高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、1熱烈慶祝嫦娥三號探月衛(wèi)星發(fā)射成功熱烈慶祝嫦娥三號探月衛(wèi)星發(fā)射成功23復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義:到兩定點到兩定點f1、f2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|f1f2 |）的）的動點的軌跡叫做橢圓。動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121ffaapfpf當(dāng)焦點在當(dāng)焦點在x軸上時軸上時當(dāng)焦點在當(dāng)焦點在y軸上時軸上時)0( 12222babyax)0( 12222babxay4二、二、橢圓橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax -axa, -byb 知知, 122 ax得：得：122 by oyb2b1

2、a1a2f1f2cab1、范圍：、范圍： 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中5橢圓的對稱性橢圓的對稱性yxop（x，y）p1（-x，y）p2（-x，-y）62、對稱性、對稱性： oyb2b1a1a2f1f2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱。軸、原點對稱。從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；軸對稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；軸對稱；（3）把）把x換成換成-x，同時把，同時把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點成中方程不變，圖象關(guān)于原

3、點成中心對稱。心對稱。 所以，坐標(biāo)軸是橢圓所以，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心。的對稱中心。中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。73、橢圓的頂點、橢圓的頂點22221(0)，xyabab在中令令 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點（軸的交點（ ），）， 令令 y=0，得，得 x=？, 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點（軸的交點（ ）。）。*頂點頂點：橢圓與它的對稱橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的軸的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。 oxyb1(0,b)b2(0,-b)a1a2(a,0)0, ba

4、, 0*長軸長軸、短軸短軸： 線段線段a1a2、b1b2分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長軸和短軸。長軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的分別叫做橢圓的長半長半軸長軸長和和短半軸長短半軸長。焦點總在長軸上焦點總在長軸上!8123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）a1 b1 a2 b2 b2 a2 b1 a1 94、橢圓的離心率橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量刻畫橢圓扁平程度的量)ace 離心率：橢圓的

5、焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：0ebabceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前1122222 1612:9362,yxxyc1問：對于橢圓c與橢圓：更接近于圓的是。2c12例例1 1已知橢圓方程為已知橢圓方程為9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的長軸長是它的長軸長是： 。短軸長是短軸

6、長是： 。焦距是焦距是： 。 離心率等于離心率等于： 。焦點坐標(biāo)是焦點坐標(biāo)是： 。頂點坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： 。 1068( 5,0),(0, 3)(0, 4)60解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：192522yx2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置45題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程明確a、b13已知橢圓方程為已知橢圓方程為6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的長軸長是：它的長軸長是： 。短軸長是：。短軸長是： 。焦距是：焦距是： . .離心

7、率等于：離心率等于： 。焦點坐標(biāo)是：焦點坐標(biāo)是： 。頂點坐標(biāo)是：。頂點坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于：外切矩形的面積等于： 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程是是5 1 622bacba則練習(xí)練習(xí)1.1.14練習(xí)練習(xí)求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率。心率。（1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=122(1)1819xy22(3)1252516xy22(2)1925xy22(4)111

8、45xy15練習(xí)：已知橢圓練習(xí)：已知橢圓 的離心率的離心率 求求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)。標(biāo)、頂點坐標(biāo)。22(3)(0)xmym m3,2e 2213xymmm橢圓：222(2),33mm mam bcmm22334mem1m22a長軸長21b短軸長3,0)2焦點坐標(biāo)(11,0),(0,)2頂點坐標(biāo)(16例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點經(jīng)過點p(3,0)、q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。一焦點將長軸分成一焦點將長軸分成:的兩部分的兩部分,且經(jīng)過點且經(jīng)過點3 2,4p

9、22194xy所求橢圓方程為：解：解： 方法一：方法一：設(shè)方程為設(shè)方程為mx2ny21（m0，n0，mn），），注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程將點的坐標(biāo)方程，求出將點的坐標(biāo)方程，求出m1/9,n1/4。17例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點經(jīng)過點p(3,0)、q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。一焦點將長軸分成一焦點將長軸分成:的兩部分的兩部分,且經(jīng)過點且經(jīng)過點3 2,4p 22194xy解：解：

10、(1)方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì) 注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點就是橢圓的頂點，交點就是橢圓的頂點， 于是焦點在于是焦點在x軸上，且點軸上，且點p、q分別是分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，橢圓長軸與短軸的一個端點， 故故a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 18例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點經(jīng)過點p(3,0)

11、、q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。一焦點將長軸分成一焦點將長軸分成:的兩部分的兩部分,且經(jīng)過點且經(jīng)過點3 2,4p 注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量2222111006410064xyyx橢圓方程為：或題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程3220,5caea：解(2)10,6ac8.b 19例例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點經(jīng)過點p(3,0)、q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。一焦點將長軸分成一焦點將長

