平面及其方程25775專業(yè)教學(xué)

1、xyzo0mm 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,cban ),(0000zyxm設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxmnmm 0必有必有00 nmm一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程n1蒼柏課資,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足上方程，不在平面上的平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，點都不滿

2、足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,cban 已知點已知點).,(000zyx2蒼柏課資例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程.解解6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx3蒼柏課資例例 2 2 求過點求過點)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1,

3、 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解4蒼柏課資由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzcyybxxa0)(000 czbyaxczbyaxd 0 dczbyax平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,cban 二、平面的一般方程二、平面的一般方程5蒼柏課資平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( d平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( a , 0, 0dd平面通過平面通過 軸；

4、軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb類似地可討論類似地可討論 情形情形.6蒼柏課資例例 3 3 設(shè)平面過原點及點設(shè)平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax由平面過原點知由平面過原點知, 0 d由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 cba,2 , 1, 4 n024 cba,32cba . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解備注：兩個

5、方程求三個未知數(shù)可以將其中一個當(dāng)做已知，到最后約掉7蒼柏課資例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 dczbyax將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解8蒼柏課資,ada ,bdb ,cdc 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距9蒼柏課資例例 5 5 求求平平

6、行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 v, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解備注：平行于一個平面也可以先設(shè)為6x+y+6z+a=0，然后再去求解10蒼柏課資,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 z

7、yx所求平面方程為所求平面方程為11蒼柏課資定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角12蒼柏課資按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbba

8、a 13蒼柏課資例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 14蒼柏課資)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm

9、兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.15蒼柏課資例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxp是是平平面面byax 0 dcz外外一一點點，求求0p到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxp|pr|01ppjdn 1pnn0p 00101prnppppjn ,10101001zzyyxxpp 解解16蒼柏課資 2222222220,cbaccbabcbaan00101prnppppjn 222102221022210)()()(cbazzccbayybcbaxxa ,)(222111000cbaczbyaxczbyax 17蒼柏課資0111 dczbyax)(1 p 01prppjn,2

10、22000cbadczbyax .|222000cbadczbyaxd 點到平面距離公式點到平面距離公式18蒼柏課資平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）四、小結(jié)四、小結(jié)19蒼柏課資思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k20蒼柏課資思考題解答思考題解答,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,14

11、53212 kk.270 k21蒼柏課資一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 czbyax必通過必通過_， （其中（其中 cba,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 dczby_x軸；軸；3 3、平面、平面0 czby_x軸；軸；4 4、通過點、通過點)1,0,3( 且與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _；5 5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、三點的平面方三點的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx與與xoy面的夾角余弦為面的夾角余弦為_ _ _，與，與yoz面的夾角余弦為面的夾角余弦為_， 與與zo

12、x面的夾角的余弦為面的夾角的余弦為_；練練 習(xí)習(xí) 題題22蒼柏課資二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求過點求過點)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點的三點的 平面方程平面方程 . .四、四、 點點)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通過過z軸軸和和點點)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求與與已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且與與 三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所構(gòu)構(gòu)成成的的四四面面體體體體積積為為 1 1 的的平平面面方方程程 . .23蒼柏課資一、一、1 1、(0,0,0)(0,0,0)； 2 2、平行于；、平行于； 3 3、通過；、通