復變函數(shù)與積分變換課堂PPT第一章

1、1復變函數(shù)復變函數(shù)工程數(shù)學工程數(shù)學（第四版）2第一章第一章 復數(shù)與復變函數(shù)復數(shù)與復變函數(shù)1 復數(shù)及其代數(shù)運算2 復數(shù)的幾何表示3 復數(shù)的乘冪與方根4 區(qū)域5 復變函數(shù)6 復變函數(shù)的極限與連續(xù)性31 復數(shù)及其代數(shù)運算復數(shù)及其代數(shù)運算1.復數(shù)的概念2. 復數(shù)的代數(shù)運算41. 復數(shù)的概念復數(shù)的概念定義定義：在實數(shù)范圍, 方程 21x 21i 是無解的. 因此引進一個新數(shù) i, 稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位, 規(guī)定為復數(shù)復數(shù), x , y 分別稱為 z 的實部實部和虛部虛部, 記作兩個復數(shù)相等相等, 是指的它的實部和虛部分別相等.復數(shù) z = 0, 指實部和虛部都是0. 且復數(shù)不能比較大小. 對于任意二實數(shù)

2、x , y, 稱或zxiyzxyiRe( ),Im( )xzyz當zyi時, 0,0 xy稱為純虛數(shù)純虛數(shù)。 52. 復數(shù)的代數(shù)運算復數(shù)的代數(shù)運算 當z1,z2為實數(shù)時, 上二式與實數(shù)的運算一致。復數(shù)的加, 法和乘法定義為111222,zxiy zxiy稱上面二式右端為 z1,z2 的和和,差差與積積。11221212()()()()xiyxiyxxi yy112212122112()()()()xiyxiyx xy yi x yx y稱滿足212(0)z zz z的復數(shù)zxiy為z1除以z2的商商, 記作12zzz6與實數(shù)一樣，復數(shù)運算也滿足交換律交換律,結合律結合律和分配律分配律:1221

3、1 22 1,;zzzz z zz z12312312 31 23()(), ()() ;zzzzzz z z zz z z1231 21 3().z zzz zz z112122112222222222zx xy yx yx yzizxyxy因此7共軛復數(shù)共軛復數(shù)1112121 21 222i),;zzzzzzz zz zzz把實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個共軛復數(shù)有如下性質：如果，那么 。zxiyzxiy復數(shù)稱為共軛復數(shù)共軛復數(shù),與z 共軛的復數(shù)記作 。zii);zz22iii)Re( )Im( ) ;zzzziv)2Re( ),2 Im( )zzzzziz 8解解例例1 1 設1

4、255 ,34zi zi 12zz( 1520)(1520)71.2555ii ，求12.zz與125534zizi 1271.55ziz 所以(55 )( 34 )( 34 )( 34 )iiii 9解解例例2 設131izii 33()22ii ，求.zz與133 (1)1()(1)(1)iiiiziiiiii 31Re( ), Im( ),22zz 所以Re( ), Im( )zz31,22i22315.222zz 10解解例例 求滿足下列條件的復數(shù)z :(1)| 2;zzi(2)(12 )43 .i zi(1)設設,zxiy則則222,xiyxyi由由222,1xxyy 得得3.41x

5、y故故3.4zi(2)4312izi則則2.zi2, i11證證例例3 設111222,zxiyzxiy12122112()()x xy yi x yx y, 為兩個任意復數(shù)，1 21 21 22Re().z zz zz z12121 22()2Re().x xy yz z1 21 21 21 21 22Re().z zz zz zz zz z或證明證明1 21 211221122()()()()z zz zxiyxiyxiyxiy12121221()()x xy yi x yx y122 復數(shù)的幾何表示復數(shù)的幾何表示1.復平面2.復球面131.復平面復平面 所以復數(shù)的全體與該平面上的點的全體

