泛函分析基礎(chǔ)試卷參考答案

1、裝 訂 線考 生 信 息 欄 學(xué)院 專業(yè) 班級 姓名 學(xué)號 集 美 大 學(xué) 試 卷 紙 2007 2008 學(xué)年 第 二 學(xué)期課程名稱泛 函 分 析 基 礎(chǔ)試卷卷別a適 用學(xué)院、專業(yè)、年級理學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2004 級考試方式閉卷得分一. 以下各題每題5分, 共25分 1. 設(shè) x, y 是賦范空間, 證明乘積空間 x ´ y 按范數(shù) | (x, y) | = | x | + | y | 成為賦范空間.證 1. 對任何 (x, y) Î x ´ y, | (x, y) | = | x | + | y | ³ 0, | x + y | = 0 &

2、#219; | x | = | y | = 0 Û x = 0, y = 0 Û (x, y) = (0, 0). (2分)2. | a (x, y) | = | a x | + | a y | = | a | | x | + | a | | y | = | a | ( | x | + | y |) = | a | | (x, y) |. (1分)3. 對任何 (x 1, y 1), (x 2, y 2) Î x ´ y, | (x 1, y 1) + (x 2, y 2) | = | (x 1 + x 2, y 1 + y 2) | = | x 1 +

3、 x 2 | + | y 1 + y 2 | £ | x 1 | + | x 2 | + | y 1 | + | y 2 | = | (x 1, y 1) | + | (x 2, y 2) | (2分) 2. 設(shè) x 是賦范線性空間, f 是x上連續(xù)線性泛函, 證明 f 的零空間n ( f ) 是 x 中閉子空間.證 對任何 x, y Î n ( f ), 及任何 a, b f (a x + b y) = a f (x) + b f (y) = 0 所以 a x + b y Î n ( f ). 所以 n (f) 是線性空間. (2分) 又設(shè) x n Î

4、 n ( f ), 且 x n ® x Î x, 由 f連續(xù) f (x) = lim n f (x n) = 0 所以x Î n ( f ). 所以 n ( f ) 是閉集. (2分) 3. 設(shè) h是內(nèi)積空間, m Ì h, 證明 m Ì m .證 設(shè) x Î m, 對任何 y Î m , (2分) (x, y) = 0所以 x Î (m ) . 由 x Î m的任意性, m Ì m . (3分) 4. 設(shè) x 是賦范線性空間, 泛函序列 f n Î x ', 證明若 f n

5、強(qiáng)收斂于 f, 則 f n 必w* 收斂于 f. 證 由 f n 強(qiáng)收斂于 f, | f n - f | ® 0 (n ® ¥). (2分)對任何 x Î x | f n (x) - f (x) | = | (f n - f ) x | £ | f n - f | | x | ® 0 (n ® ¥) 所以 f n w* 收斂于 f. (3分) 5. 設(shè) x 是賦范空間, a, b Î b (x ® x) 是x上正則算子, 證明 t = a b 是x上正則算子. 證 a, b是正則算子, 所以 a

6、 - 1, b - 1 存在, 且 a - 1, b - 1 Î b (x ® x) (2分) 令 s = b - 1 a - 1 Î b (x ® x), 則 s t = b - 1 a - 1 a b = i, a b b - 1 a - 1 = i (2分) 所以 s = t - 1, 所以 t是正則算子. (1分)得分 二. 以下各題每題15分, 共75分1. 設(shè) x是度量空間, x n 是x中cauchy 列, 證明若存在 x n 的收斂子列 x n k, 則 x n 收斂. 證 設(shè)x Î x, x n k ® x (k &

7、#174; ¥) 對任何 e > 0, 存在 k, k > k 時(shí), d (x n k, x) < e / 2 (4分)由 x n 是cauchy 列, 存在 n, n, m > n時(shí), d (x n, x m) < e / 2, (4分) 取k ' > k, n k ' > n, 則有 n > n 時(shí) d (x, x n) £ d (x, x n k ') + d (x n k ', x n) £ e / 2 + e / 2 = e (5分) 所以 x n ® x (n &

