理學(xué)高等代數(shù)北大版第三版習(xí)題答案II

1、高等代數(shù)（北大*第三版）答案目錄第一章 多項(xiàng)式 第二章 行列式 第三章 線性方程組第四章 矩陣第五章 二次型 第六章 線性空間第七章 線性變換第八章 矩陣第九章 歐氏空間第十章 雙線性函數(shù)與辛空間注：答案分三部分，該為第二部分，其他請(qǐng)搜索，謝謝！ 12設(shè)為一個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，且，證明：必存在實(shí)維向量，使。證 因?yàn)椋谑?，所以，且不是正定矩陣。故必存在非退化線性替換使 ，且在規(guī)范形中必含帶負(fù)號(hào)的平方項(xiàng)。于是只要在中，令則可得一線性方程組 ，由于，故可得唯一組非零解使 ，即證存在，使。 13如果都是階正定矩陣，證明：也是正定矩陣。 證 因?yàn)闉檎ň仃?，所以為正定二次型，?， ，因此 ，于是必為正定

2、二次型，從而為正定矩陣。 14證明：二次型是半正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)與秩相等。 證 必要性。采用反證法。若正慣性指數(shù)秩，則。即 ， 若令 ，則可得非零解使。這與所給條件矛盾，故。充分性。由，知 ，故有，即證二次型半正定。 15證明：是半正定的。 證 （ ） ?？梢姡?） 當(dāng)不全相等時(shí) 。2） 當(dāng)時(shí) 。故原二次型是半正定的。 16設(shè)是一實(shí)二次型，若有實(shí)維向量使 ， 。證明：必存在實(shí)維向量使。 設(shè)的秩為，作非退化線性替換將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型 ，其中為1或-1。由已知，必存在兩個(gè)向量使 和 ，故標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)不可能全為1，也不可能全為-1。不妨設(shè)有個(gè)1，個(gè)-1，且，即 ，這時(shí)與存在三種可

3、能： ， ， 下面僅討論的情形，其他類似可證。 令， ， ，則由可求得非零向量使 ，即證。17是一個(gè)實(shí)矩陣，證明： 。證 由于的充分條件是與為同解方程組，故只要證明與同解即可。事實(shí)上 ，即證與同解，故 。 注 該結(jié)論的另一證法詳見本章第三部分（補(bǔ)充題精解）第2題的證明，此處略。一、 補(bǔ)充題參考解答1 用非退化線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并用矩陣驗(yàn)算所得結(jié)果：1）；2）；3）；4），其中。解 1）作非退化線性替換 ，即，則原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，且替換矩陣 ，使 ，其中 。2）若 ， ，則 ，于是當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，作變換 ，則 ，且當(dāng)時(shí)，得非退化替換矩陣為 ，當(dāng)時(shí)，得非退化替換矩陣為 ，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

4、都有 。 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，作非退化線性替換 ，則 ，于是當(dāng)時(shí)，得非退化替換矩陣為 ，于是當(dāng)時(shí)，得非退化替換矩陣為 ，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，都有 。3） 由配方法可得 ，于是可令 ，則非退化的線性替換為 ，且原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，相應(yīng)的替換矩陣為 ，又因?yàn)?，所以 。4） 令 ，則 。由于 ，則 原式 ，其中所作非退化的線性替換為 ，故非退化的替換矩陣為 。又 ，所以 。2 設(shè)實(shí)二次型 ，證明：的秩等于矩陣 的秩。 證 設(shè)，因 ，下面只需證明即可。由于，故存在非退化矩陣使 或 ，從而 ，令 ，則 。由于是正定的，因此它的級(jí)順序主子式，從而的秩為。即證。3 設(shè) 。其中是的一次齊次式，證明：的正慣性指數(shù)，負(fù)慣性

