2冪的乘方與積的乘方

1、2 冪的乘方與積的乘方1.1.經(jīng)歷探索冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一經(jīng)歷探索冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義，提高推理能力和有條理的表達能力步體會冪的意義，提高推理能力和有條理的表達能力. .2.2.了解冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些問了解冪的乘方與積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些問題題. . am an(aa a)n個個a=(aa a)m個個a= aa a(m+n)個個a= am+n冪的意義冪的意義: :aa an個個aan=同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)：同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)：am an=am+n（m,n都是正整數(shù)）都是正整數(shù)）乙正方體的棱長是乙正方體

2、的棱長是 2 cm, 2 cm, 則乙正方體的體積則乙正方體的體積 v v乙乙= = cm cm3 3 v v甲甲是是v v乙乙 的的 倍倍8 8125125即即5 53 3 倍倍 棱長比的棱長比的立方立方. .甲正方體的棱長是乙正方體的甲正方體的棱長是乙正方體的 5 5 倍，則甲正方體的體積倍，則甲正方體的體積v v甲甲= = cm cm3 31 0001 000正方體的體積之比正方體的體積之比= =334rv球乙球的半徑為乙球的半徑為 3 cm, 3 cm, 則則乙球的體積乙球的體積v v乙乙= = cm cm3 3. .v v甲甲 是是 v v乙乙 的的 倍倍即即103 倍倍 球的體積比

3、與半徑比的關(guān)系球的體積比與半徑比的關(guān)系甲球的半徑是乙球的甲球的半徑是乙球的1010倍，則倍，則甲球的體積甲球的體積v v甲甲= = cmcm3 3 . .1 0001 0003636 36 00036 000 半徑比的半徑比的立方立方.如果甲球的半徑是乙球的如果甲球的半徑是乙球的n n倍，那么甲球體積是乙球倍，那么甲球體積是乙球體積的體積的 倍倍. .n n3 3 球的體積之比球的體積之比=地球、木星、太陽可以近做是地看做是球體地球、木星、太陽可以近做是地看做是球體. .木星、太陽的木星、太陽的半徑分別約是地球的半徑分別約是地球的1010倍和倍和10102 2倍，它們的體積分別約是地倍，它們的

4、體積分別約是地球的球的 倍和倍和 倍倍. .木星木星地球地球太陽太陽體積擴大的倍數(shù)比半徑擴大體積擴大的倍數(shù)比半徑擴大的倍數(shù)大得多的倍數(shù)大得多. 10 103 310106 6(10(102 2) )3 3=10=106 6，為什么？，為什么？(10(102 2) )3 3=10=102 210102 210102 2=10=102+2+22+2+2=10=102 23 3=10=106 6( (根據(jù)根據(jù) _)._).( (根據(jù)根據(jù)_)._).同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)冪的意義冪的意義(10(102 2) )3 3=10=106 6，為什么？為什么？計算下列各式，并說明理由計算下列各式

5、，并說明理由 . .(1) (6(1) (62 2) )4 4 ; ; (2) (a (2) (a2 2) )3 3 ; ; (3) (a (3) (am m) )2 2 ; (4) ( ; (4) (a am m) )n n . .【解析解析】(1) (1) (2) (a (2) (a2 2) )3 3(3) (a(3) (am m) )2 2= 6= 62 26 62 26 62 26 62 2=6=62+2+2+22+2+2+2=6=68 8= a= a2 2a a2 2a a2 2=a=a2+2+22+2+2=a=a6 6= =a am ma am m= =a am+mm+m(4) (

6、4) (a am m) )n n= = a am ma am m a am m 個個a am m= =a am+mm+m+ + +m +m= =a amnmn（冪的意義）冪的意義）（同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)）同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)）=6=62 24 4 ; ;(6(62 2) )4 4n n 個個m mn n=a=a2 23 3 ; ;=a=am m2 2 ; ;( (a am m) )n n= =a amnmn ( (m,nm,n都是正整數(shù)都是正整數(shù)) )底數(shù)底數(shù)_ ,_ ,冪的乘方，冪的乘方，冪冪 的的 乘乘 方方 法法 則則不變不變相乘相乘指數(shù)指數(shù)_【例例1 1】計算：計算：(1)(10(1)(1

