定積分基本計(jì)算公式-定積分的計(jì)算公式

1、一一 定積分計(jì)算的基本公式定積分計(jì)算的基本公式 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記( )( ).xaxf t dt 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)4. 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算1語(yǔ)言資格考試PPTabxyoxx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x2語(yǔ)言資格考試PPT dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得( ),fx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x.xxx 在在 與與之之間間3

2、語(yǔ)言資格考試PPT補(bǔ)充補(bǔ)充 ( )( )( )( )f b x b xf a x a x 證證: dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF ()()( )( )b xa xdFxf t dtdx 4語(yǔ)言資格考試PPT例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應(yīng)

3、用洛必達(dá)法則型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則.5語(yǔ)言資格考試PPT證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF6語(yǔ)言資格考試PPT ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF7語(yǔ)言資格考試PPT證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0

4、 令令8語(yǔ)言資格考試PPT基本公式基本公式CxxF )()(,bax 證證9語(yǔ)言資格考試PPT令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 10語(yǔ)言資格考試PPT)()()(aFbFdxxfba 基本公式表明基本公式表明 baFx 注意注意求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系11語(yǔ)言資格考試PPT例例4 4

5、求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式202sincosxxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 xyo1212語(yǔ)言資格考試PPT例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 13語(yǔ)言資格考試PPT例例7 7 求求 解解.112dxx dxx 12112ln|x . 2ln2ln

6、1ln 解解 面積面積xyo 0sin xdxA0cos x . 2 14語(yǔ)言資格考試PPT二二 定積分的換元公式定積分的換元公式定理定理15語(yǔ)言資格考試PPT證證),()()(aFbFdxxfba ( )( ),tFt 令令dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf16語(yǔ)言資格考試PPT)()( )()( FF ),()(aFbF ( )( )( )baf xdxF bF a )()( .)()(dtttf 17語(yǔ)言資格考試PPT應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:（1）（2）18語(yǔ)言資格考試PPT例例9 9 計(jì)算計(jì)算.sincos205

7、xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 19語(yǔ)言資格考試PPT例例10 10 計(jì)算計(jì)算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 20語(yǔ)言資格考試PPT證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf例例1111 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa

8、上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有 )(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 aadxxf0)(. 21語(yǔ)言資格考試PPT 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 22語(yǔ)言資格考試PPT奇函數(shù)奇函數(shù)例例12 12 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 102

9、22)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積23語(yǔ)言資格考試PPT證證tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft24語(yǔ)言資格考試PPT 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf25語(yǔ)言資格

10、考試PPT三、定積分的分部積分法三、定積分的分部積分法定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式證證 ,vuvuuv (),bbaauv dxuv ,bbbaaauvu vdxuv dx.bbbaaaudvuvvdu26語(yǔ)言資格考試PPT例例1414 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則27語(yǔ)言資格考試PPT例例1515 計(jì)算計(jì)算解解.2cos140 xxdx,cos22cos1

11、2xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 401tan2xx xdxtan2140 401lnsec82x .42ln8 28語(yǔ)言資格考試PPT例例1616 計(jì)算計(jì)算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 29語(yǔ)言資格考試PPT解解例例1717 設(shè)設(shè) 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xd

12、xf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx30語(yǔ)言資格考試PPT 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf31語(yǔ)言資格考試PPT例例1818 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),si

13、n1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv 32語(yǔ)言資格考試PPT dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止33語(yǔ)言資格考試PPT,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是34語(yǔ)言資格考試PPT四、雜例四、雜例例例19 19 計(jì)算極限計(jì)算極限111lim12nnnnn11111111212111nnnnnnnnn解解： 1( ),0 1.1f xx 令令它它在在， 連連續(xù)續(xù) 0