立體幾何基礎知識匯總

1、平面的基本性質(zhì)雙基回顧1平面的概念：平面是沒有厚薄的，可以無限延伸，這是平面最基本的屬性2平面的畫法及其表示方法：常用平行四邊形表示平面通常把平行四邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的兩倍畫兩個平面相交時，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應把被遮住的部分畫成虛線或不畫一般用一個希臘字母、來表示，還可用平行四邊形的對角頂點的字母來表示如平面等3空間圖形是由點、線、面組成的點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號語言文字語言（讀法）點在直線上點不在直線上點在平面內(nèi)點不在平面內(nèi)直線、交于點直線在平面內(nèi)直線與平面無公共點直線與平面交于點平面、相交于直線（平面外的直線）表示或4平面的基本性質(zhì)公理1

2、如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)推理模式： 如圖示：應用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗證一個面是否是平面公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法公理2如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線推理模式：且且唯一如圖示： 應用：確定兩相交平面的交線位置；判定點在直線上公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個平面交線的方法公理3 經(jīng)過不在同一條直

3、線上的三點，有且只有一個平面推理模式：不共線存在唯一的平面，使得應用：確定平面；證明兩個平面重合 “有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性在數(shù)學語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面推理模式：存在唯一的平面，使得， 推論2 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面推理模式：存在唯一的平面，使得

4、推論3 經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面圖形與空間圖形的概念:如果一個圖形的所有點都在同一個平面內(nèi)，則稱這個圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形空間兩條直線雙基回顧1 空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交有且只有一個公共點； （2）平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點；（3）異面不在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；2公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 推理模式：3等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等4等角定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等5空間兩條異面直線的畫法6異面直

5、線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線推理模式：與是異面直線7異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點通常取在異面直線的一條上 異面直線所成的角的范圍：8異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 垂直，記作9求異面直線所成的角的方法：幾何法：（1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求 向量法：用向量的夾角公式

6、10兩條異面直線的公垂線、距離和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線理解：因為兩條異面直線互相垂直時，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線有且只有一條 計算方法：幾何法；向量法直線與平面平行和平面與平面平行知識點歸納 1直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；符號表示為:，（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；符號表示為: ，（3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進行兩次分類符號表示為: 2線面平行的判定定理：如果不在一個平面

7、內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行推理模式：3 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：4平行平面：如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面互相平行5圖形表示：畫兩個平面平行時，通常把表示這兩個平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行的6平行平面的判定定理： 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面互相平行推理模式：，7平行平面的判定定理推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行推理模式：8平行平面的性質(zhì)定理：如果兩個平行

8、平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行推理模式：9面面平行的另一性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面推理模式：直線與平面垂直和平面與平面垂直知識點歸納 1 線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面交點叫做垂足直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a2直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面3 直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行4 三垂線定理 在平面內(nèi)的一

9、條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式： 5三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：三垂線指pa，po，ao都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用6 兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面7兩平面垂直的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直推理

10、模式：，8兩平面垂直的性質(zhì)定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 推理模式：, 9向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法： 證明直線與平面垂直的方法：直線的方向向量與平面的法向量平行； 證明平面與平面垂直的方法：兩平面的法向量垂直空間向量及其運算知識點歸納 1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2空間向量的運算空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算：;運算律：加法交換律： 加法結(jié)合律：數(shù)乘分配

11、律：3 平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使4 共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線5 共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使推論：如果為經(jīng)過已知點a且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點o，點p在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量6空間直線的

12、向量參數(shù)表示式：或，中點公式 7向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的8共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使 或?qū)臻g任一點，有 或 上面式叫做平面的向量表達式9 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底推論：設是不共面的四點，則對空間

13、任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使10 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：11向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：12向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影 的長度13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）14空間向量數(shù)量積運算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）空間向量的坐標運算知識點歸納 1 空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為

14、，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面；2空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標3空間向量的直角坐標運算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標4 模長公式：若，則，5夾角公

15、式：6兩點間的距離公式：若，則，或 空間角知識點歸納 1異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：2求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法3直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角直線和平面所成角范圍： 0，（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小

