(shù) 在或內(nèi)有定義為定數(shù)若對任給的存在正數(shù)使得當(dāng)或時( ),f xA有 00),Afxxx+則稱數(shù) 為函數(shù) 當(dāng) 趨于 (或時的右(左)極限0000lim( )(lim( )( )()( )()xxxxf xAf xAf xA x

19、xf xA xx+=記作 或 .左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限第48頁/共55頁0.fx右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限在點 的右極限與左極限又分別記為:0000(0)lim( )(0)lim( )xxxxf xf xf xf x+=與sgn0,xx =我們很容易求得符號函數(shù)在處的左 右極限00lim sgnlim( 1)1,xxx= 00lim sgnlim11.xxx+=01000 1sgnxxxx 第49頁/共55頁左極限.)(, 0, 000 $ $ Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng).)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx= = = = 或或記作記作右極限.)(, 0, 000 + + $ $ Axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng).)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx= =+ += =+ + +或或記作記作000:000 = = xxxxxxxxx注意注意第50頁/共55頁例7 討論21 x在定義區(qū)間端點1處的單側(cè)極限。 解 由于1x，故有 ()()()xxxx+=121112 任給0,則當(dāng)()212x時，就有 21 x（6） 于是取 22=，則當(dāng)x10 即 11x時，（ 6）式成立。 這就推出 01lim21=xx。類似地可得 ( )01lim21=+xx