高中數(shù)學(冪函數(shù))示范教案新人教A版必修

1、2.3 冪函數(shù)整體設計教學分析 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型,是學生在系統(tǒng)地學習了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù).學生已經(jīng)有了學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學習經(jīng)歷,冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成.因此,學習過程中,引入冪函數(shù)的概念之后,嘗試放手讓學生自己進行合作探究學習.本節(jié)通過實例,讓學生認識到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型,通過研究yx,yx2,yx3,yx-1,yx等函數(shù)的性質(zhì)和圖象,讓學生認識到冪指數(shù)大于零和小于零兩種情形下,冪函數(shù)的共性：當冪指數(shù)0時,冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0,0）和（1,1）,且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增；當冪指數(shù)0時,冪函

2、數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1,1）,且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減且以兩坐標軸為漸近線.在方法上,我們應注意從特殊到一般地去進行類比研究冪函數(shù)的性質(zhì),并注意與指數(shù)函數(shù)進行對比學習.將冪函數(shù)限定為五個具體函數(shù),通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì).其中,學生在初中已經(jīng)學習了y=x,y=x2,y=x-1等三個簡單的冪函數(shù),對它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認識.現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念,有助于學生形成完整的知識結(jié)構(gòu).學生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象,研究了兩個特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),對研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法.因此,教材安排學習冪函數(shù),除內(nèi)容本身外,掌握研究函數(shù)的一般思想方法是另一目的,另外,

3、應讓學生了解利用信息技術(shù)來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個重要途徑.學習中學生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆,因此在引出冪函數(shù)的概念之后,可以組織學生對兩類不同函數(shù)的表達式進行辨析.三維目標1.通過生活實例引出冪函數(shù)的概念,會畫冪函數(shù)的圖象,通過觀察圖象,了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì),加深學生對研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗,培養(yǎng)學生概括抽象和識圖能力,使學生體會到生活中處處有數(shù)學,激發(fā)學生的學習興趣.2.了解幾個常見的冪函數(shù)的性質(zhì),通過這幾個冪函數(shù)的性質(zhì),總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì),通過畫圖比較,使學生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,利用計算機等工具,了解冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)差別,使學生充分認識到現(xiàn)代技術(shù)在人們

4、認識世界的過程中的作用,從而激發(fā)學生的學習欲望.3.應用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題,培養(yǎng)學生觀察分析歸納能力,了解類比法在研究問題中的作用,滲透辯證唯物主義觀點和方法論,培養(yǎng)學生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力.重點難點教學重點:從五個具體的冪函數(shù)中認識冪函數(shù)的概念和性質(zhì).教學難點:根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個同指數(shù)的指數(shù)式的大小.課時安排1課時教學過程導入新課思路11.如果張紅購買了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的錢數(shù)p（元）和購買的水果量w（千克）之間有何關(guān)系？根據(jù)函數(shù)的定義可知,這里p是w的函數(shù).2 / 102.如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=a2,

5、這里S是a的函數(shù).3.如果正方體的邊長為a,那么正方體的體積V=a3,這里V是a的函數(shù).4.如果正方形場地面積為S,那么正方形的邊長a=S,這里a是S的函數(shù).5.如果某人t s內(nèi)騎車行進了1 km,那么他騎車的速度v=t-1km/s,這里v是t的函數(shù).以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個數(shù)學模型,你能發(fā)現(xiàn)以上幾個函數(shù)解析式有什么共同點嗎？(右邊指數(shù)式,且底數(shù)都是變量).（適當引導：從自變量所處的位置這個角度）（引入新課,書寫課題:冪函數(shù)）.思路2.我們前面學習了三類具體的初等函數(shù):二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),這一節(jié)課我們再學習一種新的函數(shù)冪函數(shù),教師板書課題:冪函數(shù).推進新課新知探究提出問題問題:

6、給出下列函數(shù):y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3,考察這些解析式的特點,總結(jié)出來,是否為指數(shù)函數(shù)？問題:根據(jù),如果讓我們起一個名字的話,你將會給他們起個什么名字呢？請給出一個一般性的結(jié)論.問題:我們前面學習指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,用了什么樣的思路?研究冪函數(shù)的性質(zhì)呢?問題:畫出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五個函數(shù)圖象,完成下列表格.函數(shù) 性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性特殊點圖象分布問題:通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察,哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象？哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象？哪個象限可能有冪函數(shù)的圖象,這時可以通過什么途徑來判斷？問題:

7、通過對以上五個函數(shù)圖象的觀察和填表,你能類比出一般的冪函數(shù)的性質(zhì)嗎?活動：考慮到學生已經(jīng)學習了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),對函數(shù)的學習、研究有了一定的經(jīng)驗和基本方法,所以教學流程又分兩條線,一條以內(nèi)容為明線,另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線,教學過程中同時展開,學生相互討論,必要時,教師將解析式寫成指數(shù)冪形式,以啟發(fā)學生歸納,學生作圖,教師巡視,學生小組討論,得到結(jié)論,必要時,教師利用幾何畫板演示.討論結(jié)果：通過觀察發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的變量在底數(shù)位置,解析式右邊都是冪,因為它們的變量都在底數(shù)位置上,不符合指數(shù)函數(shù)的定義,所以都不是指數(shù)函數(shù).由于函數(shù)的指數(shù)是一個常數(shù),底數(shù)是變量,類似于我們學過的冪的形式

