二面角的求法

1、二面角的常見求法重慶市南華中學(xué)校 譚少鋒二面角是空間角中三大角之一，它是立體幾何中的重點(diǎn)，是教學(xué)中的難點(diǎn)，也是多年來高考中的熱點(diǎn)。但是我們在平常求二面角大小的時(shí)候，往往不知所措，甚至找不到問題的突破口，導(dǎo)致得分率偏低。二面角是不能直接度量的，它的大小需要借助于二面角的平面角的大小來度量。二面角的平面角是幾度，我們就說這個(gè)二面角是幾度。習(xí)慣上我們把求二面角平面角的大小就是求二面角的大小。由二面角的平面角定義可知它必須具備三個(gè)條件：、角的頂點(diǎn)在二面角的棱上；、角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面（半平面）內(nèi)；、角的兩邊分別與二面角的棱垂直。盡管其定義很“死”，但它的應(yīng)用很“活”，因?yàn)樗捻旤c(diǎn)在“棱”上沒有

2、固定的位置，具有開放性，尤其是空間的兩線垂直不直觀的時(shí)候，難以把握住誰是我們要找的二面角。2因此如何找（或作）出二面角的平面角，便成為求二面角大小的關(guān)鍵。盡管二面角很難求解，但它總有其常見的解法。下面就其常見解法給予舉例說明。（1）、定義法定義法就是在二面角的棱上取一點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作（或找）出棱的垂線，得出二面角的平面角。用定義法的關(guān)鍵是要認(rèn)真觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，在棱上選取一個(gè)適當(dāng)點(diǎn)必須與已知條件聯(lián)系起來。例1、已知三棱錐pabc的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且ab=ac=，bc2，則二面角pbca的大小為（ ）pcbeaa、 b、 c、 d、 分析：（如圖），由三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且ab

3、ac，得pb=pc=，pa=2。取bc的中點(diǎn)e，連結(jié)ae，pe，則符合二面角平面角的定義，所以即為所求二面角的大小。且ae=ep=。ap2=ae2pe2，。故選c。例2、四邊形abcd是邊長為6的正方形，sa平面abcd，sa8。求：二面角的大小。解析：（如圖）過b作besc于點(diǎn)e，連結(jié)de，由becdec知edsc,故就是二面角bscd的平面角，在bcd中易知bd，csbdae在sbc中be=de，在bed中,用余弦定理知：。，即所求二面角bscd的大小為。（2）、垂面法垂面法就是過二面角內(nèi)一點(diǎn)作垂直于棱的一個(gè)平面，該平面與二面角兩半平面的交線所構(gòu)成的角就是二面角的平面角。但為了方便計(jì)算，我

4、們往往通過某點(diǎn)直接作兩個(gè)半平面的垂線，然后證明這兩條垂線所確定的平面與二面角相交的交線就是二面角的平面角。例3、已知點(diǎn)p為二面角內(nèi)一點(diǎn)，p到和的距離均為10，p到棱的距離為，求二面角的大小。解：過p分別作pa于a，pb于b，則pa=pb=10，設(shè)pa、pb所確定的平面為，則，,，故。連結(jié)op，則op，所以op=。由，oa知,則是二面角的平面角，且在rtpbo中：，得。所以，120。即二面角的大小為120。（3）、三垂線法三垂線法就是過二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，利用三垂線定理或逆定理可知，斜線和它的射影構(gòu)成的角就是二面角的平面角。aa1bcdeb1c1d1例4、在正四棱柱abcda1b

5、1c1d1，底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，（如圖）求二面角ab1cb的平面角。分析：思考過點(diǎn)a作還是過點(diǎn)b作棱b1c垂線，、發(fā)現(xiàn)ab面bcb1（找到垂線）；、過點(diǎn)b作棱b1c的垂線于點(diǎn)e；、連點(diǎn)ae。則就是二面角ab1cb的平面角。上例中過b點(diǎn)作面acb1的垂線就面臨著在空間過點(diǎn)作面的垂線，然后作棱的垂線，再連線就涉及到利用三垂線定理或三垂線逆定理來解題，解略。abca11b11c11ef例5、直三棱錐abca1b1c1，底面為直角三角形，棱長aa1=6,ab=4,bc=3,(如圖)求面a1bc1與面acc1a1的二面角。分析：過定點(diǎn)b作垂線。、在面abc內(nèi)過點(diǎn)b作be,交ac于e;、在面a1a

6、cc1內(nèi)過點(diǎn)e作ef，交a1c1于f；、連結(jié)bf，即得為所求二面角ba1c1a的平面角。（4）、射影面積法若二面角的一個(gè)半平面內(nèi)有一個(gè)面積為s的多邊形，這個(gè)多邊形在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的多邊形的面積是s/射，則利用面積射影公式s/射，(其中為所求二面角的大小)，利用此方法可不必作（或找）出二面角的平面角。例6、棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e是cc1的中點(diǎn)。求二面角bb1ed的余弦值。分析(如圖)：d在平面bb1e上的射影為c。在平面bb1e上的射影三角形為cb1e，設(shè)所求二面角為，由可求出角的余弦值。解：d點(diǎn)在平面bcc1b1上的射影為c點(diǎn).a1b1c1d1abcde設(shè)二

7、面角bb1cd的平面角為，則有又在cb1e中，ec，且.而在中，db1=.db1邊上的高為ef，且ef=。.。二面角bb1ed的余弦值為。本例在求二面角時(shí)用到了公式s/射。此公式也是求二面角的間接手段之一。另外，求二面角的大小還可以用向量法4、異面直線兩點(diǎn)間距離公式等方法進(jìn)行求解。特別是異面直線兩點(diǎn)間距離公式九（a）教材已刪除，不符合大綱要求，因此不贅述。而九（b）教材中介紹了向量法，即使沒有學(xué)習(xí)九（b）教材，但我們?nèi)匀豢梢杂闷渌椒▉砬蠼饽扯娼堑拇笮?。因此現(xiàn)將上面例2用向量法作一個(gè)簡單求解。例7、題目同例2。解：（如圖）建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則與的夾角就是二面角bscd的平面角。則易得ce。csbdaxyzee（），b（6，0