江蘇省近四年高中數(shù)學競賽初賽試題及答案講解

1、2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽(2009年5月3日8001000)一、填空題(每小題7分，共70分) 1已知sincos1，則cos() 2已知等差數(shù)列an的前11項的和為55，去掉一項ak后，余下10項的算術平均值為4若a15，則k 3設一個橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率e 4已知，則實數(shù)x 5如圖，在四面體abcd中，p、q分別為棱bc與cd上的點，且bp2pc，cq2qdr為棱ad的中點，則點a、b到平面pqr的距離的比值為 6設f(x)log3x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是 7右圖是某種凈水水箱結構的設計草圖，其中凈水器是一個寬10cm、體積為30

2、00cm3的長方體，長和高未定凈水水箱的長、寬、高比凈水器的長、寬、高分別長20cm、20cm、60cm若不計凈水器中的存水，則凈水水箱中最少可以存水 cm38設點o是abc的外心，ab13，ac12，則· 9設數(shù)列an滿足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，則此數(shù)列的前2009項的和為 10設a是整數(shù)，0b1若a22b(ab)，則b 二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分) 11在直角坐標系xoy中，直線x2y40與橢圓1交于a，b兩點，f是橢圓的左焦點求以o，f，a，b為頂點的四邊形的面積12如圖，設d、e是abc的邊ab上的兩點，已知acdbce，ac

3、14，ad7，ab28，ce12求bc13若不等式k對于任意正實數(shù)x，y成立，求k的取值范圍14 寫出三個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)，請予以驗證； 是否存在四個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)？請證明你的結論2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽(2009年5月3日8001000)一、填空題(每小題7分，共70分) 1已知sincos1，則cos() 填0解：由于|sin|1，|cos|1，現(xiàn)sincos1，故sin1，cos1或sin1，cos1， 2k，2l或2k，2lÞ2(kl)(k，lz) cos()02已知等

4、差數(shù)列an的前11項的和為55，去掉一項ak后，余下10項的算術平均值為4若a15，則k 填11解：設公差為d，則得 555×11×11×10dÞ55d110Þd2 ak554×101552(k1)Þk113設一個橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率e 填解：由(2b)22c×2aÞa2c2acÞe2e10Þe4已知，則實數(shù)x 填1解：即Þ32x4×3x30Þ3x1(舍去)，3x3Þx15如圖，在四面體abcd中，p、q分別為棱

5、bc與cd上的點，且bp2pc，cq2qdr為棱ad的中點，則點a、b到平面pqr的距離的比值為 填解：a、b到平面pqr的距離分別為三棱錐apqr與bpqr的以三角形pqr為底的高故其比值等于這兩個三棱錐的體積比vapqrvapqd×vapcd××vabcdvabcd；又，sbpqsbcdsbdqscpq(1×)sbcdsbcd，vrbpqvrbcd×vabcdvabcd a、b到平面pqr的距離的比14又，可以求出平面pqr與ab的交點來求此比值：在面bcd內，延長pq、bd交于點m，則m為面pqr與棱bd的交點由menelaus定理知，&

6、#183;·1，而，故4在面abd內，作射線mr交ab于點n，則n為面pqr與ab的交點由menelaus定理知，··1，而4，1，故 a、b到平面pqr的距離的比146設f(x)log3x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是 填3，4解：定義域(0，4在定義域內f(x)單調增，且f(3)0故f(x)0的x的取值范圍為3，47右圖是某種凈水水箱結構的設計草圖，其中凈水器是一個寬10cm、體積為3000cm3的長方體，長和高未定凈水水箱的長、寬、高比凈水器的長、寬、高分別長20cm、20cm、60cm若不計凈水器中的存水，則凈水水箱中最少可以存水 cm3填78000解

7、：設凈水器的長、高分別為x，ycm，則xy300，v30(20x)(60y)30(120060x20yxy)30(12002300)30(15001200)30×2700 至少可以存水78000cm38設點o是abc的外心，ab13，ac12，則· 填解：設|r則·()···r2cos(2c)r2cos2br2(2sin2c2sin2b)(2rsinb)2(2rsinc)2(122132)9設數(shù)列an滿足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，則此數(shù)列的前2009項的和為 填2008解：若an10，則an2，故a20082，