6、成一一對應關系, 此時, x 軸稱為實軸實軸, y 軸稱為虛軸虛軸, 兩軸所在的平面稱為復平面復平面或 z 平面平面. 這樣, 復數(shù)與復平面上的點成一一對應, 從而使我們能借助幾何語言和方法研究復變函數(shù)從而復數(shù)可以用該平面上的坐標為zxiy的點( , )x y來表示，這是復數(shù)的一個常用表示方法。由一對有序實數(shù)zxiy( , )x y唯一確定, 一個復數(shù)問題。14OxyxyqPz=x+iy|z|=r22| zrxy在復平面上, 復數(shù) z 還與從原點指向點z=x+iy 的平面長度稱為z 的模?；蚪^對值絕對值, 記作向量一一對應, 因此復數(shù)z 也能用向量來表示。向量的OP 顯然, 還有下列各式成立|

7、 |,| |,xzyz| |,zxy22|.zzzz在z0的情況, 以正實軸為始邊, 以表示z的向量OP為終邊tg(Arg )yzxArgzq這時, 有稱為z的輻角輻角, 記作的角的弧度數(shù)q15一個, 則為任意整數(shù))1Arg2(zkkq0argzq給出了z的全部幅角, 在(0)z 的幅角中, 滿足0q的0q稱為Arg z的主值主值, 記作arctg,0,0,0arg2arctg,0,0,0,0yxxxyzyxyxxy幅角不確定。時，arg z0z 當argtg.22yx其中0z 當| |0z 時, , 可由右邊關系確定：是其中的0z 1q有無窮多個幅角, 如果任何一個復數(shù)16由復數(shù)運算法則,

8、兩個復數(shù)Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加減法一致。如圖(三角不等式),1212| |zzzzOxy2z12zz2z1z1212| |zzzz原點上, 還有 。argargzz 一對共軛復數(shù) z在復平面內z和| |zz，如果 z 不在負實軸和Oxyiyxzzxiy的位置是關于實數(shù)軸對稱的, 因而 z1和z2的加減法和相應的向量的17利用直角坐標與極坐標的關系：OxyxyqPz=x+iy|z|=r(cossin ),zriqqcos ,sin ,xryrqqizreq可以將 z 表示成三角表示式三角表示式：cossinieiqqq得指數(shù)表示式指數(shù)表示式： 利用歐拉公式1)122 ;zi 解解

9、 例例1 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)sincos.55zi1) 顯然, |1244rz。又 z在第三象限，則 235arctanarctan.3612q 18554 cos()sin() .66zi564.ize因此，z 的三角表示式為235arctanarctan.3612q z 的指數(shù)表示式為2) 顯然, | 1rz, 又 3sincos()cos,525103cossin()sin,5251033cossin.1010zi310.ize故z 的三角表示式為z 的指數(shù)表示式為1932)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13

10、;zi 1) 顯然, |1 3rz所以，argarctanxzy2,132cos()sin()33zii 32.ie3arctan()1.3 2032)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13 ;zi 2) 顯然, 2|1tanrzq所以，當argarctanarctan(tan )yzxqsec ,q 32q時，有1tansec cos()sin()ziiqqqq ()sec.ieq q .q211 2121) | |;z zzz證證 例例2 設12122) | |.zzzz又為兩個任意復數(shù)，證明：12,zz1 21 21 21 21 21)

11、|()()()()z zz zz zz zz z1 12212()()|.z zz zzz21212122) |()()zzzzzz1212()()zzzz1 1222 11 2z zz zz zz z22122 11 2|,zzz zz z1 21 21 22Re().z zz zz z22212121 2|2Re()zzzzz z22121 2|2|zzz z221212|2|zzzz212(|) .zz所以兩邊開方，應得到所要證明的三角不等式。22解解 例例3因此，復數(shù)形式的參數(shù)方程為將通過兩點121121(),()().xxt xxtyyt yy 由此得知由取111222,zxiyzx

12、iy形式的方程來表示。的直線用復數(shù)已知通過點1122( ,), (,)x yxy的直線可用參數(shù)方程表示為121(). ()zzt zzt 121(). (01)zzt zzt 的直線段的參數(shù)方程可以寫成到1z2z，得知線段的中點為12t 1 2z z122zzz2332)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13 ;zi 1) 顯然, |1 3rz所以，arg.3z 2,132cossin33zii 32.ie2432)1tan ().2ziq q 解解 例例 將下列復數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)13 ;zi 2) 顯然, 2|1tanrzq

