方差分析及MATLAB實現(xiàn)

1、1 單因素方差分析單因素方差分析 1.1 1.1 數(shù)學模型數(shù)學模型 1.2 1.2 統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析 1.3 1.3 方差分析表方差分析表 1.4 matlab1.4 matlab實現(xiàn)實現(xiàn)2 雙因素方差分析雙因素方差分析 2.1 2.1 數(shù)學模型數(shù)學模型 2.2 2.2 無交互影響的雙因素方差分析無交互影響的雙因素方差分析 2.3 2.3 有交互影響的雙因素方差分析有交互影響的雙因素方差分析 2.4 matlab2.4 matlab實現(xiàn)實現(xiàn) 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學第第1 1章章 方差分析方差分析 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學研究中在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科

2、學研究中, ,經(jīng)常遇到這樣經(jīng)常遇到這樣的問題的問題: :影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多, ,我們我們需要了解在這眾多的因素中需要了解在這眾多的因素中, ,哪些因素對影響哪些因素對影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量有顯著影響. .為此為此, ,要先做試驗要先做試驗, ,然后對測試的結(jié)果進行分析然后對測試的結(jié)果進行分析. .方差分析就是分方差分析就是分析測試結(jié)果的一種方法析測試結(jié)果的一種方法. . 在方差分析中在方差分析中, ,把在試驗中變化的因素稱為把在試驗中變化的因素稱為因子因子, ,用用a a、b b、c c、.表示表示; ;因子在試驗中所取因子在試驗中所取

3、的不同狀態(tài)稱為水平的不同狀態(tài)稱為水平, ,因子因子a a的的r r個不同水平用個不同水平用a a1 1、a a2 2、.、a ar r表示表示. . 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學1 1 單因子方差分析單因子方差分析1.1 1.1 基本概念與數(shù)學模型基本概念與數(shù)學模型水平水平觀測值觀測值a1x11x12.x1n1a2x21x22x2n2arxr1xr2xrnr 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 例例: :為尋求適應本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種為尋求適應本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種, ,今選今選了五種不同品種進行試

4、驗了五種不同品種進行試驗, ,每一品種在四塊試驗每一品種在四塊試驗田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: : 品種田塊a1a2a3a4a51256244250288206222230027728021232802902303152204298275322259212 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異產(chǎn)量是否有顯著差異. . 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 試驗的目的就是要檢驗假設試驗的目的就是要檢驗假設 h h0 0:1 1=2 2=3 3=4 4=5 5是否

5、成立是否成立. .若是拒絕若是拒絕 , ,那么我們就認為這五種品那么我們就認為這五種品種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異種的平均畝產(chǎn)量之間有顯著差異; ;反之反之, ,就認為各就認為各品種間產(chǎn)量的不同是由隨機因素引起的品種間產(chǎn)量的不同是由隨機因素引起的. .方差分方差分析就是檢驗假設的一種方法析就是檢驗假設的一種方法. . 在本例中只考慮品種這一因子對畝產(chǎn)量的影響在本例中只考慮品種這一因子對畝產(chǎn)量的影響, ,五個不同品種就是該因子的五個不同水平五個不同品種就是該因子的五個不同水平. .由于由于同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同同一品種在不同田塊上的畝產(chǎn)量不同, ,我們可以認我們可以認為一個品種的畝產(chǎn)量

6、就是一個總體為一個品種的畝產(chǎn)量就是一個總體, ,在方差分析中在方差分析中總假定各總體獨立地服從同方差正態(tài)分布總假定各總體獨立地服從同方差正態(tài)分布, ,即第即第i i個品種的畝產(chǎn)量是一個隨機變量個品種的畝產(chǎn)量是一個隨機變量, ,它服從分布它服從分布n(n(i i,2 2), i=1,2,3,4,5.), i=1,2,3,4,5. 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 設在某試驗中設在某試驗中, ,因子因子a a有有r r個不同水平個不同水平a a1 1,a,a2 2,.,a,.,ar r, ,在在a ai i水平下的試驗結(jié)果水平下的試驗結(jié)果x xi i

