數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書第9章勒讓德多項(xiàng)式

1、第9章 勒讓德多項(xiàng)式本章我們來(lái)討論在章所建立的勒讓德方程的解法，以及解的性質(zhì)，這個(gè)解構(gòu)成了另一類特殊函數(shù).9.1 勒讓德方程的求解把7.2中的勒讓德方程寫成如下的形式 (9.1)其中為任意實(shí)數(shù).如同求貝塞爾方程的解一樣，設(shè)(9.1)的解為 （9.2）求上式的導(dǎo)數(shù)，并與(9.2)一起代入(9.1)得（9.3）上式是的恒等式，所以的各乘冪的系數(shù)必全為零，上式是的恒等式，所以的各乘冪的系數(shù)必全為零，在上式第二個(gè)或式中令，便得到的乘冪的系數(shù)，然后令它等于零，即由此得或.為了得到一般項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式，我們把(9.3)寫成如下形式于是由一般項(xiàng)的系數(shù)等于零，得到遞推公式取，得 （9.4）這便是級(jí)數(shù)(9.2)的

2、系數(shù)間應(yīng)滿足的遞推公式.令，分別得 令分別得將這些值代入級(jí)數(shù)(9.2)，便得 (9.5)其中是兩個(gè)任意常數(shù)，由于方程是齊次的，所以函數(shù) （9.6） （9.7）也都是方程(9.1)的解，顯然在的情況下，它們是線性無(wú)關(guān)的.如果開始時(shí)取，重復(fù)前面的做法，所得的級(jí)數(shù)解就是.這里不再贅述，讀者可自己驗(yàn)算.從系數(shù)的遞推公式(9.4)容易證明這兩個(gè)組數(shù)的收斂半徑都為1，故在內(nèi)(9.5)式即為方程(9.1)的通解.9.2 勒讓德多項(xiàng)式上面我們求出了方程(9.1)的解，并且從(9.6)與(9.7)可以看出，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，都是無(wú)窮級(jí)數(shù)，在內(nèi)它們都絕對(duì)收斂，可以證明在時(shí)發(fā)散，且當(dāng)時(shí)，與均趨于.當(dāng)是整數(shù)時(shí)，則或者便成

3、為多項(xiàng)式，例如是正偶數(shù)（或負(fù)奇數(shù)）時(shí)是n次多項(xiàng)式，而當(dāng)是正奇數(shù)（或負(fù)偶數(shù)）時(shí)，是次多項(xiàng)式，在實(shí)際運(yùn)用中，這種特殊情況常常出現(xiàn)，現(xiàn)在我們就來(lái)給出這個(gè)多項(xiàng)式的表達(dá)式.于是可以通過(guò)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)來(lái)表示其他各次項(xiàng)的系數(shù).為了使這些表達(dá)式能夠?qū)懗杀容^簡(jiǎn)潔的形式，并且使所得的多項(xiàng)式在處取的值等于1（見習(xí)題九中第1題），我們?nèi)閺亩鄳?yīng)地有一般言之，當(dāng)時(shí)，我們有：如果是正偶數(shù)時(shí)，將這些系數(shù)代入(9.6)得到如果是正奇數(shù)時(shí)，將上面的表達(dá)式代入(9.7)式得到把這兩個(gè)多項(xiàng)式寫成統(tǒng)一的形式，得 (9.8)其中這個(gè)多項(xiàng)式稱為次的勒讓德多項(xiàng)式（或稱為第一類勒讓德函數(shù)）.特別是，當(dāng)時(shí)，分別有圖9-1它們的圖形如9

4、-1所示.為了后面應(yīng)用起來(lái)方便，我們可將寫成 （9.9）的形式，(9.9)式稱為勒讓德多項(xiàng)式的羅德利克(Rodrigues)表達(dá)式.要驗(yàn)證這個(gè)公式，只需要用到計(jì)算兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲（Leibnitz）公式：讀者自己應(yīng)用這個(gè)公式去證一下.綜合上述，可得如下結(jié)論：當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，方程(9.1)的通解為，其中分別由(9.6)和(9.7)確定，而且它們?cè)陂]區(qū)間上是無(wú)界的，所以此時(shí)方程(7.1)在上無(wú)有界的解.當(dāng)為整數(shù)時(shí)，在適當(dāng)選定之后，中有一個(gè)是勒讓德多項(xiàng)式，另一個(gè)仍是無(wú)窮級(jí)數(shù)，記作，此時(shí)方程(9.1)的通解為其中稱為第二類勒讓德函數(shù)，它在閉區(qū)間 上仍是無(wú)界的（因時(shí)，）.9.3 函數(shù)展成勒

5、讓德多項(xiàng)的級(jí)數(shù)在應(yīng)用勒讓德多項(xiàng)式解決數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題時(shí)，需要將給定在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)按勒讓德多項(xiàng)式展開為無(wú)窮有數(shù).根據(jù)施特姆-劉維爾理論，勒讓德多項(xiàng)式族：在上是正交完備的.因此這樣展開是允許的.為了計(jì)算展開式中的系數(shù)，和貝塞爾函數(shù)的情形一樣，必須先求出勒讓德多項(xiàng)式模值的平方由(9.9)式并運(yùn)用分部積分法可得但以為重零點(diǎn)，所以，于是得重復(fù)運(yùn)用分部積分法，可得作代換，則因而 (9.10)有了（9.10）式，我們就可以討論函數(shù)按勒讓德多項(xiàng)式展開的問(wèn)題了.設(shè)函數(shù)滿足第五章所述按固有函數(shù)展開的條件，則可以表示為 (9.11)為了求出系數(shù)在(9.11)式兩端同乘并在區(qū)間上積分，得所以 (9.12)把代入