13、所以，當argarctanarctan(tan )yzxqsec ,q 32q時，有1tansec cos()sin()ziiqqqq ()sec.ieq q .q25解解 例例4設求下列方程所表示的曲線：zxiy或1) | 2;zi1) 從幾何上看，方程表示所有與點i距離為2|(1) | 2xyi，方程可變?yōu)?2(1)2,xy也就是2) |2 | |2|;ziz3) Im()4.iz的點的軌跡，即中心為i，半徑為2的圓。也可用代數(shù)22(1)4.xy方法求出該圓的直角坐標方程。26所以yx ，那么軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它的2) |2 | |2|;ziz3) Im()4.iz

14、Im()1izy 2) 從幾何上看，方程表示到兩點距離相等的點的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。3) 設zxiy(1)izxy i從而立即可得所求曲線方程為3y ，這是一條平行于x軸的直線。27解解 例例求下列方程所表示的曲線：1) | |1|;ziz 2) |3|3| 10;zz3) |1|1| 2.zzyx 點的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，它1) 從幾何上看，方程表示到兩點距離相等的的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。2212516xy的點的軌跡，所以方程表示的曲線是一條垂直平分線，2) 從幾何上看，方程表示到兩點距離之和為定值它的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。28解解 例例

15、求下列方程所表示的曲線：1) | |1|;ziz 3) 從幾何上看，方程表示 z 到1的距離與 z 到|1|1| 2.zz的點集是實軸上的閉區(qū)間1,1。2) |3|3| 10;zz3) |1|1| 2.zz1的距離之和為2，而1到1的距離也為2。因此 z 只能在線段1,1上，即滿足條件29另一點N。稱N為北極北極， S為南極南極。 NSOxyPz2. 復球面復球面除了復數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點來表示復數(shù)。取一個與復平面切于原點0z 的球面, 球面上的一點 S 與原點重合。通過S作垂直于復平面的直線與球面相交于對復平面內任一點z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點, 則球面

16、上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作。這樣的球面稱作復球面復球面。30于復數(shù)來說，實部、虛部與輻角的概念均無意義，但包括無窮遠點在內的復平面稱為擴充復平面擴充復平面。不包括無窮遠點在內的復平面稱為有限平面有限平面，或稱復平面復平面。對其模規(guī)定為正窮大，即| 。對于其它復數(shù) z都有| z 關于的四則運算作如下規(guī)定：0,(),(0,0 除法除法：但可為)加法加法：() 至于其它運算，不規(guī)定其意義。(0) 乘法乘法：() 減法減法：313 復數(shù)的乘冪與方根復數(shù)的乘冪與方根1. 乘積與商2. 冪與根32設有兩個復數(shù).乘積與商乘積與商于是1111222

17、2(cossin),(cossin),zrizriqqqq那么1 21 21122(cossin)(cossin)z zrriiqqqq1 212121212(coscossinsin)(sincoscossin)rriqqqqqqqq1 21212cos()sin()rriqqqq定理一定理一 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積, 兩個復數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。1 2121 2| |(),z zzzrr1 212Arg()ArgArg.z zzz從而有33用指數(shù)形式表示復數(shù):q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋轉一個角度 ，如圖所示相當于將z1的模擴大|z2|倍1 2z z2Arg

18、z121122e ,eiizrzrqq(cossin),(1,2, ),kikkkkkzr eriknqqq則則定理可以表示為：12()1 21 2eiz zrrqq1 21 21212cos()sin()nnnnz zzrrriqqqqqq由定理進一步可證，如果12()1 2eninrrrqqq當用向量表示復數(shù)時，342211zzzz定理二定理二 兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商, 兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。22212111|, ArgArgArgzzzzzzzz22221111|,ArgArgArg.|zzzzzzzz10z 按照商的定義, 當時, 有由乘積公式有于是由