7、服從正態(tài)服從正態(tài)分布分布n(n(i i,2 2),i=1,2,.,r,),i=1,2,.,r,且且x x1 1,x,x2 2,.,x,.,xr r間間相互獨立相互獨立. .現(xiàn)在水平現(xiàn)在水平a ai i下做了下做了n ni i次試驗次試驗, ,獲得了獲得了n ni i個試驗結(jié)果個試驗結(jié)果x xijij,j=1,2,.,n,j=1,2,.,ni i這可以看成是取自這可以看成是取自x xi i的一個容量為的一個容量為n ni i的樣本的樣本,i=1,2,.,r. ,i=1,2,.,r. 實際上實際上, ,方差分析是檢驗同方差的若干正態(tài)總體方差分析是檢驗同方差的若干正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計方法均

8、值是否相等的一種統(tǒng)計方法. . 在實際問題中影響總體均值的因素可能不止一在實際問題中影響總體均值的因素可能不止一個個. .我們按試驗中因子的個數(shù)我們按試驗中因子的個數(shù), ,可以有單因子方差可以有單因子方差分析分析, ,雙因子分析雙因子分析, ,多因子分析等多因子分析等. .例中是一個單因例中是一個單因子方差分析問題子方差分析問題. . 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學水平水平觀測值觀測值a1x11x12.x1n1a2x21x22x2n2arxr1xr2xrnr 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 由于

9、由于xijn(i,2) , ,故故x xijij與與i i的差可以看成一個的差可以看成一個隨機誤差隨機誤差ijn(0,2) . .這樣一來這樣一來, ,可以假定可以假定x xijij具有下具有下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式: :,.,2 , 1,111rinnnniiriiriii 為了今后方便起見為了今后方便起見, ,把參數(shù)的形式改變一下把參數(shù)的形式改變一下, ,并并記記 稱稱為一般平均為一般平均, ,i i為因子為因子a a的第的第i i 個水平的效應個水平的效應. . xij= i+ ij,i=1,2,.,r;j=1,2,.,ni其中諸其中諸ijn(0,2),且相互獨立且相互獨立. .要檢驗

10、的假設是要檢驗的假設是 h0:1=2=r 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 在這樣的改變下在這樣的改變下, ,單因子方差分析模型中的數(shù)單因子方差分析模型中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫成據(jù)結(jié)構(gòu)式可以寫成: :所要檢驗的假設可以寫成所要檢驗的假設可以寫成: :iijiijnjrix,.,2 , 1;,.,2 , 1,0.:210rh 為了導出檢驗假設的統(tǒng)計量為了導出檢驗假設的統(tǒng)計量, ,下面我們分析一下面我們分析一下什么是引起諸下什么是引起諸x xijij 波動的原因波動的原因. .riiin10 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學

11、（華東）理學院數(shù)學 平方和分解公式平方和分解公式：引起諸引起諸x xijij 波動的原因有兩個波動的原因有兩個: :一個是假設一個是假設h h0 0為真時為真時, ,諸諸x xijij的波動純粹是隨機性的波動純粹是隨機性引起的引起的; ;另一個可能是假設另一個可能是假設h h0 0不真而引起的不真而引起的. .因而我因而我們就想用一個量來刻劃諸們就想用一個量來刻劃諸x xijij之間的波動之間的波動, ,并把引起并把引起波動的兩個原因用另兩個量表示出來波動的兩個原因用另兩個量表示出來, ,這就是方差這就是方差分析中常用的平方和分解法分析中常用的平方和分解法. .rinjijtixxs112)(

12、rinjijixnx111其中令之間的波動反映之間的偏差平方和來與樣本總平均通常用.ijijxxx1.2 1.2 統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學rinjiiijrinjijtiixxxxxxs112112).()(則其中交叉乘積項其中交叉乘積項iinjiijriiirinjiijxxxxxxxx1111.)().(2).(.)(211.iniijjixxn令riiirinjiijxxnxxi12211).(.)(0.).( ).(21iiriixtxxx).(.)(2).(.)(11112112xxxxxxxxirinjiij

13、rinjirinjiijiii 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學22111(.)(.).inrreijiaiiijiteasxxsn xxsss記則為一平方和分解式個下面我們來看各式的意義下面我們來看各式的意義111,.inrijijxxn是所有數(shù)據(jù)的平均值 稱總平均值為1.,.1iniijjixxin是從第 個總體中抽得的樣本平均值為組平均值稱 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學211()(,.)inrtijijsxx表示所有數(shù)據(jù)與總平均值的離差平方和 是描述全部數(shù)據(jù)離散程度的一個指標 稱為總偏差平