5、指數(shù)。 證 設(shè) ，的正慣性指數(shù)為，秩為，則存在非退化線性替換 ，使得 。下面證明。采用反證法。設(shè)，考慮線性方程組 ，該方程組含個(gè)方程，小于未知量的個(gè)數(shù)，故它必有非零解，于是 ，上式要成立，必有 ， ，這就是說，對(duì)于這組非零數(shù)，有 ， ，這與線性替換的系數(shù)矩陣非退化的條件矛盾。所以 。 同理可證負(fù)慣性指數(shù)，即證。4 設(shè) 是一對(duì)稱矩陣，且，證明：存在使，其中表示一個(gè)級(jí)數(shù)與相同的矩陣。 證 只要令，則 ，注意到 ， ，則有 。即證。5 設(shè)是反對(duì)稱矩陣，證明：合同于矩陣 。 證 采用歸納法。當(dāng)時(shí)，合同于，結(jié)論成立。下面設(shè)為非零反對(duì)稱矩陣。 當(dāng)時(shí) ，故與合同，結(jié)論成立。 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，今考察的情形。這

6、時(shí) ，如果最后一行（列）元素全為零，則由歸納假設(shè)，結(jié)論已證。若不然，經(jīng)過行列的同時(shí)對(duì)換，不妨設(shè)，并將最后一行和最后一列都乘以，則可化成 ，再將最后兩行兩列的其他非零元化成零，則有 ，由歸納假設(shè)知 與 合同，從而合同于矩陣 ，再對(duì)上面矩陣作行交換和列交換，便知結(jié)論對(duì)級(jí)矩陣也成立，即證。6 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)，使對(duì)任一個(gè)實(shí)維向量都有 。證 因?yàn)?，令，則 。利用可得 ，其中，即證。 7主對(duì)角線上全是1的上三角矩陣稱為特殊上三角矩陣。1）設(shè)是一對(duì)稱矩陣，為特殊上三角矩陣，而，證明：與的對(duì)應(yīng)順序主子式有相同的值；2）證明：如果對(duì)稱矩陣的順序主子式全不為零，那么一定有一特殊上三角矩陣使

7、成對(duì)角形；3）利用以上結(jié)果證明：如果矩陣的順序主子式全大于零，則是正定二次型。證 1）采用歸納法。當(dāng)時(shí)，設(shè) ， ，則 ?？紤]的兩個(gè)順序主子式：的一階順序主子式為，而二階順序主子式為 ，與的各階順序主子式相同，故此時(shí)結(jié)論成立。歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)階矩陣成立，今考察階矩陣，將寫成分塊矩陣 ， ，其中為特殊上三角矩陣。于是 。由歸納假設(shè)，的一切階的順序主子式，即的順序主子式與的順序主子式有相同的值，而的階順序主子式就是，由 ，知的階順序主子式也與的階順序主子式相等，即證。 2）設(shè)階對(duì)稱矩陣，因，同時(shí)對(duì)的第一行和第一列進(jìn)行相同的第三種初等變換，可以化成對(duì)稱矩陣 ，于是由1）知，從而，再對(duì)進(jìn)行類似的初等變換，

8、使矩陣的第二行和第二列中除外其余都化成零；如此繼續(xù)下去，經(jīng)過若干次行列同時(shí)進(jìn)行的第三種初等變換，便可以將化成對(duì)角形 。由于每進(jìn)行一次行、列的第三種初等變換，相當(dāng)于右乘一個(gè)上三角形陣，左乘一個(gè)下三角形陣，而上三角形陣之積仍為上三角形陣，故存在，使，命題得證。 3）由2）知，存在使 。又由1）知的所有順序主子式與的所有順序主子式有相同的值，故 ， ，所以。 ，所以 ，因是非退化線性替換，且 ，由于都大于零，故是正定的。 8。證明：1）如果 是正定二次型，那么 是負(fù)定二次型； 2）如果是正定矩陣，那么 ，這里是的階順序主子式； 3）如果是正定矩陣，那么 。 4）如果是階實(shí)可逆矩陣，那么 。 證 1）

9、作變換，即 ，則 。因?yàn)槭钦ň仃嚕允秦?fù)定二次型。 2）為正定矩陣，故對(duì)應(yīng)的階矩陣也是正定矩陣，由1）知 是負(fù)定二次型。注意到 ，又因，所以 ，當(dāng)時(shí)，有 ，綜上有，即證。 3）由2）得 。 4）作非退化的線性替換，則為正定二次型，所以是正定矩陣，且 ，再由3）便得 。9.證明：實(shí)對(duì)稱矩陣是半正定的充分必要條件是的一切主子式全大于或等于零（所謂階主子式，是指形為 的級(jí)子式，其中）。證 必要性。取的任一個(gè)階主子式相應(yīng)的矩陣 ，對(duì)應(yīng)的二次型為 ，令，代入，得 ，故存在非退化矩陣使 ，其中。故 。充分性。設(shè)的主子式全大于或等于零，任取的第個(gè)順序主子式相應(yīng)的矩陣 ，作 ，由行列式性質(zhì)，得 ，其中是中