19、此得如果用指數(shù)形式表示復數(shù)：,e,e212211qqiirzrz)(121212eqqirrzz定理二可簡明地表示為：35。根據(jù)復數(shù)乘法，有解解 例例1即為所求的頂點已知正三角形的兩個頂點為所以121,2zzi求第三個頂點。如圖，將3旋轉3312113()()(1)22izzezzii類似可得3331322zi3zOxy2z1z3z3z21zz表示繞1z或3得到另一個向量，它的終點3z3z或1313()()2222i33313.22zi 36。根據(jù)復數(shù)乘法，有解解 例例向量，它的終點即為所求的頂點已知等腰直角三角形的兩個底角的點分別為所以121,2zzi，求頂點。如圖，將4旋轉43121211

20、()()(1)222izzezzii類似可得31zi 3zOxy2z1z21zz表示繞1z或4，長度再縮短3zi43121211()()(1)222izzezzii1或32z 22得到另一個372. 冪與根冪與根. 個nnzzzz則對任意正整數(shù) n, 有 n 個相同復數(shù) z 的乘積稱為z的 n次冪次冪，記作 ，即nz(cossin).nnzrninqq1nnzz若定義，那么當 n為負整數(shù)時上式也成立。(cossin )cossin.nininqqqq時，則有棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式1r 特別地，當下面用棣莫弗公式求方程nz的根，其中 z 為已知復數(shù)。38如 n為正整數(shù), 則一

21、個復數(shù)的 n 次根不止有一個, 而是方根方根設z為己知, 方程nz的根稱為z 的n次根次根，都記為1/nnzz，即nz有 n 個, 下面就來求出這個根nz先不妨令(cossin ),(cossin ),zriiqq 由棣莫弗公式有(cossin)(cossin ),nninriqq于是,coscos ,sinsin ,nrnnqq則上式成立，必有1,2,(0, 1, 2,).nrnkkq 39122cossin.nnkkzrinnqq由此，可得12,(0, 1, 2,).nkrknq 其中，1nr是算術平方根，所以時，得到 n個相異的根：當0,1,2,1kn10cossin,nrinnqq11

22、22cossin,nrinnqq112(1)2(1)cossin.nnnnrinnqq40當k為其他整數(shù)值代入時，這些根又會重復出現(xiàn)。在幾何上, 不難看出：z1/n的n個值就是以原點為中心, r1/n為半徑的圓的內接正n邊形的n個頂點。例如 k = n 時，122cossinnnnnrinnqq10cossinnriwnnqq41解解 例例2 求41 i因為12(cossin),44ii 即所以84224412(cossin),(0,1,2,3)44kkiik 802(cossin),1616wi81992(cossin),1616wi8217172(cossin),1616wi8325252

23、(cossin),1616wi這四個根是內接于中心在原點，半徑為82的圓的正方形的四個頂點，且有102030,.wiwwwwiw 42解解 例例求4i因為33cossin,22ii 即所以4332222cossin,(0,1,2,3)44kkiik 033cossin,88wi177cossin,88wi21111cossin,88wi31515cossin,88wi這四個根是內接于中心在原點，半徑為1的圓的正方形的四個頂點，且有102030,.wiwwwwiw 43解解 例例求方程610z 因為61cossin ,zi 即所以6221cossin,(0,1,2,3,4,5)66kkik 0c

24、ossin,66wi133cossin,66wi255cossin,66wi377cossin,66wi的所有根。499cossin,66wi51111cossin,66wi444 區(qū)域區(qū)域1.區(qū)域的概念2.單連通域與多連通域451. 區(qū)域的概念區(qū)域的概念平面上以z0為中心, d (任意的正數(shù))為半徑的圓：dz0內部的點的集合稱為z0的鄰域, 而稱由不等式0|zzd所確定的點集為z0的去心鄰域。00 |zzd設G為一平面點集, z0為G中任意一點。 內點內點：若存在z0的一個鄰域, 該鄰域內的所有點都屬于G, 則稱z0為G的內點開集開集：如果G內的每個點都是它的內點, 則稱G為開集。區(qū)域區(qū)域：