12、軸分成:的兩部分的兩部分,且經(jīng)過點且經(jīng)過點3 2,4p 222211145290363249xyyx橢圓方程為：或題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程一焦點將長軸分成：解:(3)的兩部分():()2:1acac3ac228bc22222222119889xyxycccc橢圓方程可設(shè)為：或22222222( 3 2)4( 3 2)4119889cccc或3 2,4p 橢圓過，22145436cc或20練習(xí)：已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)練習(xí)：已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點軸上，長軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過點p p（3 3

13、，0 0），求橢圓的方程。），求橢圓的方程。2222119981xxyy或分類討論分類討論的數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想232ab3ab3,1ab39ba或，21練習(xí)：練習(xí)：1. 根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 長軸長和短軸長分別為長軸長和短軸長分別為8 8和和6 6，焦點在，焦點在x x軸上軸上 長軸和短軸分別在長軸和短軸分別在y y軸，軸，x x軸上，經(jīng)過軸上，經(jīng)過p(-2,0)p(-2,0)， q(0,-3)q(0,-3)兩點兩點. .一焦點坐標(biāo)為（一焦點坐標(biāo)為（3 3，0 0）一頂點坐標(biāo)為（）一頂點坐標(biāo)為（0 0，5 5）兩頂點坐標(biāo)為（兩頂點坐標(biāo)為（0 0，6）

14、，且經(jīng)過點（），且經(jīng)過點（5，4）焦距是焦距是1212，離心率是，離心率是0.60.6，焦點在，焦點在x x軸上。軸上。22169xy+=12294yx+=1223425xy+=12210064xy+=1224536xy+=1222. 2. 已知橢圓的一個焦點為已知橢圓的一個焦點為f f（6 6，0 0）點）點b b，c c是短是短軸的兩端點，軸的兩端點，fbcfbc是等邊三角形，求這個橢圓的是等邊三角形，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程。6c 2ab362a 4 3,2 3ab2214812xy橢圓方程為：23105x練習(xí)：已知橢圓中心在原點，它在 軸的一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，

15、且這個焦點與較近的長軸的端點距離為，求這個橢圓方程。105acbc2ac221105xy橢圓方程為：5c 10,5ab24例例3：(1)橢圓橢圓 的左焦點的左焦點 是兩個頂點，如果到是兩個頂點，如果到f1直線直線ab的的距距 離為離為 ，則橢圓的離心率，則橢圓的離心率e= .22221(0)xyabab1(,0),fc(,0),(0, )aabb7b題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題:0abbxayab解 直線方程為122.7fabbcabbdba222bac2227()2acac2251480aacc24 .acac或51.2cea 1225例例3：(2)設(shè)設(shè)m為橢圓為橢圓 上

16、一點，上一點， 為橢圓的焦點，為橢圓的焦點， 如果如果 ，求橢圓的離心率。，求橢圓的離心率。22221(0)xyabab12ff、122175 ,15mffmf f題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題012211275 ,1590mffmf ffmf解：，1212sin15sin75sin90mfmfff由正弦定理：1212sin75sin15sin90mfmfff22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea 26題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題1113(3):fa,po ab(o)例已知f為橢圓的左焦點,a,b分別為橢圓的右頂點和

17、上頂點,p為橢圓上的點,當(dāng)pf為橢圓中心 時,求橢圓的離心率2222:1xyab解 設(shè)橢圓方程為11fapf2(,)bpca( ,0), (0, )a abbpo abpoabkk2/babcabc 22.22cceac 27練習(xí)：練習(xí)：12212fffpfpf()221. c.2- 2. 2122abd1.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 、 ，過 作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 ，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 ， d281. 1.基本量基本量: : a a、b b、c c、e e幾何意義：幾何意義：a a- -半長軸、半長軸、b b- -半短軸、半短軸、c c- -半焦距，半焦距，e e- -離

18、心率；離心率；相互關(guān)系：相互關(guān)系： 橢圓中的基本元素橢圓中的基本元素2. 2.基本點：基本點：頂點、焦點、中心頂點、焦點、中心3. 3.基本線基本線: : 對稱軸對稱軸（共兩條線）（共兩條線）222bacace 焦點總在長軸上焦點總在長軸上!小結(jié)：小結(jié)：29標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對稱性對稱性頂點坐標(biāo)頂點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)半軸長半軸長離心率離心率 a a、b b、c c的的關(guān)系關(guān)系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；關(guān)于原點成軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸長為短半軸長為b. b. ababceaa2=b2+c230標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