6、(9.11)式，便得的展開式.如果在(9.11)與(9.12)中令，則這兩個(gè)式子可寫成例1 將函數(shù) ， 按勒讓德多項(xiàng)式展開為無(wú)窮級(jí)數(shù).解 利用前面勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式及公式(9.12)得 所以例2 求證勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式： (9.13)證明 為了證明公式(9.13)，我們將函數(shù)展成勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù).設(shè)其中由于是次多項(xiàng)式，所以它的展開式中不可能包含高于次的多項(xiàng)式，即當(dāng)時(shí)，.同時(shí)，利用分部積分法，可得 當(dāng)時(shí)，因此可知此外，由(9.6)與(9.7)可見，是的奇函數(shù)，故有這樣一來(lái)，的展開式中只剩下兩項(xiàng)，即 (9.14)系數(shù)固然也可以用上面的公式進(jìn)行計(jì)算，不過(guò)這樣做比較麻煩，下面我們用別的方法來(lái)確

7、定.由于的最高次項(xiàng)的系數(shù)為，比較(9.14)兩端最高次項(xiàng)的系數(shù)，得由此得到在(9.14)中令，由于，可得即將代入(9.14)中，得到這就是所要證明的遞推公式(9.13).這個(gè)公式告訴我們，當(dāng)已知時(shí)，即可由它們求出，這對(duì)于計(jì)算勒讓德多項(xiàng)式的函數(shù)值有重要的意義.例3 球形域內(nèi)的電位分布在半徑為1的球內(nèi)求調(diào)和函數(shù)，使它在球面上滿足解 根據(jù)邊界條件的形式，可以推知，所求的調(diào)和函數(shù)只與兩個(gè)變量有關(guān)，而與變量無(wú)關(guān)，因此，所提的問(wèn)題可歸結(jié)為下列定解問(wèn)題： (9.15)用分離變量法來(lái)解，令代入原方程，得或從而得到 (9.16) (9.17)將常數(shù)寫成，則方程(9.17)就是(7.17)當(dāng)?shù)奶乩?，所以它就是勒?/p>

8、德方程.它的通解為由問(wèn)題的物理意義，函數(shù)應(yīng)是有界的，從而也應(yīng)有界.由9.2中的結(jié)論可知，只有當(dāng)為整數(shù)時(shí)，它在區(qū)間內(nèi)才有界解而方程(9.16)的通解為要使有界，必須也有界，故即用疊加原理得到原問(wèn)題的解為 (9.18)由(9.15)中的邊界條件得 (9.19)若在(9.19)中以代替，則得由于比較這兩式的右端可得因此所求定解問(wèn)題的解為(9.19)中的系數(shù)當(dāng)然也可以用公式(9.12)來(lái)計(jì)算，讀者自己可按這個(gè)公式計(jì)算一遍.9.4 連帶的勒讓德多項(xiàng)式在7.2中我們已經(jīng)指出過(guò)，若調(diào)和函數(shù)與有關(guān)，則通過(guò)對(duì)拉普拉斯方程進(jìn)行分離變量便引出連帶的勒讓德方程(7.17)或(7.18)，在(7.18)中將未知函數(shù)換成

9、即得 (9.20)其中是正整數(shù)，現(xiàn)在我們來(lái)尋求這個(gè)方程的解.在勒讓德方程的兩端對(duì)微分次，便得 (9.21)但令 則(9.21)可化成 (9.22)若再引入新函數(shù)則有 代入(9.22)并化簡(jiǎn)得到由此可見，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，函數(shù) (9.23)是連帶的勒讓德方程(9.20)的解，這個(gè)解以表示，即我們稱它為次階的連帶勒讓德多項(xiàng)式.從施特姆-劉維爾理論可知，連帶的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間上也構(gòu)成正交完備系.經(jīng)過(guò)計(jì)算（參閱A.薩波洛夫斯基著：特殊函數(shù)，還可以得到 (9.24)利用(9.24)和正交完備性，我們就可以把一個(gè)函數(shù)展成連帶勒讓德多項(xiàng)式的級(jí)數(shù).習(xí)題七1、證明： 2、證明：3、若證明4、證明5、證明6、驗(yàn)證滿足勒讓德方程.7、在半徑為1的球內(nèi)求調(diào)和函數(shù)，使8、在半徑為1的球內(nèi)求調(diào)和函數(shù)，已知在球面上9、在半徑為1的球的外部求調(diào)和函數(shù)，使習(xí) 題 答 案習(xí)題三1、2、3、其中u(x,t)是縱向位移，（E一楊氏模量，桿的密度）.4、習(xí) 題 四1、2、3、4、5、6、7、8、