16、的角4公式：平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有5 二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；6二面角的平面角：待添加的隱藏文字內(nèi)容3 （1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角說明：二面角的平面角范圍是；二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個

17、平面互相垂直7二面角的求法：幾何法；向量法8求二面角的射影公式：，其中各個符號的含義是：是二面角的一個面內(nèi)圖形f的面積，是圖形f在二面角的另一個面內(nèi)的射影，是二面角的大小9三種空間角的向量法計算公式：異面直線所成的角：；直線與平面(法向量)所成的角：；銳二面角：，其中為兩個面的法向量空間距離知識點歸納 1點到平面的距離：已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則唯一，則是點到平面的距離即 一點到它在一個平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離結(jié)論：連結(jié)平面外一點與內(nèi)一點所得的線段中，垂線段最短2 異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線3公垂線唯一：任意兩條

18、異面直線有且只有一條公垂線4兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；5公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結(jié)兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條；6兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度說明：兩條異面直線的距離即為直線到平面的距離即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離7直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點面距離)8兩個平行平面的公垂線、公垂線段：（1）兩個平面的公垂線：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線

19、（2）兩個平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個平面的公垂線段（3）兩個平行平面的公垂線段都相等（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個平行平面間的線段長9兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離10七種距離：點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求10用向量法求距離的公式：異面直線之間的距離：，其中直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量兩平行平面之間的距離：，其中

20、是平面的法向量點a到平面的距離：，其中，是平面的法向量另法：點平面，則 點a到直線的距離： ，其中，是直線的方向向量兩平行直線之間的距離：，其中，是的方向向量棱柱知識點歸納 1 多面體的概念：由若干個多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個多邊形叫多面體的面，兩個面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點叫多面體的頂點，連結(jié)不在同一面上的兩個頂點的線段叫多面體的對角線2凸多面體：把多面體的任一個面展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫凸多面體如圖的多面體則不是凸多面體3凸多面體的分類：多面體至少有四個面，按照它的面數(shù)分別叫四面體、五面體、六面體等4棱柱的概念：有兩個面互相平行，其余

21、每相鄰兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱兩個互相平行的面叫棱柱的底面（簡稱底）；其余各面叫棱柱的側(cè)面；兩側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱；兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高（公垂線段長也簡稱高）5棱柱的分類：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多邊形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形這樣的棱柱分別叫三棱柱、四棱柱、五棱柱6棱柱的性質(zhì)（1）棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面都是平行四邊形；直棱柱側(cè)面都是矩形；正棱柱側(cè)面都是全等的矩形；（2）棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等的多邊形；（3）過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形7 平行

22、六面體、長方體、正方體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體，底面是矩形的直平行六面體長方體，棱長都相等的長方體叫正方體8平行六面體、長方體的性質(zhì)(1)平行六面體的對角線交于一點，求證：對角線相交于一點，且在點處互相平分(2)長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上的三條棱長的平方和棱錐知識點歸納 1 棱錐的概念：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這樣的多面體叫棱錐其中有公共頂點的三角形叫棱錐的側(cè)面；多邊形叫棱錐的底面或底；各側(cè)面的公共頂點，叫棱錐的頂點，頂點到底面所在平面的垂線段，叫棱錐的高（垂線段的長也簡稱高）2棱錐的表示：棱錐用頂

23、點和底面各頂點的字母，或用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示如圖棱錐可表示為，或3棱錐的分類：（按底面多邊形的邊數(shù)）分別稱底面是三角形，四邊形，五邊形的棱錐為三棱錐，四棱錐，五棱錐（如圖）4棱錐的性質(zhì)：定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積比等于頂點到截面的距離與棱錐高的平方比中截面：經(jīng)過棱錐高的中點且平行于底面的截面，叫棱錐的中截面5正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面上的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐（1）正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（叫正棱錐的斜高）（2）正棱錐的高、斜高、斜高在底面上的射影組成一個直角三角形；正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面上的射影也組成一個直角三角形簡單的多面體與球知識點歸納 1簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡單多面體說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體2五種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)及棱