生產(chǎn)與存儲問題的建模與求解算法檢測

1、生產(chǎn)與存儲問題的建模與求解算法劉吉剛(信息與電氣工程學(xué)院，信息管理與信息系統(tǒng)，2010級2班，20102212420)摘要：在公司的管理經(jīng)營和生產(chǎn)中，公司的管理人員會經(jīng)常遇到合理的組 織生產(chǎn)與庫存的問題，既要達(dá)到客戶的需要，又要盡量減低成本。因此，生產(chǎn)與 存儲就成了一個阻礙因素，生產(chǎn)與存儲的問題成了一個多層次的問題，對此建立一個動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，利用運籌學(xué)中的最優(yōu)解以及動態(tài)規(guī)劃等來解決這一問 題，打到市場中的生產(chǎn)、供需與庫存之間的平衡，以及在有限的資源的情況下實 現(xiàn)最優(yōu)的生產(chǎn)計劃或方案。關(guān)鍵詞：生產(chǎn)與存儲；建模；動態(tài)規(guī)劃；線性規(guī)劃Paper Template of Information a

2、nd Electrical EngineeringLiu Jiga ng(Major of Software Engin eeri ng. School of In formatio n and Electrical Engin eeri ng)Abstract: in the compa ny's man ageme nt and product ion, the man ageme nt of this compa ny will ofte n meet with reas on ableorga ni zatio n of product ion and inven tory p

3、roblems, both to meet customer needs, and try to reduce costs. Production and storage, therefore, has become a hindering factors, the production and storage problems become a multi-level, to establish a mathematical model of dynamic programming, using the optimal solution in operational research and

4、 dynamic program ming to solve this problem, hit the market in the product ion, the bala nce betwee n supply and dema nd and inven tory, as well as in the case of limited resources to achieve the optimal producti on pla n or scheme.Key words: The product ion and storage;modeli ng; Dyn amic program m

5、ing1引言跟隨著時代的腳步，商業(yè)市場也在不斷進步與發(fā)展，優(yōu)勝劣汰，只有以現(xiàn)有 的資源創(chuàng)造出更多的財富，才能在激烈的競爭中不斷進步與發(fā)展， 那么怎么才能 以現(xiàn)有的資源長造出更多的財富呢，這就用到了生產(chǎn)與存儲的問題。 ，現(xiàn)在運用 動態(tài)規(guī)劃來解決生產(chǎn)與存儲的問題，用同樣的資源來創(chuàng)造更多的財富，才能在現(xiàn) 在激烈的競爭中，不斷進步，不斷發(fā)展。1.1生產(chǎn)與存儲問題的研究1.1.1建立“生產(chǎn)與存儲問題”的最優(yōu)化模型對于某種生產(chǎn)問題，在一段時間內(nèi)，增加生產(chǎn)量即可以降低生產(chǎn)成本，但 是，如果供需失衡，供給大于需求，就會因堆積貨物增加存儲成本或浪費而造成 損失。相反，如果減少生產(chǎn)量，雖然能夠降低存儲成本，但同時

6、會增加生產(chǎn)的成 本費，同樣會造成損失。各個公司最關(guān)心的是生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)的成本費與庫存 費之和是否最小。某公司對某種商品要擬定一項n個期間的出產(chǎn)（或采購）方案。已知它的初始 庫存量為零，每個期間生產(chǎn)（或采購）該商品的數(shù)量有上限；每期間社會對該商品 的需求量是已知的，公司保證供應(yīng)；在n期間末的終結(jié)庫存量為零。問該公司怎 么擬定每個期間的出產(chǎn)（或采購）方案，從而使總成本最小。設(shè)dk為第k期間對商品的需求量，xk為第k期間該商品的生產(chǎn)量（或者采購 量），Vk為第k期間結(jié)束時的商品庫存量，那么，則有 Vk=Vk+Xk-dkck（Xk）表明第k期間出產(chǎn)產(chǎn)品Xk時的本錢費用，它包含出產(chǎn)預(yù)備本錢 K 和產(chǎn)品

7、本錢axk（其間a是單位產(chǎn)品本錢）兩項費用。即0當(dāng) Xk =0r卜Ck （xk）=K+axk當(dāng) xk =1,2，moo當(dāng) xk >m hk (vk)表示在第k期間結(jié)束時有庫存量vk所需的存儲費用 所以第k期間的成本費用為ck (xk)+hk (xk)。M表示每期間最多能生產(chǎn)該商品的上限數(shù)通過上述表述，建立數(shù)學(xué)模型nMin g八 c k(x k )+h k (v k)k 4V0 =0,V n =0kV k = (x j-d j) > 0k=2n-1j 10 < x k < mk=12 nXk為整數(shù)k=12 n用動態(tài)規(guī)劃的方法來求解，把生產(chǎn)與存儲問題看做是一個n期間決策問題