8、a20072，a20062，a2005一般的，若an0，1，2，則an2，則an1，an2，an3an1，故an4an于是，an502(a1a2a3a4)a2009502(a2005a2006a2007a2008)a2009200810設a是整數(shù)，0b1若a22b(ab)，則b 填0，1解：若a為負整數(shù)，則a20，2b(ab)0，不可能，故a0于是a22b(ab)2(a1)Þa22a20Þ0a1Þa0，1，2a0時，b0；a1時，2b22b10Þb；a2時，b22b20Þb1說明：本題也可以這樣說：求實數(shù)x，使x22xx二、解答題(本大題共4小

9、題，每小題20分，共80分) 11在直角坐標系xoy中，直線x2y40與橢圓1交于a，b兩點，f是橢圓的左焦點求以o，f，a，b為頂點的四邊形的面積解：取方程組代入得，25y264y280 此方程的解為y2，y即得b(0，2)，a(，)，又左焦點f1(，0)連oa把四邊形afob分成兩個三角形得，s×2×××(727)也可以這樣計算面積：直線與x軸交于點c(4，0)所求面積×4×2×(4)×(727)也可以這樣計算面積：所求面積(0×20×00×()×2()×0()

10、×()×00×0)()(727)12如圖，設d、e是abc的邊ab上的兩點，已知acdbce，ac14，ad7，ab28，ce12求bc解：ÞacdabcÞabcacdbce cebe12aeabbe16 cosa bc2ac2ab22ac·abcosa1422822·14·28·72·9Þbc2113若不等式k對于任意正實數(shù)x，y成立，求k的取值范圍解法一：顯然k0()2k2(2xy)Þ(2k21)x2(k21)y0對于x，y0恒成立令t0，則得f(t)(2k21)t22t

11、(k21)0對一切t0恒成立當2k210時，不等式不能恒成立，故2k210此時當t時，f(t)取得最小值k21當2k210且2k230，即k時，不等式恒成立，且當x4y0時等號成立 k，)解法二：顯然k0，故k2令t0，則k2(1)令u4t11，則t只要求s(u)的最大值s(u)2，于是，(1)(12)k2，即k時，不等式恒成立(當x4y0時等號成立)又：令s(t)，則s¢(t)，t0時有駐點t且在0t時，s¢(t)0，在t時，s¢(t)0，即s(t)在t時取得最大值2，此時有k2(1s()解法三：由cauchy不等式，()2(1)(2xy)即()對一切正實數(shù)x，

12、y成立當k時，取x，y1，有，而kk×即不等式不能恒成立而當k時，由于對一切正實數(shù)x，y，都有k，故不等式恒成立 k，)14 寫出三個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)，請予以驗證； 是否存在四個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)？請證明你的結論解：對于任意nn*，n20，1(mod 4)設a，b是兩個不同的自然數(shù)，若a0(mod 4)或b0(mod 4)，或ab2(mod 4)，均有ab0(mod 4)，此時，ab102(mod 4)，故ab10不是完全平方數(shù)； 若ab1(mod 4)，或ab3(mod 4)，則ab1(mod

13、 4)，此時ab103(mod 4)，故ab10不是完全平方數(shù)由此知，ab10是完全平方數(shù)的必要不充分條件是ab(mod 4)且a與b均不能被4整除 由上可知，滿足要求的三個自然數(shù)是可以存在的，例如取a2，b3，c13，則2×31042，2×131062，3×131072即2，3，13是滿足題意的一組自然數(shù) 由上證可知不存在滿足要求的四個不同自然數(shù)這是因為，任取4個不同自然數(shù)，若其中有4的倍數(shù)，則它與其余任一個數(shù)的積加10后不是完全平方數(shù)，如果這4個數(shù)都不是4的倍數(shù)，則它們必有兩個數(shù)mod 4同余，這兩個數(shù)的積加10后不是完全平方數(shù)故證2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江

