mathematica求函數(shù)的極值線性規(guī)劃

1、 第七章 求極值及解線性規(guī)劃問題命令與例題在一些實(shí)際問題中, 經(jīng)常遇到需要知道某個已知函數(shù)（帶有條件約束或不帶條件約束）在哪些點(diǎn)取得極大值或極小值的問題，所考慮的已知函數(shù)常稱為目標(biāo)函數(shù)， mathematica提供了求目標(biāo)函數(shù)的局部極小值命令和線性規(guī)劃（即帶有線性條件約束的線性目標(biāo)函數(shù)在約束范圍內(nèi)的極小和極大值）命令。 7.1求函數(shù)的局部極值mathematica只給出了求局部極小值的命令，如果要求局部極大值只要把命令中的目標(biāo)函數(shù)加上負(fù)號即可，即把“目標(biāo)函數(shù)”變?yōu)椤?目標(biāo)函數(shù)”就可以求局部極大值了。 mathematica求函數(shù)局部極小值的一般形式為: findminimum 目標(biāo)函數(shù), 自變

2、量名1，初始值1, 自變量名2，初始值2,具體的擬合命令有:命令形式1：findminimum fx, x, x0功能：以 x0為初值, 求一元函數(shù)f(x)在x0附近的局部極小值。命令形式2：findminimum fx, x, x0 , x1功能：以 x0和x1為初值，求一元函數(shù)f(x)在它們附近的局部極小值。命令形式3：findminimum fx, x, x0 , xmin,xmax 功能：以 x0為初值, 求一元函數(shù)f(x)在x0附近的局部極小值, 如果中途計(jì)算超出自變量范圍xmin,xmax, 則終止計(jì)算。命令形式4：findminimum fx,y,., x, x0,y, y0,功

3、能：以點(diǎn)(x0, y0,)為初值, 求多元函數(shù)f(x,y,)在(x0, y0,)附近的局部極小值。注意：1）所有命令結(jié)果顯示形式為：極小值, 自變量 -> 極小值點(diǎn) 2）把上面命令中的目標(biāo)函數(shù)f寫為 f, 對應(yīng)的命令就可以用來求局部極大值了，但要注意的是此時求出的結(jié)果是f的局部極小值，因此，還要把所求出的極小值前面加上負(fù)號才是所要的局部極大值。 3）命令2主要用于目標(biāo)函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)的情況。 4) 求多元函數(shù)的極值時，初值(x0, y0,)可以根據(jù)實(shí)際問題來猜測，對二元函數(shù)的極值還可以借助等高線圖中的環(huán)繞區(qū)域得到。 例題例1. 求函數(shù)y=3x4-5x2+x-1, 在-2,2的極大值、極小值和

4、最大值、最小值。解: 先畫出函數(shù)圖形，再確定求極值的初值和命令。mathematica 命令為: in1:= plot3x4-5x2+x-1,x,-2,2out1=-graphics-從圖中看到函數(shù)在-1和1附近有兩個極小值點(diǎn)，在0附近有一個極大值點(diǎn)，用mathematica 命令求之：in2:=findminimum3x4-5x2+x-1,x,1out2= -2.19701, x -> 0.858028 （*函數(shù)在 x=0.858028取得極小值-2.19701in3:=findminimum3x4-5x2+x-1,x,-1out3= -4.01997, x -> -0.9592

5、73 （*函數(shù)在 x=-0.959273取得極小值-4.01997in4:=findminimum- (3x4-5x2+x-1), x,0out4= 0.949693, x -> 0.101245 （*函數(shù)在 x=0.101245取得極大值-0.949693in5:= 3x4-5x2+x-1/.x->-2 （*計(jì)算函數(shù)在 x=-2的值out5=25 in6:= 3x4-5x2+x-1/.x->2 （*計(jì)算函數(shù)在 x=2的值out6=29 故所求函數(shù)在-2,2的x=2處取得最大值29, 在x=-0.959273處取得最小值為-4.01997。例2. 求函數(shù)z= e2x

6、(x+y2+2y)，在區(qū)間-1,1´-2,1內(nèi)的極值。解: 本題限制了求極值的范圍，為確定初值，借助等高線圖mathematica命令為 in7:= contourplotexp2x*(x+y2+2y),x,-1,1,y,-2,1, contours->20, contourshading->false, plotpoints->30從圖中可知函數(shù)在（0.45,-1.2）可能有極值，取x0=0.45，y0= -1.1, 再用求極值命令in8:= findminimumexp2x*(x+y2+2y), x, 0.45, y, -1.1out8= -1.35914, x

7、 -> 0.5, y -> -1.求得函數(shù)在 x= 0.5, ，y= -1取得極小值-1.35914。例3. 求函數(shù)f(x,y,z)=x 4+siny-cosz,在點(diǎn)（0，5，4）附近的極小值 。解: in9:= findminimumx4+siny-cosz,x,0,y,5,z,4 out9= -2., x -> 0., y -> 4.71239, z -> 6.28319故函數(shù)在 （0, 4.71239, 6.28319）取得極小值-2。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：用mathematica 求條件極值。7.2 解線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支，應(yīng)用很廣。線性規(guī)劃問題