25、若平面點集D是一個開集，且是連通的，也就是D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，則稱D為一個區(qū)域。46但在P的任意小的鄰域鄰域內總包含有D中的點, 邊界點邊界點：設D為復平面內的一個區(qū)域區(qū)域, 如果點P不屬于D, 則點P稱為D的邊界點邊界點。 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。邊界邊界： D的所有邊界點組成D的邊界邊界。 C3C2zg1g2C1P47xyDO如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即存在正數(shù) M, 使區(qū)域 D的每個點 z 都滿足 |z| M, 則稱D為有界的有界的, 否則稱為無界的無界的。滿足不等式r1|z-z0|0角形域：0arg zx

26、yxab帶形域：aIm zb49.單連通域與多連通域單連通域與多連通域在數(shù)學上, 常用參數(shù)方程表示各種平面曲線。若 x(t)和 y(t)是兩個連續(xù)的實變函數(shù), 則方程組代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線連續(xù)曲線。令則此曲線可用一個方程來代表。這就是平面曲線的復數(shù)表示式。( ),( ),()xx tyy tatb ( )( )( ),z tx tiy t( )()zz t atb 且 t的每一個值, 有這曲線稱為光滑的光滑的, 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線, 稱為按段光滑曲線按段光滑曲線。22 ( )( )0 x ty t( )y t( )x tatb 都連續(xù), 上和如果區(qū)間連續(xù)不連續(xù)光滑

27、不光滑50z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)重點的連續(xù)曲線C, 稱為簡單曲線簡單曲線或若爾當若爾當(Jardan)曲線曲線。如果簡單曲線C的起點與終點閉合, 即z(a)=z(b), 則曲線C稱為簡單閉曲線簡單閉曲線。設:( )()C zz t atb 為一條連續(xù)曲線, ( )z a( )z b與分別為C的起點起點與終點終點。對于滿足12,atb atb的t1與t2, 當12tt12( )( )z tz t而有時, 點1( )z t稱為曲線C的重點。沒有定義定義：51定義：定義：內部外部C任意一條簡單閉曲線C把整個復平面唯

28、一地分成三個互不相交的點集, 其中除去C外, 一個是有界區(qū)域, 稱為C的內部內部, 另一個是無界區(qū)域, 稱為C的外部外部, C為它們的公共邊界。單連通域多連通域復平面上的一個區(qū)域區(qū)域B, 如果在其中任就稱為單連通域單連通域, 一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域多連通域。作一條簡單閉曲線, 而曲線的內部總屬于B, 一條簡單閉曲線的內部是單連通域。 單連通域B具有這樣的特征：屬于B的任何 一條簡單閉曲線，在B內可以經(jīng)過連續(xù)的的變形而縮成一點，多連通域則無這個特征。 525 復變函數(shù)復變函數(shù)1. 復變函數(shù)的定義2. 映射的概念531. 復變函數(shù)的定義復變函數(shù)的定義定義定義如果 z的一個值對應

29、著w的一個值, 則函數(shù) f (z)是單值單值的； 定的法則存在, 按照這一法則, 對于集合G中的每一個復數(shù) z, 就有一個或幾個復數(shù)數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)函數(shù)(簡稱復變函數(shù)復變函數(shù)), 記作否則就是多值多值的。集合G稱為 f (z)的定義集合定義集合, 對應于G中所有z對應的一切w值所成的集合G*, 稱為函數(shù)值集合函數(shù)值集合。zxiy( )wf z的集合, 如果有一個確設G是一個復數(shù)wuiv與之對應, 則稱復變在以后的討論中, 定義集合G常常是一個平面區(qū)域, 稱之為定義域定義域, 并且, 如無特別聲明, 所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)單值函數(shù)。54由于給定了一個復數(shù)實數(shù) x和y, 而復數(shù)u和v, 所以