7、02 2) )3 3 ; (2)(b ; (2)(b5 5) )5 5; (3)(a; (3)(an n) )3 3; ; (4)-(x(4)-(x2 2) )m m ; (5)(y; (5)(y2 2) )3 3 y y ; (6)2(a ; (6)2(a2 2) )6 6-(a-(a3 3) )4 4 . . (6)(6) 2(a2(a2 2) )6 6-(a-(a3 3) )4 4=10=102 23 3=10=106 6 ; ;(1)(10(1)(102 2) )3 3【解析解析】(2) (b(2) (b5 5) )5 5= b= b5 55 5= b= b2525 ; ;(3) (a

8、(3) (an n) )3 3= a= an n3 3=a=a3n3n ; ;(4) -(x(4) -(x2 2) )m m= -x= -x2 2m m= -x= -x2m 2m ; ;(5) (y(5) (y2 2) )3 3 y y= y= y2 23 3 y y= y= y6 6 y y=2a=2a2 26 6-a-a3 34 4=2a=2a1212-a-a1212=a=a1212. .= y= y7 7; ;1.1.計算：計算：(1) (10(1) (103 3) )3 3 ; (2)-(a ; (2)-(a2 2) )5 5 ; (3)(x ; (3)(x3 3) )4 4x x2

9、2 ; ;(4) (4) (-x)(-x)2 2 3 3 ; (5)(-a) ; (5)(-a)2 2(a(a2 2) )2 2; (6)x; (6)xx x4 4xx2 2x x3 3 . .2.2.下面的計算是否正確？如有錯誤請改正：下面的計算是否正確？如有錯誤請改正：(1)(x(1)(x3 3) )3 3 = x= x6 6 ; (2)a ; (2)a6 6a a4 4 =a=a2424 . .答案：答案：（1 1）10109 9 （2)-a2)-a1010 (3)x (3)x1414 (4)x (4)x6 6 （5)a5)a6 6 (6)0 (6)0答案：答案：(1)(1)錯，錯，(x

10、(x3 3) )3 3 = x = x9 9 ; (2) ; (2)錯，錯，a a6 6 a a4 4 = a = a1010 . .(1) (1) 根據(jù)乘方定義根據(jù)乘方定義( (冪的意義冪的意義) )，(ab)(ab)3 3表示什么表示什么? ?(ab)(ab)3 3= =abababababab(2)(2)為了計算為了計算( (化簡化簡) )算式算式abababababab，可以應(yīng)用乘法的交，可以應(yīng)用乘法的交換律和結(jié)合律換律和結(jié)合律. .還可以把它寫成什么形式還可以把它寫成什么形式? ?=aaa bbb=aaa bbb=a=a3 3bb3 3(3)(3)由特殊的由特殊的(ab)(ab)3

11、3=a=a3 3b b3 3 出發(fā)出發(fā), ,你能想到一般的公式嗎你能想到一般的公式嗎? ? 猜想猜想(ab)n= =a an nb bn n. .在下面的推導中，說明每一步在下面的推導中，說明每一步( (變形變形) )的依據(jù)：的依據(jù)：(ab)n = = ababab ( ) =(aaa) (bbb) ( ) =anbn ( ) 冪的意義冪的意義乘法交換律、結(jié)合律乘法交換律、結(jié)合律 冪的意義冪的意義n n個個ababn n個個a an n個個b b(ab)(ab)n n = =a an nbbn n上式顯示上式顯示: :積的乘方積的乘方= .(ab)n = = anbn積的乘方積的乘方乘方的積乘

12、方的積（m,n都是正整數(shù)）都是正整數(shù)）每個因式分別乘方后的積每個因式分別乘方后的積 積的乘方法則積的乘方法則(a+b)(a+b)n n，可以用積的乘方法則計算嗎，可以用積的乘方法則計算嗎? ? 即即“(a+b)(a+b)n n= a= an nbbn n ”成立嗎？成立嗎？又又“(a+b)(a+b)n n= a= an n+b+bn n ”成立嗎？成立嗎？不能不能不成立不成立不成立不成立【例例2 2】計算：計算： (1)(3x)(1)(3x)2 2 ; (2)(-2b) ; (2)(-2b)5 5 ; ; (3)(-2xy) (3)(-2xy)4 4 ; (4)(3a; (4)(3a2 2)