8、可以描述為求一組非負(fù)變量，這些非負(fù)變量在滿足一定線性約束的條件下，使一個線性目標(biāo)函數(shù)取得極?。ù螅┲档膯栴}，線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為：目標(biāo)函數(shù) ： mins= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x n a11 x 1 + a12 x 2 +.+ a1n x n = b 1 a21 x 1 + a22 x 2 +. + a2n x n = b2約束條件： . a m1x 1 + a m2x 2 +.+ a mn x n = b m x 1 ,x 2 , x n ³ 0這里x 1 ,x 2 , x n 是變量， c i, aij ,bi都是已知常數(shù)，且bi ³ 0，約

9、束條件常用符號:s.t.表示。 線性規(guī)劃的一般形式為：目標(biāo)函數(shù) ： mins= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x n a11 x 1 + a12 x 2 +.+ a1n x n ' b 1 a21 x 1 + a22 x 2 +. + a2n x n ' b2s.t. . a m1 x 1 + a m2 x 2 +.+ a mn x n ' b m 式中符號“'”可以是關(guān)系符號：>, <, =, ³, £ 中的任意一個。 mathematica 提供了解線性規(guī)劃（標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式）問題的命令，由于線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)

10、形式是一般形式的特例，這里介紹解一般形式的線性規(guī)劃問題的mathematica命令。 mathematica解一般線性規(guī)劃問題的命令形式有:具體的擬合命令有:命令形式1：constrainedmin f, inequalities, x1,x2,功能：求在給定約束條件inequalities下，線性目標(biāo)函數(shù)f極小值和對應(yīng)的極小點(diǎn)。命令形式2：constrainedmax f, inequalities, x1,x2,功能：求在給定約束條件inequalities下，線性目標(biāo)函數(shù)f極大值和對應(yīng)的極大點(diǎn)。注意：1） 命令1結(jié)果形式為：極小值, 自變量1 -> 極小值點(diǎn)1，自變量2 ->

11、 極小值點(diǎn)2，。2） 命令2結(jié)果形式為：極大值, 自變量1 -> 極大值點(diǎn)1，自變量2 -> 極大值點(diǎn)2，。3） 上面命令中的f為線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù),它必須是變量x1,x2,的線性函數(shù)。4） 上面命令中的inequalities為線性規(guī)劃中的約束不等式組,每個關(guān)系式必須用逗號分隔。5） 上面命令中的x1,x2,線性規(guī)劃中的自變量名稱,它們必須取非負(fù)值且可以用其它符號名。 例題 例4. 求線性規(guī)劃問題 maxs= 17x 1 -20 x 2 +18 x 3 x 1 - x 2 +x 3 <10s.t. x 1 + x 3 <5 x 1 <5解: 本題用命令2求之。

12、mathematica 命令為: in10:= constrainedmax17x1-20x2+18x3, x1-x2+x3<10,x1<5,x1+x3>20, x1, x2, x3out10= 160, x1 -> 0, x2 -> 10, x3 -> 20計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極大值為160，對應(yīng)的極大值點(diǎn)為（0，10，20）。例5. 求線性規(guī)劃問題 min m= 13x -y +5z x +y >=7, s.t. y + z < 10, x>2, y>0,z>0 解: 本題用命令1求之。mathematica 命令為:

13、in11:= constrainedmin13x-y+5z, x+y>=7, y+z<10, x>2, y>0, z>0, x,y,z out11= 16, x -> 2, y -> 10, z -> 0計(jì)算結(jié)果可得所求目標(biāo)函數(shù)極小值為16，對應(yīng)的極小值點(diǎn)為（0，10，0）。例6. 現(xiàn)有三種食品a1,a2,a3,各含有兩種營養(yǎng)成分b1,b2, 每單位食物ai含有bj成分的數(shù)量及每種食物的單價如下表所示: 種類成分a1a2a3營養(yǎng)成分需要量 b12045 b22314 單價423問應(yīng)如何選購食物,才能既滿足對營養(yǎng)成分b1,b2的需要,又使費(fèi)用最少？

14、解: 設(shè)購買食品a1,a2,a3的數(shù)量分別為 x 1, x 2,x 3,花費(fèi)的費(fèi)用為s,則本問題可以用以下的數(shù)學(xué)模型來描述： min s= 4x 1 +2x 2 +3x 3 2x 1 + 4x 3 ³ 5 s.t. 2x 1 + 3x 2 +x 3 ³ 4 x 1 , x 2 , x 3 ³ 0解: 用mathematica 命令為: in12:= constrainedmax4x1+2x2+3x3, 2x1+4x3>=5, 2x1+3x2+x3>=4,x1>=0,x2>=0,x3>=0 , x1, x2, x3out12=67/12, x1 -> 0, x2 -> 11/12, x3 -> 5/4 計(jì)算結(jié)果顯示購買11/12數(shù)量的食品a2, 5/4數(shù)量的食品a3可以滿足本問題的要求,此時的花費(fèi)的費(fèi)用為67/12。例7. 求線性規(guī)劃問題 min f = -x-3y-3z, 3x+y+2z+ v =5 s.t. x+ z+ 2v+w =2 x+ 2z+u+2v =6 x, y, z, u, v, w>0解: 本題用命令1求之。mathematic