8、。使vw為狀態(tài)變量，他表示第k期間開始時的庫存量x k為決策變量，他表示第k期間的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為V k=vk+xk-d k k=1,2,n最優(yōu)解函數(shù)f k (vk)表示從第一期間初始庫存量為 0到第k期間末庫存量為Vk 時的最小總費用。因此可寫出順序遞推公式為：F(v)= min c k (x k)+h k (v k)+f k j (v k j)k=1,n0蘭Xk蘭&其中：k =min (vk +dk，m)。這是因為一方面每期間生產(chǎn)的上限為 m另一方面 由于保證正常供應(yīng)，因此第k-1期間末的庫存量Vk必須非負(fù)，即Vk+dk-Xk > 0，所以 x k < v k +d

9、k。邊界條件為fo(vo)=0(或f1 (v1) )= min c 1(x 1)+h 1(v 1),從邊界條件出發(fā)，X1 =1n利用上面的遞推公式，對每個k，計算出f（ vk）中的vk在0至min a dj ,m-d k 之間的值，最后求得的fn （0）即為所求的最小總費用1.1.2論文數(shù)學(xué)模型的詳細(xì)求解某工廠調(diào)查了解市場情況，要對某種產(chǎn)品制定今后的生產(chǎn)計劃， 根據(jù)數(shù)據(jù)，估計 在今后四個月內(nèi)，市場對其產(chǎn)品的需求量如下表所示。時期（k）1234需求量（dk ）2324假設(shè)已知條件：對每個時期來講，生產(chǎn)一批產(chǎn)品的固定成本費為3（千元），若不生產(chǎn)，固定成本為零。每單位產(chǎn)品的固定成本成本費為1（千元）

10、。同時，在任何一個時期內(nèi)，生產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量為不超過6個單位。又知每單位產(chǎn)品的庫存費用為每個時期0.5（千元），同時要求在第一個時期開始之初，及在第四個月末，均無產(chǎn)品庫存。問：在滿足上述市場條件下，該廠應(yīng)如何安排各 個時期的生產(chǎn)與存儲，才能使所花的總成本費用最低？ 上述問題是有生產(chǎn)與存儲的一個線性規(guī)劃優(yōu)化問題。先根據(jù)已有資源在固定的供需和庫存容量為限制條件下，確定目標(biāo)函數(shù)建立線性規(guī)劃模型，求出最優(yōu)解。再根據(jù)優(yōu)化指標(biāo)，通過優(yōu)化方案建立優(yōu)化模型對目標(biāo)函數(shù)值進行優(yōu)化，最終求得優(yōu)化后的最優(yōu)解。解：利用上述模型求解。第k時期的需求量為dk（k=1,2,3,4）狀態(tài)變量Sk:表示第k時期開始時的

11、庫存量，S1 =Ss =0,0 < Swdk +d4決策變量xk :表示第k時期的生產(chǎn)量，max0, dk-Sk wxk wmin6，dk+ +d4 -Sk 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：Sk 1 =xk +Sk -d k第k個時期的成本 Vk=0.5 x（ Sk-d k ）xk=03+Xk +0.5 x( Xk +Sk-d k )x k 工 0假設(shè)Fk (Sk)是由第k時期開始時的的庫存量Sk開始到第4個時期結(jié)束時間的 最有成本則 Fk (Sk) =minVk+Fk i(x ki)1< k<4=min3+X k +0.5 x (x k +Sk -d k ) + F k 1(x k +Sk

12、-d k ) x k 豐 0Min0.5 x (Sk-d k)+F k i(x k+Sk-d k)xk =0F5(S5)=0四個月內(nèi)的最優(yōu)成本為Fi(Si)=Fi(0)計算過程如下所示：(1) k=4時0< S4 <4, max0, 4 - S 4 < X4 < min6 , 4-S 4kdkSIkSk-d kX kVk (Sk,Fk+ (Sk+)Vk (Sk ,F k (Sk )xaX k )X k )+Fk+ (S444c44707741336|06632>22505523114044140000000即對于狀態(tài)X4的每個取值，都有唯一確定的決策變量X4使得F