14、蘇賽區(qū)·初賽 一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）1方程的實數(shù)解為 2函數(shù)r的單調減區(qū)間是 .3在中，已知，則 .4函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐標系中，已知圓心在原點、半徑為的圓與的邊有公共點，其中、，則的取值范圍為 6設函數(shù)的定義域為r，若與都是關于的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上至少有 個零點. （第7題）7從正方體的條棱和條面對角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為 8圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種其中鍍金銀的概率是 9在三棱錐中，已知， ，且已知棱的長為，則此棱錐的體積為 10設復數(shù)列滿足，且若對任

15、意n* 都有，則的值是 二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）11直角坐標系中，設、是橢圓上的三點若，證明：的中點在橢圓上12已知整數(shù)列滿足，前項依次成等差數(shù)列，從第項起依次成等比數(shù)列 (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 求出所有的正整數(shù)，使得13如圖，圓內接五邊形中，是外接圓的直徑，垂足. 過點作平行于的直線，與直線、分別交于點、 證明： (1) 點、共圓； (2) 四邊形是矩形14求所有正整數(shù)，使得與都是完全平方數(shù)參考答案1、 x0無解; 當時，原方程變形為32x+3x6=0，解得3x=2，x=log322、 與f(x)=y2=1+|sin2x|的單調減區(qū)間相同， z 3、 ，得4、極

16、小值4，端點函數(shù)值f(2)=0，f(0)=2，最小值4，最大值05、畫圖觀察，r最小時圓與直線段ac相切，r最大時圓過點b，106、f(2k-1)=0，kz. 又可作一個函數(shù)滿足問題中的條件，且的一個零點恰為，kz. 所以至少有50個零點. 7、不能有公共端點，最多4條，圖上知4條可以8、窮舉法，注意可翻轉，有6種情況，2金2銀有兩種，概率為 9、4面為全等的等腰三角形，由體積公式可求得三棱錐的體積為 144 10、由，恒成立，即. 因為或，故，所以11、解：設a(x1，y1)，b (x2，y2)，則 y121，y221 由，得 m(x1x2，y1y2) 因為m是橢圓c上一點，所以 (y1y2

17、)21， 6分 即 (y12)()2(y22)()2+2()()(y1y2)=1， 得 ()2()2+2()()(y1y2)1，故 y1y20 14分 又線段ab的中點的坐標為 (，)， 所以 2()2(y12)+(y22)+y1y21，從而線段ab的中點(，)在橢圓2y21上 20分 12、解：(1) 設數(shù)列前6項的公差為d，則a5=1+2d，a6=1+3d，d為整數(shù). 又a5，a6，a7成等比數(shù)列，所以(3d1)2=4(2d1)， 即 9d214d+5=0，得d =1. 6分 當n6時，an =n4， 由此a5=1，a6=2，數(shù)列從第5項起構成的等比數(shù)列的公比為2， 所以，當n5時，an

18、=2n-5. 故 an = 10分(2) 由（1）知，數(shù)列為：3，2，1，0，1，2，4，8，16， 當m=1時等式成立，即 321=6=(3)(2)(1)； 當m=3時等式成立，即 1+0+1=0； 當m=2、4時等式不成立； 15分 當m5時，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(231)=7×2m-5， 7×2m-523m-12， 所以 am +am+1+am+2amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或m=3 20分abcdefhg13、證明：(1) 由hgce，得bhf=bec， 又同弧的圓周角 baf=bec， baf

19、=bhf， 點 a、b、f、h共圓； 8分 (2) 由(1)的結論，得 bha=bfa， bead， bfac， 又ad是圓的直徑， cgac， 14分 由a、b、c、d共圓及a、b、f、h共圓，bfg =dab =bcg， b、g、c、f共圓. bgc=afb=900, bggc， 所以四邊形bfcg 是矩形 20分14、解：若x=y，則x2+3x是完全平方數(shù). x2x2+3xx2+4x+4= (x+2)2， x2+3x= (x+1)2， x=y =1. 5分 若xy，則x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2. x2+3y是完全平方數(shù)， x2+3y= (x+1)2，得3y =

20、 2x+1，由此可知y是奇數(shù)，設y = 2k+1，則x=3k+1，k是正整數(shù). 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方數(shù)，且 (2k+2)2=4k2+8k+44k2+13k+44k2+16k+16= (2k+4)2， y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，從而求得x=16，y=11. 15分 若xy，同xy情形可求得 x=11，y=16.綜上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11) 20分2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽題一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫在橫線上）1 復