14、方和 總離差平方和211(.().),inreijiijsxx表示每個數(shù)據(jù)與其組平均值的離誤差偏差差平方和 反映了試驗中的隨平方和 組內(nèi)離差平機誤稱方和差為21(.),. )(),raiiisn xxa表示組平均值與總平均值的離差平方和 反映了各總因子體 因子 的不同水偏差平方平 均值之和 組間離差間的差異程度平方和稱為 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 檢驗統(tǒng)計量的構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量的構(gòu)造:.),(,0.:2210且相互獨立一切為真時當nxhijn2112) 1()(snxxsrinjijti) 1() 1(2222nsnst故.2是全體樣本的樣本

15、方差其中s 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學對于各組樣本有對于各組樣本有212.) 1()(iinjiijsnxxi組樣本的樣本方差是第組樣本的樣本容量是第其中isinii2因此因此rinsniii, 2 , 1),1() 1(222.,22221相互獨立且各組樣本方差rsss分布的可加性知及由21) 1(riinrn)() 1(21222rnsnsriiie 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學121221212212:,.,(0,1),.,.( ).(),1,2,.,.,.()njnjkkjjkxx

16、xnnqxxxfqqqnfcochranffnqfjkq qq設為 個相互獨立的隨機變量是某些的線性組合的平方和 其自由度分柯赫倫分解定別為如果且且理則相互獨立 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學.,)/() 1/(,0.:,0210不真可以認為假設值過大時當也不應太大從而的值不應太大為真時故當假設異程度均值之間的差反映的是因子不同水平由于hfrnsrsfshseaara.) 1(,)() 1(122222相互獨立與且故有條件全部滿足可知柯赫倫分解定理的及由于eaaeatssrsrnrnsss 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國

17、石油大學（華東）理學院數(shù)學), 1()/() 1/(,0.:,210rnrfrnsrsfhean為真時當由此可知.,.,), 1(,001下無顯著差異間在顯著性水平認為因子各水平否則接受下有顯著差異著性水平認為因子各水平間在顯拒絕假設時當對給定的顯著性水平按照顯著性檢驗程序hhrnrff 一般一般, ,當當ffff0.010.01時時, ,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著, ,記為記為“* * *”; ;當當f f0.010.01ffff0.050.05時時, ,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著, ,記為記為“* *”; ; 當當f ff f0.050.05時時, ,稱因子無顯著影響稱

18、因子無顯著影響, ,即認為因即認為因子各水平間無差異子各水平間無差異. . 檢驗過程：檢驗過程： 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學2222.11112222.111,1111/ (1)/ ()iiinnrrtijijrijijrriiaaiiiietaeaeriiinsxnxxtfnnxxsnxtfrnnnsssfnrsrfsnrnn若因子的每一水平所進行的試驗次數(shù)不等 設在第 個水平下試驗了次 則在具體計算時 可用下式,其中為試驗的總.111,.iinnriijijjijxxtx次數(shù)1.3 1.3 方差分析表方差分析表 20122012年年中國

19、石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 例例: :為尋求適應本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種為尋求適應本地區(qū)的高產(chǎn)油菜品種, ,今選今選了五種不同品種進行試驗了五種不同品種進行試驗, ,每一品種在四塊試驗每一品種在四塊試驗田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下田上得到在每一塊田上的畝產(chǎn)量如下: : 品種田塊a1a2a3a4a51256244250288206222230027728021232802902303152204298275322259212 我們要研究的問題是諸不同品種的平均畝我們要研究的問題是諸不同

20、品種的平均畝產(chǎn)量是否有顯著差異產(chǎn)量是否有顯著差異. . 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學計算表各水平的田塊品種1234和和平方a1256 222 280 29810561115136a2244 300 290 27511091229881a3250 277 230 32210791164241a4288 280 315 25911421304164a5206 212 220 212850722500 解解:先列表計算先列表計算 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學412.2514155359228 .1

21、370784)(201iiijijxx5141251411395472523620, 4, 5ijijijijxxntr這里2 .246878 .13707841395472ts7 .131958 .1370784553592241as5 .114917 .131952 .24687atesss 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學89. 4)15, 4(06. 3)15, 4(36. 2)15, 4(99. 095. 090. 0fff查表知.89. 4)15, 4(31. 4)15, 4(06. 399. 095. 0有顯著差異所以不同品種的畝產(chǎn)