10、一切階主子式的和，由題設(shè)，的一切階主子式，所以。故當(dāng)時(shí)，有 ，即當(dāng)時(shí)，是正定矩陣。假若不是半正定矩陣，則存在一非零向量，使。于是令 ，則 ，這與時(shí)為正定矩陣矛盾，故為半正定矩陣。第六章 線性空間1.設(shè)證明：。證 任取由得所以即證。又因故。再證第二式，任取或但因此無論哪 一種情形，都有此即。但所以。2.證明，。證 則在后一情形，于是所以，由此得。反之，若，則 在前一情形，因此故得在后一情形，因而，得故于是。若。在前一情形x， 。 3、檢驗(yàn)以下集合對(duì)于所指的線性運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：1） 次數(shù)等于n（n1）的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法；2） 設(shè)a是一個(gè)n×n

11、實(shí)數(shù)矩陣，a的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f（a）的全體，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法；3） 全體實(shí)對(duì)稱（反對(duì)稱，上三角）矩陣，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法；4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，對(duì)于向量的加法和數(shù)量乘法；5） 全體實(shí)數(shù)的二元數(shù)列，對(duì)于下面定義的運(yùn)算： 6） 平面上全體向量，對(duì)于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法： ；7） 集合與加法同6），數(shù)量乘法定義為：；8） 全體正實(shí)數(shù)r，加法與數(shù)量乘法定義為：，；解 1）否。因兩個(gè)n次多項(xiàng)式相加不一定是n次多項(xiàng)式，例如 。2）令v=f（a）|f（x）為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式，a是n×n實(shí)矩陣因?yàn)?f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以 f（a）+g

12、（a）=h（a），kf（a）=d（a）由于矩陣對(duì)加法和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條，故v構(gòu)成線性空間。 3）矩陣的加法和和數(shù)量乘法滿足線性空間定義的18條性質(zhì)，只需證明對(duì)稱矩陣（上三角矩陣，反對(duì)稱矩陣）對(duì)加法與數(shù)量乘法是否封閉即可。下面僅對(duì)反對(duì)稱矩陣證明： 當(dāng)a，b為反對(duì)稱矩陣，k為任意一實(shí)數(shù)時(shí)，有 ，a+b仍是反對(duì)稱矩陣。 ，所以ka是反對(duì)稱矩陣。故反對(duì)稱矩陣的全體構(gòu)成線性空間。4）否。例如以已知向量為對(duì)角線的任意兩個(gè)向量的和不屬于這個(gè)集合。5）不難驗(yàn)證，對(duì)于加法，交換律，結(jié)合律滿足，（0，0）是零元，任意（a，b）的負(fù)元是（-a，-b）。對(duì)于數(shù)乘：即。，即，所以，所給集合構(gòu)成線性空間。

13、6）否，因?yàn)椤?）否，因?yàn)?，所給集合不滿足線性空間的定義。8）顯然所給集合對(duì)定義的加法和數(shù)量乘法都是封閉的，滿足所以，所給集合構(gòu)成線性空間。4 在線性空間中，證明：1） 2）。證 1）。2）因?yàn)椤? 證明：在實(shí)函數(shù)空間中，1，式線性相關(guān)的。證 因?yàn)?，所?，式線性相關(guān)的。6 如果是線性空間中三個(gè)互素的多項(xiàng)式，但其中任意兩個(gè)都不互素，那么他們線性無關(guān)。證 若有不全為零的數(shù)使，不妨設(shè)則，這說明的公因式也是的因式，即有非常數(shù)的公因式，這與三者互素矛盾，所以線性無關(guān)。7 在中，求向量在基下的坐標(biāo)。設(shè)1）；2）。解 1）設(shè)有線性關(guān)系，則，可得在基下的坐標(biāo)為。2）設(shè)有線性關(guān)系，則，可得在基下的坐標(biāo)為。8求