21、數(shù) 2 已知直線是圓的一條對稱軸，則實數(shù) .3 某班共有30名學生，若隨機抽查兩位學生的作業(yè)，則班長或團支書的作業(yè)被抽中的概率是 （結果用最簡分數(shù)表示）4 已知，則 5 已知向量a，b滿足，則以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為 6 設數(shù)列an的前n項和為sn若sn是首項及公比都為2的等比數(shù)列，則數(shù)列an3的前n項和等于 7 設函數(shù)若f(a)f(b)，且0ab，則ab的取值范圍是 8 設f(m)為數(shù)列an中小于m的項的個數(shù)，其中，則 9 一個等腰直角三角形的頂點分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側棱上，則此直角三角形的斜邊長是 10已知m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，則m所有可能的值是

22、二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知圓與拋物線有公共點，求實數(shù)h的取值范圍12設若時，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值13如圖，p是內一點（1）若p是的內心，證明：；（2）若且，證明：p是的內心abcp14已知是實數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得為有理數(shù)2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽題 答案及點評一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫在橫線上）1 復數(shù) 答案：8基礎題，送分題，高考難度2 已知直線是圓的一條對稱軸，則實數(shù) .答案：基礎題，送分題，高考難度3 某班共有30名學生，若隨機抽查兩

23、位學生的作業(yè)，則班長或團支書的作業(yè)被抽中的概率是 （結果用最簡分數(shù)表示）答案：基礎題，送分題，高考難度，但需要認真審題，否則很容易有錯4 已知，則 答案：計算量挺大的，要注重計算的方法，對于打醬油的同學有一定難度5 已知向量a，b滿足，則以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為 答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐標系中，很容易可以得出答案6 設數(shù)列an的前n項和為sn若sn是首項及公比都為2的等比數(shù)列，則數(shù)列an3的前n項和等于 答案：高考難度級別，基礎好的同學可以做出來7 設函數(shù)若f(a)f(b)，且0ab，則ab的取值范圍是 答案：(0,2)這是一道高考題8 設f(m)為數(shù)列an

24、中小于m的項的個數(shù)，其中，則 答案：6這也是一道高考題9 一個等腰直角三角形的頂點分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側棱上，則此直角三角形的斜邊長是 答案：4還是一道高考題10已知m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，則m所有可能的值是 答案：3,14,30這是2011年蘇州市一模的第十四題。二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知圓與拋物線有公共點，求實數(shù)h的取值范圍解：設公共點（cos，sin），代入拋物線方程，得因為，所以簡單，很簡單12設若時，且在區(qū)間上的最大值為1，求的最大值和最小值解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且在區(qū)間上的最大值只能在閉端點取得，故有，從而且若有實根

25、，則，在區(qū)間有即消去c，解出即，這時，且若無實根，則，將代入解得綜上所以，單調遞減故注重分類討論13如圖，p是內一點（1）若p是的內心，證明：；（2）若且，證明：p是的內心abcp證明：（1）這其實是平面幾何一個很重要的結論，在一般的平面幾何的參考書上都有14已知是實數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)證明：存在無窮多個正整數(shù)n，使得為有理數(shù)證明：設，其中p，q為互質的正整數(shù)，則設k為任意的正整數(shù)，構造，則非常非常常規(guī)的一道數(shù)論題，不需要數(shù)論的預備知識總結：這張試卷大約90分以上應該可以出線了。一般說來，出線并不算太難，只要平時基礎好，不粗心，填空題應該可以做滿分（筆者錯了一個），對于沒有進行過競賽輔導的同學來說，大題的1、2兩題還是可以做做的。尤其提醒一點，大題目不管會不會做，一定要寫寫，寫寫總是有分的，而且分很多。比如最后一題，只要把他設出來，就有8分。2012高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、填空題（70分）1、當時，函數(shù)的最大值為_.2、在中，已知則_.3、從集合中隨機選取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)可以構成等差數(shù)列的概率為_.4、已知是實數(shù)，方程的一個實根是（是虛部單位），則的值為_.5、在平面直角坐標系中，雙曲線的右焦點為，一