22、量因此fff 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學例例: : 下面給出了隨機選取的下面給出了隨機選取的, , 用于計算器的四種用于計算器的四種類型的電路的響應時間類型的電路的響應時間( (以毫秒計以毫秒計).). 表表: : 電路的響應時間電路的響應時間類型類型i i類型類型iiii類型類型iiiiii類型類型iviv1515222220201818404021213333272716 1716 17151518182626181822221919這里試驗的指標是電路的響應時間這里試驗的指標是電路的響應時間. 電路類型為因素電路類型為因素. 這一因素

23、有四個水平這一因素有四個水平, 試驗的目的是要考察各類型電試驗的目的是要考察各類型電路對響應時間的影響路對響應時間的影響. 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學設四種類型電路的響應時間的總體均為正態(tài)設四種類型電路的響應時間的總體均為正態(tài), , 且各總體方差相同且各總體方差相同, , 但參數(shù)均未知但參數(shù)均未知. . 又設各樣又設各樣本相互獨立本相互獨立. . 解解 分別以分別以m m1 1, ,m m2 2, ,m m3 3, ,m m4 4記類型記類型i,ii,iii,ivi,ii,iii,iv四種電路四種電路響應時間總體的平均值響應時間總體的平均值

24、. . 我們需檢驗我們需檢驗( (a a=0.05)=0.05)h h0 0: :m m1 1= =m m2 2= =m m3 3= =m m4 4, ,h h1 1: :m m1 1, ,m m2 2, ,m m3 3, ,m m4 4不全相等不全相等. .現(xiàn)在現(xiàn)在n n=18, =18, s s=4, =4, n n1 1= =n n2 2= =n n3 3=5, =5, n n4 4=3,=3,試驗號試驗號1 12 23 34 45 5和和和平方和平方類型類型i i19191515222220201818949488368836類型類型iiii2020404021213333272714

25、11411988119881類型類型iiiiii 16161717151518182626929284648464類型類型iviv181822221919595934813481 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學s st t, ,s sa a, ,s se e的自由度依次為的自由度依次為17,3,1417,3,1444.71418386899218224112txsinjijti98.31818386359)9214194(5118222222412tnxsiiia46.395atesss 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石

26、油大學（華東）理學院數(shù)學 表表:方差分析表方差分析表方差來源方差來源 平方和平方和 自由度自由度均方均方f值值顯著性顯著性因素因素318.983106.333.76*誤差誤差395.461428.25總和總和714.4417因因f0.95(3, 14)=3.343.76 f0.99(3, 14)=5.56, 故認為各類故認為各類型電路的響應時間有顯著差異型電路的響應時間有顯著差異. 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學1.4. 單因素方差分析的單因素方差分析的matlab實現(xiàn)實現(xiàn)單因素方差分析單因素方差分析:anova1調(diào)用格式調(diào)用格式:(1) p=

27、anova1(x)(2) p=anova1(x,group)(3) p=anova1(x,group,displayopt)(4) p,table=anova1(.)(5) p,table,stats=anova1(.) 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學（2） p=anova1(x,group)輸入：輸入：x是一個向量，從第一個總體的樣本到第是一個向量，從第一個總體的樣本到第r個總個總體的樣本依次排列，體的樣本依次排列，group是與是與x有相同長度的向量，有相同長度的向量，表示表示x中的元素是如何分組的中的元素是如何分組的. group中某元素

28、等于中某元素等于i,表示表示x中這個位置的數(shù)據(jù)來自第中這個位置的數(shù)據(jù)來自第i個總體個總體.因此因此group中中分量必須取正整數(shù)，從分量必須取正整數(shù)，從1直到直到r.（1）p=anova1(x) %比較比較x中中各列數(shù)據(jù)各列數(shù)據(jù)的均值是否的均值是否相等。相等。此時輸出的此時輸出的p是零假設成立時，數(shù)據(jù)的概率，是零假設成立時，數(shù)據(jù)的概率，當當p0.05稱差異是顯著的，當稱差異是顯著的，當p x=2.1650 3.6961 1.5538 3.6400 4.95511.6268 2.0591 2.2988 3.8644 4.20111.0751 3.7971 4.2460 2.6507 4.2348

29、1.3516 2.2641 2.3610 2.7296 5.86170.3035 2.8717 3.5774 4.9846 4.9438; p=anova1(x)p =5.9952e-005 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學例例. 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚20尾，隨尾，隨機分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個月試驗以后，機分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個月試驗以后，各組魚的增重結(jié)果列于下表。各組魚的增重結(jié)果列于下表。表表 飼喂不同飼