30、復變函數(shù)w和自變量z之間的關系w =f (z)相當它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數(shù).例如, 考察函數(shù)令因而函數(shù) w = z2 對應于兩個二元函數(shù):zxiy就相當于給定了兩個wuiv亦同樣地對應著一對實數(shù)于兩個關系式:( , ),( , )uu x y vv x y2wz,zxiy wuiv，則222()2,uivxiyxyxyi22,2.uxy vxy552. 映射的概念映射的概念定義如用z平面的點表示自變量z的值, 而用另一個平面w平面上的點表示函數(shù)w的值, 則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可看做是把 z平面上的一個點集G(定義集合)變到w平面上的一個點集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變

31、換)。這個映射通常簡稱為由函數(shù)w = f (z)所構成的映射。如果G中的點z被映射w=f(z)映射成G*中的點w, 則w稱為z的象(映象), 而z稱為w的原象。例如，函數(shù)wz所構成的映射，是一個關于實軸的對稱映射，把任一圖形映成關于實軸對稱的全同圖形。2wz再如，函數(shù)所構成的映射，可以把 z 平面上與正實軸交角為的角形域映射成 w 平面上與正實軸交角為2的角形域。如下頁圖。562xyOuvOz1z2w2z3w3w1xyOuvOABCz1z2ABCw1w2函數(shù)2wzwz函數(shù)57假定函數(shù) w= f (z)的定義集合為z平面上的集合G, 函數(shù)值集合為w平面上的集合G*, 則G*中的每個點w必將對應著

32、G中的一個(或幾個)點。按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個單值(或多值)函數(shù)反函數(shù)反函數(shù), 也稱為映射w = f (z)的逆映射逆映射。從反函數(shù)的定義可知, 對任意的wG*, 有當反函數(shù)為單值函數(shù)時, 也有 ( )wfw( )zw，它稱為函數(shù)w = f (z)的 ( ),zf zzG今后，不再區(qū)分函數(shù)與映射 (變換)。若函數(shù)與它的反函數(shù)都是單值的，那么稱函數(shù)是一一的。也稱集合G與G*是一一對應的。586 復變函數(shù)的極限和連續(xù)性復變函數(shù)的極限和連續(xù)性.函數(shù)的極限.函數(shù)的連續(xù)性591.函數(shù)的極限函數(shù)的極限Azfzz)(lim0作當zz0時, f (z)A。如圖定義：內，如果有一確定的數(shù)A存在,

33、對于任意給定的地必有一正數(shù)則稱A為f (z)當z趨向于z0時的極限極限, 記作設函數(shù)w = f (z)定義在z0的去心鄰域去心鄰域00zz0, 相應( )(0) , 使得當00zz時有( ),f zA, 或記xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義：z0的充分小的點 f (z) 就落 A的預先給定的鄰域中。應當注意, z 趨向于 z0的方式是任意的, 無論以何種方式趨向于 z0, f (z)都要趨向于同一常數(shù) A。當變點z一旦進入鄰域時, 它的象60000000lim ( , ), lim ( , ).xxxxyyyyu x yuv x yv0lim( )zzf zA充分必要條件是則證證 必要

34、性:00()()uivuiv0lim( )zzf zA任給，根據(jù)極限的定義有如果, 存在,當時，或當這就是說時，00000()()xiyxiy00|,|uuvv22000()()xxyy000000lim( ,), lim( ,)xxxxyyyyu x yuv x yv00()()uui vv因此有00000( )( , )( , ),f zu x yiv x y Auiv zxiy定理一定理一 設61充分性充分性: :0000|( )| |()()| |f zAuui vvuuvv如果由極限定義，對于任給，總存在，使當時，而則當時，有000000lim ( , ), lim ( , )xxxxyyyyu x yuv x yv0022000()()xxyy00|/2,|/2uuvv0lim( )zzf zA00 |zz即|( )|22f zA62定理定理二二02) lim( ) ( )zzf z g zAB定理一將求復變函數(shù)的極限問題轉化為求兩個二元定理一將求復變函數(shù)的極限問題轉化為求兩個二元，則，則00lim( ), lim( )zzzzf zAg zB01) lim ( )( )zzf zg zAB0( )3) lim(0)( )zzf zABg zB實變函數(shù)的極限問題。實變函數(shù)的極限問題。由定理一，下面的極限有理運算法則