13、)n n . . =3=32 2x x2 2 = 9x= 9x2 2 ; ;(1)(3x)(1)(3x)2 2【解析解析】(2)(-2b)(2)(-2b)5 5= (-2)= (-2)5 5b b5 5= -32b= -32b5 5 ; ;(3)(-2xy)(3)(-2xy)4 4 = (-2x)= (-2x)4 4 y y4 4= (-2)= (-2)4 4 x x4 4 y y4 4(4)(3a(4)(3a2 2) )n n = 3= 3n n (a(a2 2) )n n = 3= 3n n a a2n2n. .=16x=16x4 4 y y4 4 ；【例例3 3】地球可以近似地看做是球體

14、，如果用】地球可以近似地看做是球體，如果用v, rv, r分別分別代表球的體積和半徑，那么代表球的體積和半徑，那么 . . 地球的半徑約為地球的半徑約為6 610103 3 千米，它的體積大約是多少立方千米千米，它的體積大約是多少立方千米？【解析解析】34v =r334v = r343=(6(610103 3) )3 343= =6 63 310109 99.049.0410101111( (千米千米3 3) )注意注意運算順序運算順序 !三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)? ? 怎樣用公式表示怎樣用公式表示? ?(abc)(abc)n

15、 n=a=an nbbn nccn n試用第一種方法證明試用第一種方法證明:(abc)(abc)n n=(ab)=(ab)ccn n=(ab)=(ab)n nc cn n= a= an nb bn nc cn n. .計算：計算：(1)(- 3n)(1)(- 3n)3 3 ; ; (2)(5xy)(2)(5xy)3 3 ; ; (3)a(3)a3 3 +(4a)+(4a)2 2 a a答案答案: :（1 1）-27n-27n3 3(2)125x(2)125x3 3y y3 3(3)15a(3)15a3 3 試用簡便方法計算試用簡便方法計算: :(ab)(ab)n n = = a an nb b

16、n n （n n是正整數(shù)）是正整數(shù)）逆用公式逆用公式: :a an nb bn n = = (ab)(ab)n n (1) 2(1) 23 35 53 3(2) 2(2) 28 85 58 8(3) (-5)(3) (-5)1616(-2)(-2)1515(4) 2(4) 24 4 4 44 4 (-0.125)(-0.125)4 4= (2= (25)5)3 3= 10= 103 3. .= (2= (25)5)8 8= 10= 108 8 . .= (-5)= (-5)(-5)(-5)(-2)(-2)1515= -5= -510101515. .= 2= 24 4(-0.125)(-0.1

17、25)4 4= 1= 14 4= 1.= 1.1.1.（濟寧（濟寧中考）下列等式成立的是（中考）下列等式成立的是（ ）(a)a+a=a(a)a+a=a5 5 (b)a (b)a3 3-a-a2 2=a =a (c)a(c)a2 2aa3 3=a=a6 6 (d)(a (d)(a2 2) )3 3=a=a6 6【解析解析】選選d.ad.a、b b選項不是同類項不能合并，選項不是同類項不能合并，c c選項為選項為a a5 5,d,d選項是正確的選項是正確的. . 2.2.（重慶（重慶中考）中考）(a(a3 3) )2 2計算的結(jié)果是（計算的結(jié)果是（ ） (a)a (b)a(a)a (b)a5 5

18、(c)a (c)a6 6 (d)a (d)a9 9【解析解析】選選c.c.本題考查冪的乘方，即底數(shù)不變，指數(shù)相乘本題考查冪的乘方，即底數(shù)不變，指數(shù)相乘. .即即(a(a3 3) )2 2=a=a3 32 2=a=a6 6. .3.3.（江西（江西中考）中考） 計算計算 - -（-3a)-3a)2 2的結(jié)果是的結(jié)果是( )( )(a)-6a(a)-6a2 2 (b)- (b)-9a9a2 2 (c)6a (c)6a2 2 (d)9a (d)9a2 2【解析解析】選選b.b.因為因為-(-3a)-(-3a)2 2=-(-3)=-(-3)2 2a a2 2=-9a=-9a2 2. .同底數(shù)冪的乘法運算法則同底數(shù)冪的乘法運算法則: :a amaan na am m+ +n n= =同底數(shù)冪的乘方運算法則：同底數(shù)冪的乘