8、,因此我們稱這種類型的函數(shù)為冪函數(shù),如果我們用字母來表示函數(shù)的指數(shù),就能得到一般的式子,即冪函數(shù)的定義:一般地,形如y=x（xR）的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,是常數(shù).如y=x2,y=x,y=x3等都是冪函數(shù),冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣,都是基本初等函數(shù).我們研究指對數(shù)函數(shù)時,根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),由具體到一般;一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性;有時也通過畫函數(shù)圖象,從圖象的變化情況來看函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),研究冪函數(shù)的性質(zhì)也應如此.學生用描點法,也可應用函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、定義域等,畫出函數(shù)圖象.利用描點法,在同一坐標系中畫出函數(shù)y=x,y=x,y

9、=x2,y=x3,y=x-1的圖象.列表:x-3-2-10123y=x-3-2-10123y=x011.411.73y=x29410149y=x3-27-8-101827y=x-1-11描點、連線.畫出以上五個函數(shù)的圖象如圖2-3-1.圖2-3-1讓學生通過觀察圖象,分組討論,探究冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律,教師注意引導學生用類比研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的方法研究冪函數(shù)的性質(zhì).通過觀察圖象,完成表格. 函數(shù) 性質(zhì) y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇奇奇非奇非偶奇單調(diào)性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限

10、單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減特殊點(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)圖象分布第、象限第、象限第、象限第象限第、象限第一象限一定有冪函數(shù)的圖象；第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象；而第二、三象限可能有,也可能沒有圖象,這時可以通過冪函數(shù)和定義域和奇偶性來判斷.冪函數(shù)y=x的性質(zhì).（1）所有的冪函數(shù)在（0,+）都有定義,并且圖象都過點（1,1）（原因：1x=1）；（2）當0時,冪函數(shù)的圖象都通過原點,并且在0,+)上是增函數(shù)（從左往右看,函數(shù)圖象逐漸上升）.特別地,當1時,x（0,1）,y=x2的圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,越大,下凸的程度越大.當01時,x（0,1）,y=x2的圖

11、象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,越小,上凸的程度越大.（3）當0時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當x向原點靠近時,圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸,當x慢慢地變大時,圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸.應用示例思路1例1判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù).y=0.2x;y=x-3;y=x-2;y=x.活動：學生獨立思考,討論回答,教師巡視引導,及時評價學生的回答.根據(jù)冪函數(shù)的定義判別,形如y=x（xR）的函數(shù)稱為冪函數(shù),變量x的系數(shù)為1,指數(shù)是一個常數(shù),嚴格按這個標準來判斷.解：y=0.2x的底數(shù)是0.2,因此不是冪函數(shù);y=x-3的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù)

12、;y=x-2的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù);y=x的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù).點評：判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)要嚴格按定義來判斷.變式訓練判別下列函數(shù)中有幾個冪函數(shù)？y=x;y=2x2;y=x;y=x2+x;y=-x3.解：的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù);的變量x2的系數(shù)為2,因此不是冪函數(shù);的變量是和的形式,因此也不是冪函數(shù);的變量x3的系數(shù)為-1,因此不是冪函數(shù).例2求下列冪函數(shù)的定義域,并指出其奇偶性、單調(diào)性.（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.活動：學生思考,小組討論,教師引導,學生展示思維過程,教師評價.根據(jù)你的學習經(jīng)歷,回顧求一個函數(shù)的定義域的方法,

13、判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的方法.判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的方法,一般用定義法.解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問題時,可以從以下幾個方面來考慮:列出相應不等式或不等式組,解不等式或不等式組即可得到所求函數(shù)的定義域.解：（1）要使函數(shù)y=x有意義,只需y=有意義,即xR.所以函數(shù)y=x的定義域是xR.又f(-x)=f(x),所以函數(shù)y=x是偶函數(shù),它在(-,0上是減函數(shù),在0,+)上是增函數(shù).（2）要使函數(shù)y=x有意義,只需y=有意義,即xR+,所以函數(shù)y=x的定義域是R+,由于函數(shù)y=x的定義域不關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)y=x是非奇非偶的函數(shù),它在(0,+)上是減函數(shù).（3）要使函數(shù)y=x-2有意義,只需y=

14、有意義,即x0,所以函數(shù)y=x-2的定義域是x0,又f(-x)=f(x),所以函數(shù)y=x-2是偶函數(shù),它在(-,0)上是增函數(shù),在(0,+)上是減函數(shù).點評：在函數(shù)解析式中含有分數(shù)指數(shù)時,可以把它們的解析式化成根式,根據(jù)“偶次根號下非負”這一條件來求出對應函數(shù)的定義域；當函數(shù)解析式的冪指數(shù)為負數(shù)時,根據(jù)負指數(shù)冪的意義將其轉(zhuǎn)化為分式形式,根據(jù)分式的分母不能為0這一限制條件來求出對應函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組.例3證明冪函數(shù)f(x)=在0,+)上是增函數(shù).活動：學生先思考或討論,再回答,教師根據(jù)實際,可以提示引導.證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法,有時利用復合函數(shù)的單調(diào)性.