30、料的魚的增（單位：飼喂不同飼料的魚的增（單位：10g）飼料飼料魚的增重（魚的增重（xijij）a a1 131.931.927.927.931.831.828.428.435.935.9a a2 224.824.825.725.726.826.827.927.926.226.2a a3 322.122.123.623.627.327.324.924.925.825.8a a4 427.027.030.830.829.029.024.524.528.528.5四種不同飼料對魚的增重效果是否顯著四種不同飼料對魚的增重效果是否顯著 ？ 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（

31、華東）理學院數(shù)學解解：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，：這是單因素均衡數(shù)據(jù)的方差分析，matlab程序程序如下：如下：a=31.927.9 31.8 28.4 35.9 24.825.7 26.8 27.9 26.2 22.123.6 27.3 24.9 25.8 27.030.8 29.0 24.5 28.5; %原始數(shù)據(jù)輸入原始數(shù)據(jù)輸入 b=a; % 將矩陣轉(zhuǎn)置將矩陣轉(zhuǎn)置,matlab中要求各列為不同水平中要求各列為不同水平p=anova1(b) 運行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖運行后得到一表一圖，表是方差分析表（重要）；圖是各列數(shù)據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠的對應于是各列數(shù)

32、據(jù)的盒子圖，離盒子圖中心線較遠的對應于較大的較大的f值，較小的概率值，較小的概率p. 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學sourcesource方差來源方差來源ssss平方和平方和dfdf自由度自由度msms均方差均方差f f統(tǒng)計量統(tǒng)計量p p值值columnscolumns( (因素因素a a組間組間) )ssssa ar-1r-1ss/(r-1)ss/(r-1)7.147.140.00290.0029errorerror誤差誤差（組內(nèi)）（組內(nèi)）sssse en-rn-rss/(n-r)ss/(n-r)totaltotal總和總和sssst tn

33、-1n-1表中所列出的各項意義如下：表中所列出的各項意義如下：因為因為p=0.0029fff0.990.99時時, ,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著, ,記為記為“* * *”; ;當當f f0.990.99ffff0.950.95時時, ,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著, ,記為記為“* *”; ; 當當f ff f0.950.95時時, ,稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響, ,即認為因即認為因子各水平間無差異子各水平間無差異. . 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 例例:為了考察蒸餾水的為了考察蒸餾水的ph值和硫酸銅溶液濃度值和硫

34、酸銅溶液濃度對化驗血清中白蛋白與球蛋白的影響對化驗血清中白蛋白與球蛋白的影響,對蒸餾水的對蒸餾水的ph值值(a)取了取了4個不同水平個不同水平,對硫酸銅溶液濃度對硫酸銅溶液濃度(b)取了取了3個不同水平個不同水平,在不同水平組合在不同水平組合(ai,bj)下各測一下各測一次白蛋白與球蛋白之比次白蛋白與球蛋白之比,其結(jié)果列于計算表的左上其結(jié)果列于計算表的左上角角.試檢驗兩因子對化驗結(jié)果有無顯著差異試檢驗兩因子對化驗結(jié)果有無顯著差異.解解 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學26. 022. 252.3897.1624129. 552.3843.1313

35、177. 752.3829.4652.38)(121,29.4612, 3, 42413141312batebatijijijijsssssssxxrsnsr這里 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學查查f-分布表得分布表得:f0.95(3,6)= 4.76, f0.95(2,6)= 5.14 , f0.99(3,6)=9.78, f0.99(2,6)=10.9,由此可知由此可知fa f0.99(3,6); fb f0.99(2,6).所以因子所以因子a及及因子因子b的不同水平對化驗結(jié)果有高度顯著影響的不同水平對化驗結(jié)果有高度顯著影響. 201220

36、12年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學.),(),(,.,.,22121分布獨立地服從水平組合下的試驗結(jié)果在個不同水平取因子平個不同水取因子有二個因子在變動設在某試驗中ijjisrnbabbbsbaaarasjrrisrsjjriijjiisjijirisjij,.,2 , 11;,.,2 , 111,.1.1.11并令把參數(shù)改變一下為了研究方便2.3 有交互作用的雙因子方差分析有交互作用的雙因子方差分析 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學11,0,1,2,.,0,1,2,.,ijijijijijrijisijjaib