14、下列線性空間的維數(shù)于一組基：1）數(shù)域p上的空間p；2）p中全體對(duì)稱（反對(duì)稱，上三角）矩陣作成的數(shù)域p上的空間；3)第3題8)中的空間;4)實(shí)數(shù)域上由矩陣a的全體實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的空間,其中a=。解 1)的基是且。2) i)令，即其余元素均為零,則 是對(duì)稱矩陣所成線性空間 的一組基,所以是維的。ii)令，即其余元素均為零,則是反對(duì)稱矩陣所成線性空間的一組基, 所以它是維的。iii) 是上三角陣所成線性空間的一組基,所以它是維的。3)任一不等于1的正實(shí)數(shù)都是線性無關(guān)的向量,例如取2，且對(duì)于任一正實(shí)數(shù),可經(jīng)2線性表出，即.,所以此線性空間是一維的，且2是它的一組基。4)因?yàn)?所以，于是， 而。9.在

15、中,求由基，到基的過渡矩陣,并求向量在所指基下的坐標(biāo)。設(shè) ，在下的坐標(biāo)； ，在下的坐標(biāo)； ，在下的坐標(biāo)；解 （）=（）=（）a這里a即為所求由基到的過渡矩陣，將上式兩邊右乘得，得 （）=（），于是 （）=（），所以在基下的坐標(biāo)為 ，這里=。令則（）=()=()a，（）=()=()b，將()=（）代入上式,得（）=（）b，這里=,b=，且即為所求由基到基的過渡矩陣，進(jìn)而有=()=（） =（），所以在下的坐標(biāo)為。同，同理可得a=b=則所求由到的過渡矩陣為b=。再令+b+c+d，即，由上式可解得在下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為 。10繼第9題1）求一非零向量，它在基與下有相同的坐標(biāo)。解 設(shè)在兩基下的坐標(biāo)為，則

16、 =（）=（）。又因?yàn)?（）=（）=（）a，所以 =a（a - e）=0。又 ，于是只要令 ，解此方程組得 = (c為任意非零常數(shù))，取c為某個(gè)非零常數(shù)，則所求為 。11.證明：實(shí)數(shù)域作為它自身的線性空間與第3題8）中的空間同構(gòu)。證 因?yàn)樗鼈兌际菍?shí)數(shù)域上的一維線性空間，故同構(gòu)。12.設(shè)都是線性空間的子空間，且，證明：如果的維數(shù)與的維數(shù)相等，那么。證 設(shè)dim()=r，則由基的擴(kuò)充定理，可找到的一組基，因，且它們的唯數(shù)相等，故，也是的一組基，所以=。13。1）證明：全體與可交換的矩陣組成的一個(gè)子空間，記做c（a）；2）當(dāng)a=e時(shí)，求c（a）；3）當(dāng)a=時(shí)，求c（a）的維數(shù)和一組基。證 1）設(shè)與a

17、可交換的矩陣的集合記為c(a)。若b,d屬于c(a)，可得 a(b+d)=ab+ad=ba+da=(b+d)a， 故 b+dc(a)。若k是一數(shù)，b，可得 a（kb）=k(ab)=k(ba)=(kb)a，所以kbc(a)。故c(a)構(gòu)成子空間。2）當(dāng)a=e時(shí)，c（a）=。3）設(shè)與a可交換的矩陣為b=（），則b只能是對(duì)角矩陣，故維數(shù)為n,即為它的一組基。14.設(shè)求中全體與可交換的矩陣所成的子空間的維數(shù)和一組基。解 若記 a=，并設(shè)b=與a可交換，即ab=ba，則sb=bs。且由sb=，bs=，可是，又 ，即，該方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，所以解空間的維數(shù)為5。取自由未知量a,，并令b=1，其余為0

18、，得=3,a=3;令=1，其余為0，得=3,a=;令=1，其余為0，得=1,a=1;令=1，其余為0，得=0,a=;令=1，其余為0，得=1,a=1;則與a可交換的矩陣為 b=，其中,a,可經(jīng)b,表示,所求子空間的一組基為, , , ，且維數(shù)為5。15如果 且，證明：l=l。證 由，知所以a可經(jīng)線性表出，即可經(jīng)線性表出，同理，也可經(jīng)線性表出。故l=l。16在中，求由下面向量組生成的子空間的基與維數(shù)。設(shè)1） ， 。 解 1）的一個(gè)極大線性無關(guān)組，因此為l的一組基，且的維數(shù)是3。 2）的一個(gè)極大線性無關(guān)組為，故是l的一組基，且維數(shù)為2。17在中，由齊次方程組確定的解空間的基與維數(shù)。解 對(duì)系數(shù)矩陣作