15、證明：任取x1,x20,+),且x1x2,則f(x1)-f(x2)=,因為x1-x20,x1+x20,所以0.所以f(x1)<f(x2),即f(x)=在0,+)上是增函數(shù).點評：證明函數(shù)的單調(diào)性要嚴格按步驟和格式書寫,利用作商的方法比較大小,f(x1)與f(x2)的符號要一致.思路2例1函數(shù)y（x2-2x）的定義域是( )A.x|x0或x2 B.（-,0）（2,）C.（-,02,) D.（0,2）分析：函數(shù)y（x2-2x）化為y=,要使函數(shù)有意義需x2-2x0,即x2或x0,所以函數(shù)的定義域為x|x2或x0.答案：B變式訓練函數(shù)y（1-x2）的值域是( )A.0,) B.（0,1 C.（

16、0,1） D.0,1活動：學生獨立解題,先思考,然后上黑板板演,教師巡視指導.函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)的定義域來求.函數(shù)可化為根式形式,偶次方根號的被開方數(shù)大于零,轉(zhuǎn)化為等式或不等式來解,可得定義域,這是復合函數(shù)求值域問題,利用換元法.分析：令t1-x2,則y,因為函數(shù)的定義域是x|-1x1,所以0t1.所以0y1.答案：D點評：注意換元法在解題中的應用.例2 比較下列各組數(shù)的大小：（1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.活動：學生先思考或回憶,然后討論交流,教師適時提示點撥.比較數(shù)的大小,常借助于函數(shù)的單調(diào)性.對

17、（1）（2）可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性.對(3)只利用冪函數(shù)的單調(diào)性是不夠的,還要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,事實上,這里0.30.3可作為中間量.解：（1）由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同,所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性,考察函數(shù)y=x0.1的單調(diào)性,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增,又因為1.11.2,所以1.10.1<1.20.1.（2）由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同,所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性,考察函數(shù)y=x-0.2的單調(diào)性,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減,又因為0.240.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比較指數(shù)相同的兩個數(shù)的大小,考察函數(shù)y=x0.3的單調(diào)性,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增,又因為0

18、.20.3,所以0.20.3<0.30.3.再比較同底數(shù)的兩個數(shù)的大小,考察函數(shù)y=0.3x的單調(diào)性,它在定義域內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減,又因為0.20.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.另外,本題還有圖象法,計算結(jié)果等方法,留作同學們自己完成.點評：指數(shù)相同的冪的大小比較可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性；底數(shù)相同的冪的大小比較可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.知能訓練1.下列函數(shù)中,是冪函數(shù)的是( )A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x2.下列結(jié)論正確的是( )A.冪函數(shù)的圖象一定過原點 B.當<0時,冪函數(shù)y=x是減函數(shù)C.

19、當>0時,冪函數(shù)y=x是增函數(shù) D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù),也是冪函數(shù)3.下列函數(shù)中,在(-,0)是增函數(shù)的是( )A.y=x3 B.y=x2 C.y= D.y=x 4.已知某冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,),則這個函數(shù)的解析式為.答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x拓展提升分別在同一坐標系中作出下列函數(shù)的圖象,通過圖象說明它們之間的關(guān)系.yx-1,yx-2,y=x-3;yx,yx;y=x,y=x2,y=x3;y=x,yx.活動：學生思考或交流,探討作圖的方法,教師及時提示,必要時,利用幾何畫板演示.解：利用描點法,在同一坐標系中畫出上述四組函數(shù)的圖象如圖2-3-2、圖2-3-3，圖2-

20、3-4、圖2-3-5.圖2-3-2 圖2-3-3圖2-3-4 圖2-3-5觀察圖2-3-2得到:函數(shù)yx-1、yx-2、y=x-3的圖象都過點(1,1),且在第一象限隨x的增大而下降,函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)減函數(shù),且向右無限接近x軸,向上無限接近y軸,指數(shù)越小,向右無限接近x軸的圖象在下方,向上離y軸越遠.觀察圖2-3-3得到:函數(shù)yx、yx的圖象都過點(1,1),且在第一象限隨x的增大而下降,函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)減函數(shù),且向右無限接近x軸,向上無限接近y軸,指數(shù)越小,向右無限接近x軸的圖象在下方,向上離y軸越遠.觀察圖2-3-4得到:函數(shù)y=x、y=x2、y=x3的圖象過點(1,1)、(0,0),且在第一象限隨x的增大