37、jjsir若則稱為因子 的第 個水平與因子 的第 個水平的交互效應 它們滿足關系式11,00ijrsijijaibj稱 為一般平均為因子 的第 個水平的效應為因子 的第 個水平的效應 它們滿足關系式 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學11112,(,)(2),:0,0,0,0,(0,),1,2,., ;1,2,., ;1,2ijijkijkijijijkrsijijrsijijijijka bt txxnirjsk為了研究有交互效應對結(jié)果是否有顯著影響 那么在水平組合下至少要做次試驗 并記結(jié)果為如表所示 則有交互作用的方差分析模型為且相互獨立,.,

38、t 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學0112021203:.0:.0:0, ,:rsijhhhi j 對此模型要做的檢驗假設為risjtkijkxnx1111其中其中n=rst 仍然用平方和分解的思想來給出檢驗用的統(tǒng)仍然用平方和分解的思想來給出檢驗用的統(tǒng)計量，先引入下述記號：計量，先引入下述記號： 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學sjxrtxxxrixstxxxsjrixxxxijrjtkijkjiisjtkijkii

39、jtijtkijki,.,2 , 1.,1. .,. .,.,2 , 1.,1.,.,.,2 , 1;,.,2 , 1.,.,.111111. . .jjjijiijijjiijxxxsx由此可知由此可知 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學總的偏差平方和可作如下的分解總的偏差平方和可作如下的分解:21112211112211 11()(.)(.)(. .)(.)rsttijkijkrstrijkijiijkisrsjijiijijeaba bsxxxxst xxrt xxt xxxxssss 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石

40、油大學（華東）理學院數(shù)學其中各偏差平方和表達式如下其中各偏差平方和表達式如下:risjtkijijkexxs1112.)(riiaxxsts12).(sjjbxxrts12). .(risjjiijbaxxxxts112). .( 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 各偏差平方和的意義各偏差平方和的意義: : s se e表示試驗的隨機波動引起的誤差表示試驗的隨機波動引起的誤差, ,稱為誤差稱為誤差平方和平方和; ; s sa a除了反映了試驗的隨機波動引起的誤差外除了反映了試驗的隨機波動引起的誤差外, ,還反還反映了因子映了因子a a的效應間的差

41、異的效應間的差異, ,稱為因子稱為因子a a的偏差平方和的偏差平方和; ; s sb b除了反映了試驗的隨機波動引起的誤差外除了反映了試驗的隨機波動引起的誤差外, ,還反映還反映了因子了因子b b的效應間的差異的效應間的差異, ,稱為因子稱為因子b b的偏差平方和的偏差平方和; ; s sa ab b除了反映了試驗的隨機波動引起的誤差外除了反映了試驗的隨機波動引起的誤差外, ,還還反映了交互效應的差異所引起的波動反映了交互效應的差異所引起的波動, ,稱為交互作稱為交互作用的偏差平方和用的偏差平方和. . 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學)1(,

42、1() 1(/) 1/(,01trsrftrssrsfheaa為真時當 同無交互作用的情況類似可得同無交互作用的情況類似可得: 檢驗統(tǒng)計量及顯著性檢驗檢驗統(tǒng)計量及顯著性檢驗:)1(),1)(1() 1(/) 1)(1/(,03trssrftrsssrsfhebaba為真時當)1(, 1() 1(/) 1/(,02trssftrssssfhebb為真時當 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 這就是用來檢驗假設這就是用來檢驗假設h01,h02,h03,的統(tǒng)計量的統(tǒng)計量.按照顯按照顯著性假設檢驗程序著性假設檢驗程序,對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平,

43、 當當faf1-(r-1,rs(t-1)時拒絕時拒絕h01; 當當fbf1-(s-1,rs(t-1)時拒絕時拒絕h02; 當當 fabf1-(r-1)(s-1),rs(t-1)時拒絕時拒絕h03. 具體的計算過程具體的計算過程,各偏差平方和的計算也可用下各偏差平方和的計算也可用下面簡化的表達式面簡化的表達式,且可列成一張計算表和方差分析且可列成一張計算表和方差分析表表. 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學) 1() 1)(1(111111,1122.212.212.11122trsfssssssrfssxnxtssfxnxrtsrfxnxstsrs