19、行初等變換，有 所以解空間的維數(shù)是2，它的一組基為 ，。18.求由向量生成的子空間與由向量生成的子空間的交的基與維數(shù)，設(shè) 1） ； 2） ； 3） 。解 1）設(shè)所求交向量 ， 則有 ， 即 ， 可算得， 且 ， 因此方程組的解空間維數(shù)為1，故交的維數(shù)也為1。任取一非零解，得一組基 ， 所以它們的交l是一維的，就是其一組基。 2）設(shè)所求交向量 ， 則有 ， 因方程組的系數(shù)行列式不等于0，故方程組只有零解，即從而 交的維數(shù)為0。 3）設(shè)所求交向量為 ， 即 ，由 知解空間是一維的，因此交的維數(shù)是1。令，可得，因此交向量就是一組基。19 設(shè)與分別是齊次方程組的解空間，證明：證 由于的解空間是你n1維

20、的，其基為而由 知其解空間是1維的，令則其基為且即為的一組基，從而又，故 。20 證明：如果那么 。證 由題設(shè)知 因?yàn)?所以 ， 又因?yàn)?所以 故， 即證。 21. 證明：每一個(gè)n維線性空間都可以表示成n個(gè)一維子空間的直和。 證 設(shè)是n維線性空間v的一組基。顯然都是v的一維子空間，且 v ，又因?yàn)?， 故 。 22證明：和是直和的充分必要條件是。 證 必要性是顯然的。這是因?yàn)?，所?。 充分性 設(shè)不是直和，那么0向量還有一個(gè)分解， 其中。在零分解式中，設(shè)最后一個(gè)不為0的向量是 則 ，即 ，因此，這與矛盾，充分性得證。23. 再給定了空間直角坐標(biāo)系的三維空間中，所有自原點(diǎn)引出的向量天添上零向量構(gòu)

21、成一個(gè)三維線性空間r。1） 問所有終點(diǎn)都在一個(gè)平面上的向量是否為子空間？2） 設(shè)有過原點(diǎn)的三條直線，這三條直線上的全部向量分別成為三個(gè)子空間問能構(gòu)成哪些類型的子空間，試全部列舉出來;3）就用該三維空間的例子來說明，若u,v,x,y是子空間，滿足u+vx，xy，是否一定有。解 1）終點(diǎn)所在的平面是過原點(diǎn)的平面，那么所有這些向量構(gòu)成二維子空間；但終點(diǎn)在不過原點(diǎn)的平面上的向量不構(gòu)成子空間，因?yàn)閷?duì)加法不封閉。2) ；（1）直線與重合時(shí)，是一維子空間；（2）與不重合時(shí)，時(shí)二維子空間。 ：（1） 重合時(shí)，構(gòu)成一維子空間；（2） 在同一平面上時(shí)，構(gòu)成二維子空間；（3） 不在同一平面上時(shí)，構(gòu)成三維子空間。3）

22、 令過原點(diǎn)的兩條不同直線，分別構(gòu)成一維子空間u和v，xuv是二維子空間，在，決定的平面上，過原點(diǎn)的另一條不與，相同的直線構(gòu)成一維子空間y，顯然因此，故 并不成立。二補(bǔ)充題參考解答11）證明：在px中，多項(xiàng)式 （i1，2，n）是一組基，其中是互不相同的數(shù)；2)在1）中，取是全體n次單位根，求由基1，到基的過渡矩陣。證 1）設(shè) ，將代入上式 ，得 ， 于是0。同理，將分別代入，可得， 所以線性無關(guān)。而px是n維的，故是px的一組基。2）取為全體單位根則 ， ， .， 故所求過渡矩陣為。2設(shè)是n維線性空間v的一組基，a是一個(gè)n×s矩陣，且，證明：的維數(shù)等于a的秩。證 只需證的極大線性無關(guān)組