13、4(S 4)最優(yōu)(2) k=3時0< S3 <6, max0, 2 - S 3 < X3 < min6 , 6-S3kdkSkSk -d kXkV/k ( Sk ,Fk* (SVVk (Sk ,Fk (Sk)xaX(k )Xk )+|F (Sk+)320257I1211636).5612.548I513259.5413.56110111171110525j.5611.5AL375121481.5412.55100I10200)777014.5610.5265110 37.5411.5J49)09300.566.56.501551026.5410.5-138I08401J

14、566015.549.5-2270701.545.55-316065.506-4(020226(3) k=2 時0< S2 <9, max0, 3 - S 2 < x < min6 , 9-S 2kdsSk-dkX kVkX k )(Sk ,Fk (Sk豐)Vk (Sk ,Xk ) +Fk豐(Sk+)Fk ( Sk )XCt36111747.51017.52359716610.56.51703712618813.55.519165c152172511163j6.51016.54871559.56.516611617712.55.518143231281421614111

15、52125.51015.51103j771448.56.51523215110616110611154.517711321530CC)111110.5014.51014.526J71337.56.51449615511055.51661122144-1C0.51010.58023157128026.56.51338561449).55.51551112135-2C17880155.56.5122761338.55.51441102126-3C11.56.588016J61227.55.513392117-4C26880165.55.5127-428210808-502.55.588017299

16、-6032550(4) k=1時Si =0, max0, 2 <xi < min6 , 11kdkSkSk-dxkVk( Sk，F(xiàn)k* (Sk+)Vk( Sk，F(xiàn)k ( Sk)xkXk)x k) +Fk*( Sk+)120225162120.55.736.51521.548142259.51120.561110.521.5712.5820.5814822915.5823.510178251118.5523.5按照上述計算過程進行逆推算，可得最優(yōu)結(jié)果中各階段的狀態(tài)變量Sk和決策變量x k如下表：時期k產(chǎn)量Xk月初庫存量需求量dk每月成本VkSk15029.52033036021140

17、4401.1.2對上述模型進行優(yōu)缺點評價本文生產(chǎn)與存儲的問題合理運用動態(tài)規(guī)劃模型，動態(tài)規(guī)劃作為本文的模型，是解決多階段決策問題過程的一種數(shù)學(xué)方法。 它能夠把復(fù)雜問題簡單化，即 把多階段決策問題改變成幾個單階段決策問題， 來尋求最優(yōu)解的方法。在另一方 面，該模型能夠在運用在經(jīng)濟學(xué)方面，如動態(tài)規(guī)劃可以用來解決最優(yōu)路徑問題， 倉庫的庫存問題，有限資源的分配問題，生產(chǎn)過程中的最優(yōu)分配問題等等，因此 動態(tài)規(guī)劃能夠在經(jīng)濟管理中起到很重要的作用在本文中建立的數(shù)學(xué)模型只是一個簡單地動態(tài)規(guī)劃模型，在本論文中只是為 了實現(xiàn)一個這樣簡單地動態(tài)規(guī)劃模型的案例， 在論文中，提出的假設(shè)問題只是在 只有一種簡單數(shù)據(jù)的條件下

18、來實現(xiàn)的， 而在實際生產(chǎn)與存儲過程中，卻是十分復(fù) 雜的，無論是前期的生產(chǎn)準(zhǔn)備過程，還是后期的庫存量、需求量、還有進行生產(chǎn) 的勞動力等都不可能提供一個精確的數(shù)字，況且，實際過程中，會有更多的限制 條件，在現(xiàn)實情況下，數(shù)學(xué)模型就會發(fā)生巨大的改變，而且相應(yīng)的研究就就需要 更加貼近實際、更加的深入，這種情況下，就需要在現(xiàn)實生活中收集更多的數(shù)據(jù)， 這是在以后的研究方向要加強的地方1.1結(jié)束語在本論文中的生產(chǎn)與存儲模型在現(xiàn)實是生活中有廣闊的應(yīng)用范圍，像物流過程中的運輸；超市要提前向廠家購買產(chǎn)品來出售； 倉庫的存儲問題；三峽大壩的 蓄水泄洪能力；工廠的原料訂購與產(chǎn)品的存儲；瓜果蔬菜的運輸過程等等。生產(chǎn) 與存儲模型大都采用動態(tài)規(guī)劃或者多目標(biāo)動態(tài)規(guī)劃的方法來解決問題。我認(rèn)為， 可以將這種模型推廣到生活中，既可以增加工作生活效率，又可以提高生活質(zhì)量， 比如生活資金的分配、最短的乘車路程、時間的合理利用等，會有很好的實用性 與方便