8、#174; ¥), 所以 x n 收斂. (2分) 2. 設(shè) x = l p ( p > 1), a n 是一有界數(shù)列, m = sup n | a n |. 定義線性算子 t : x ® x 為 t x = a 1 x 1, a 2 x 2, ×××, a n x n, ××× , " x = x 1, x 2, ×××, x n, ××× Î x 證明t有界, 且 | t | = m. 證 對任何 x = x 1, x 2,

9、×××, x n, ××× Î x | t x | = | a 1 x 1, a 2 x 2, ×××, a n x n, ××× | = £ £ = m | x | (5分)所以 t 有界, 且 | t | £ m. (2分) 又對 e n = 0, ×××, 0, 1, 0, ×××, Î x, | e n | = 1, | t | = sup | x | = 1

10、 | t x | ³ | t e n | = | 0, ×××, 0, a n, 0, ××× | = | a n | (5分) 所以 | t | ³ sup n | a n | = m. 所以 | t | = m. (3分) 3. 設(shè)h是實(shí)內(nèi)積空間, a是h上自伴算子, 證明a = 0 的充分必要條件是對所有x Î h, áa x, xñ = 0. 證 必要性: á a x, xñ = á0, xñ = 0, " x Î h

11、. (3分) 充分性: 對任意 x, y Î h 0 = á a (x + y), x + yñ = á a x, xñ + á a x, yñ + á a y, xñ + á a y, y ñ = á a x, yñ + á a y, xñ (5分) 由 t是自伴算子 á a y, xñ = á y, a xñ = áa x, yñ , (2分) 所以 2 á a x, y&

12、#241; = 0 " x, y Î h 所以 a x = 0 " x Î h 所以 a = 0. (5分) 4. 證明無窮維賦范線性空間 x 的共軛空間 x ' 也是無窮空間. 證 設(shè) x 1, x 2, ××× 是x中線性無關(guān)向量, 由 hnha-banach 定理 存在 f 1 Î x ', f 1 (x 1) ¹ 0, 存在 f 2 Î x ', f 2 (x 2) ¹ 0, f 2 (x 1) = 0 存在 f 3 Î x ', f

13、3 (x 3) ¹ 0, f 3 (x 1) = f 3 (x 2) = 0 一般存在 f n Î x ' f n (x n) ¹ 0, f n (x 1) = ××× = f n (x n - 1) = 0 (6分) 下面證明 f n 線性無關(guān), 設(shè) = 0 則 () (x 1) = a 1 f 1 (x 1) = 0 Þ a 1 = 0 () (x 2) = a 2 f 2 (x 2) = 0 Þ a 2 = 0 ××× () (x n) = a n f n (x n) =

14、 0 Þ a n = 0 (7分) 所以 f 1, ×××, f n 線性無關(guān), 所以 f n 線性無關(guān), 所以 x ' 是無窮維的. (2分) 5. 設(shè) x = c 0, 1, a Î b (x ® x) 定義為對任何 x Î x (a x) (t) = t x (t), " t Î 0, 1證明 s (a) = 0, 1, 且 a 沒有特征值. 證 對 l Î 0, 1, 任意 x Î c 0, 1 (a - l i) x ) (t) = t x (t) - l x (t)所以 (a - l i) x ) (l) = 0, 所以 (a - l i) x ¹ i所以 a - l i 不存在有界逆所以 l Î s (t), (5分) 對 l Ï 0, 1, 定義線性算子 t : x ® x, 對 x Î c 0, 1 (t x) (t) = x (t) " t Î 0, 1由 | t x | = max t Î 0, 1 | x (t) | £  max t Î 0, 1 | x (t) | = | x |所以 t有界. 且 t (a - l i) = (