44、tfxnxsebabateribasjbaijbabrijbariiatrisjtkijkt可用下式在具體計算時 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 一般一般,當當ff0.99時時,稱因子的影響高度顯著稱因子的影響高度顯著,記為記為“*”;當當f0. 99ff0.95時時,稱因子的影響顯著稱因子的影響顯著,記為記為“*”;當當ff0.95時時, 稱因子無顯著影響稱因子無顯著影響,即認為因子各水平間無差異即認為因子各水平間無差異. 20122012年年中國石油大學（華東

45、）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 例例:在某化工生產(chǎn)中為了提高收率在某化工生產(chǎn)中為了提高收率,選了三種不同濃選了三種不同濃度度,四種不同溫度做試驗四種不同溫度做試驗.在同一濃度與同一溫度組合在同一濃度與同一溫度組合下各做二次試驗下各做二次試驗,其收率數(shù)據(jù)如下而計算表所列其收率數(shù)據(jù)如下而計算表所列(數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)均已減去均已減去75).試檢驗不同濃度試檢驗不同濃度,不同溫度以及它們間的不同溫度以及它們間的交互作用對收率有無顯著影響交互作用對收率有無顯著影響.解解: 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學0000.650000.275000.11333

46、3.441667.26045374215000.111667.260415694613333.441667.260421188818333.1471667.2604275253741667.2604)(241275224, 2, 4, 331412.23141213141212babatebabatijijijkijkijkijksssssssssxxxrstntsr這里 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學查表知查表知f0.95(2,12)=3.89, f0.99(2,12)=6.93; f0.95(3,12)=3.49, f0.99(3,12)=

47、5.95; f0.95(6,12)=3.00, f0.99(6,12)=4.81.由此知由此知f0.95fa f0.99,而而fbf0.95,fabf0.95.故濃度不故濃度不同將對收率產(chǎn)生顯著影響同將對收率產(chǎn)生顯著影響;而溫度和交互作用的影響都而溫度和交互作用的影響都不顯著不顯著. 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學2.4. 雙因素的方差分析的雙因素的方差分析的matlab實現(xiàn)實現(xiàn) 在在matlab中雙因素的方差分析命令如下：中雙因素的方差分析命令如下：雙因素方差分析雙因素方差分析:anova2調(diào)用格式調(diào)用格式:(1) p=anova2(x)(2

48、) p=anova2(x,reps)(3) p=anova2(x,reps,displayopt)(4) p,table=anova1(.)(5) p,table,stats=anova1(.) 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學 在在matlab中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：中雙因素有交互作用的方差分析命令如下：p,t,s=anova2(x,resp)其中輸入其中輸入x是一個矩陣；是一個矩陣；resp表示試驗的重復次數(shù)表示試驗的重復次數(shù)輸出的輸出的p值有三個，分別為各行、各列以及交互作值有三個，分別為各行、各列以及交互作用的概率用的概率.

49、若若p0.05,有顯著差異有顯著差異若若p x=5.5 4.5 3.55.5 4.5 4.06.0 4.0 3.06.5 5.0 4.07.0 5.5 5.07.0 5.0 4.5; p=anova2(x,3)p =0.0000 0.0001 0.7462 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學2021年10月29日matlab和r軟件83例例 一火箭使用了一火箭使用了4種燃料，種燃料，3種推進器作射程試驗，種推進器作射程試驗，每種燃料與每種推進器的組合各發(fā)射火箭每種燃料與每種推進器的組合各發(fā)射火箭2次，次，得到結(jié)果如下：得到結(jié)果如下：b1b2b3a1

50、58.2,52.6 56.2,41.265.3,60.8a249.1,42.854.1,50.551.6,48.4a360.1,58.370.9,73.239.2,40.7a475.8,71.5 58.2,51.048.7,41.4試在水平試在水平0.05下，檢驗不同燃料（因素下，檢驗不同燃料（因素a）、）、不同推進器（因素不同推進器（因素b ）下的射程是）下的射程是否有顯著差異？交互作用是否顯著？否有顯著差異？交互作用是否顯著？ 20122012年年中國石油大學（華東）理學院數(shù)學中國石油大學（華東）理學院數(shù)學84解解 編寫程序如下：編寫程序如下：clc,clearx0=58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.849.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.460.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.775.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4;x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6);for i=1:4x(2*i-1,:)=x1(i,:);x(2*i,:)=x2(i,:);endp=anova2(x,2)求得求得p=0.003