23、所含向量的個(gè)數(shù)等于a的秩。設(shè)，且。不失一般性，可設(shè)a的前r列是極大線性無關(guān)組，由條件得，可證構(gòu)成，的一個(gè)極大線性方程組。事實(shí)上，設(shè)，于是得，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，該方程組的系數(shù)矩陣秩為故方程組只有零解，于是線性無關(guān)。 其次可證：任意添一個(gè)向量后，向量組，一定線性相關(guān)。事實(shí)上，設(shè)，于是，其系數(shù)矩陣的秩為r<r+1，所以方程組有非零解 即，線性相關(guān)。因此，是的極大線性無關(guān)組。從而的維數(shù)等于a的秩，即等于。3. 設(shè)是一秩為n的二次型，證明：有的一個(gè)維子空間（其中為符號(hào)差），使對(duì)任一，有0。證 設(shè)的正慣性指數(shù)為p，負(fù)慣性指數(shù)為q，則p+q=n。于是存在可逆矩陣，c，ycx，使，由。下面僅對(duì) p&l

24、t;q證明（pq時(shí)類似可證）。將y=cx展開，有方程組，任取，則線性無關(guān)，將分別代入方程組，可解得，使得，且線性無關(guān)。 下面證明p維子空間（）即為所要求得。事實(shí)上，對(duì)任意（），設(shè)，代入得故 即證=（）。4. 設(shè)，是線性空間的兩個(gè)非平凡的子空間，證明：在中存在，使 同時(shí)成立。證 因?yàn)?，非平凡的子空間，故存在，如果，則命題已證。設(shè) 則一定存在，若，則命題也得證。下設(shè)，于是有及， 因而必有。事實(shí)上，若，又，則由是子空間，必有，這與假設(shè)矛盾，即證，同理可證，證畢。5 設(shè)是線性空間v的s個(gè)非平凡的子空間，證明v中至少有一向量不屬于中的任何一個(gè)。證 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí)，由上題已證命題成立。 現(xiàn)歸納

25、假設(shè)命題對(duì)s-1個(gè)非平凡的子空間也成立，即在v中至少存在一個(gè)向量不屬于 中任意一個(gè)，如果，則命題已證。 若，對(duì)向量，且對(duì)p中s不同的數(shù)對(duì)應(yīng)的s個(gè)向量中不可能有兩個(gè)向量同時(shí)屬于某個(gè)非平凡的子空間換句話說，上述s個(gè)向量中至少有一個(gè)向量不屬于任意一個(gè)非平凡子空間，記為，易見也不屬于。即證命題對(duì)s個(gè)非平凡的子空間也成立。即證。 第七章 線性變換1  判別下面所定義的變換那些是線性的，那些不是：1）  在線性空間v中，a,其中v是一固定的向量；2）  在線性空間v中，a其中v是一固定的向量；3）  在p中，a；4）  在p中，a；5）  在p中

26、，a ；6）  在p中，a其中p是一固定的數(shù)；7）  把復(fù)數(shù)域上看作復(fù)數(shù)域上的線性空間， a。8）  在p中，ax=bxc其中b,cp是兩個(gè)固定的矩陣.解 1)當(dāng)時(shí),是;當(dāng)時(shí),不是。2)當(dāng)時(shí),是;當(dāng)時(shí),不是。3)不是.例如當(dāng),時(shí),a, a,a a(。4)是.因取,有a= a = = = a+ a，a a = a，故a是p上的線性變換。5) 是.因任取,并令則a= a=a+ a， 再令則a aa，故a為上的線性變換。6)是.因任取則.a=aa，aa。7)不是，例如取a=1,k=i，則a(ka)=-i , k(aa)=i, a(ka)ka(a)。8)是，因任取二矩陣，

27、則a(a+a，a(k)=a，故a是上的線性變換。2.在幾何空間中,取直角坐標(biāo)系oxy,以a表示將空間繞ox軸由oy向oz方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以b表示繞oy軸向ox方向旋轉(zhuǎn)90度的變換,以c表示繞oz軸由ox向oy方向旋轉(zhuǎn)90度的變換，證明：a=b=c=e,abba,ab=ba，并檢驗(yàn)(ab)=ab是否成立。解 任取一向量a=(x,y,z)，則有1) 因?yàn)閍a=(x,-z,y), aa=(x,-y,-z)，aa=(x,z,-y), aa=(x,y,z)，ba=(z,y,-x), ba=(-x,y,-z)，ba=(-z,y,x), ba=(x,y,z)，ca=(-y,x,z), ca=(-x,-

28、y,z)，ca=(y,-x,z), ca=(x,y,z)，所以a=b=c=e。2) 因?yàn)閍b(a)=a(z,y,-x)=(z,x,y)，ba(a)=b(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以abba。3)因?yàn)閍b(a)=a(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，ba(a)=b(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以ab=ba。3) 因?yàn)?ab)(a)=(ab)(ab(a)_=ab(z,x,y)=(y,z,x)，ab(a)=(-x,-y,z)，所以(ab)ab。3.在px 中，ab，證明:ab-ba=e。證 任取px，則有(ab-ba)=ab-ba=a(-b(=-=所以 ab-ba=e。4

29、.設(shè)a,b是線性變換，如果ab-ba=e，證明：ab-ba=a (k>1)。證 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)k=2時(shí)ab-ba=(ab-aba)+(aba-ba)=a(ab-ba)+(ab-ba)a=ae+ea=2ª，結(jié)論成立。歸納假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即ab-ba=a。則當(dāng)時(shí)，有ab-ba=(ab-aba)+(aba-ba)=a(ab-ba)+(ab-ba)a=ae+aa=a。即時(shí)結(jié)論成立.故對(duì)一切結(jié)論成立。5.證明：可逆變換是雙射。證 設(shè)a是可逆變換，它的逆變換為a。若ab，則必有aaab，不然設(shè)aa=ab，兩邊左乘a，有a=b，這與條件矛盾。其次，對(duì)任一向量b，必有a使aa=b，事實(shí)上,

30、令ab=a即可。因此,a是一個(gè)雙射。6.設(shè),是線性空間v的一組基，a是v上的線性變換。證明：a是可逆變換當(dāng)且僅當(dāng)a,a,a線性無關(guān)。證 因a(,)=(a,a,a)=(,)a，故a可逆的充要條件是矩陣a可逆，而矩陣a可逆的充要條件是a,a,a線性無關(guān)，故a可逆的充要條件是a,a,a線性無關(guān).。7.求下列線性變換在所指定基下的矩陣:1) 第1題4)中變換a在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩陣；2) o; ,是平面上一直角坐標(biāo)系,a是平面上的向量對(duì)第一和第三象限角的平分線的垂直投影,b是平面上的向量對(duì)的垂直投影，求a,b,ab在基,下的矩陣；3) 在空間px中，設(shè)變換a為

31、，試求a在基= (i=1,2,n-1)下的矩陣a；4) 六個(gè)函數(shù) =ecos,=esin，=ecos,=esin，=ecos,=esin，的所有實(shí)數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)六維線性空間，求微分變換d在基(i=1,2,6)下的矩陣；5) 已知p中線性變換a在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩陣是，求a在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩陣；6) 在p中，a定義如下：，其中，求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩陣；7) 同上，求a在,下的矩陣。解 1) a=(2,0,1)=2+，a=(-1,1,0)=-+，a=(0

32、,1,0)= ，故在基,，下的矩陣為。2）取=（1，0），=（0，1），則a=+，a=+，故a在基，下的矩陣為a=。又因?yàn)閎=0，b=，所以b在基，下的矩陣為b=，另外，（ab）=a（b）=a=+，所以ab在基，下的矩陣為ab=。3）因?yàn)?，所以a，a，a=，所以a在基,下的矩陣為a=。4）因?yàn)?d=a-b,d=b-a,，d=+a-b,d=+b+a,d=+a-b,d=+b+a，所以d在給定基下的矩陣為d=。5）因?yàn)?,)=(,，)，所以(,，)=(,)=(,)x，故a在基,，下的矩陣為b=xax=。6）因?yàn)?,)=(,，)，所以a(,)=a(,，),但已知a(,)=(,，)，故a(,，)=(,

33、，)=(,，)=(,，)。7）因?yàn)?,，)=(,)，所以a(,)=(,)=(,)。8在p中定義線性變換a(x)=x, a(x)=x, a(x)= x, 求a, a, a在基e, e, e, e下的矩陣。解 因 ae=a e+ce, ae=a e+c e,ae=be+de, ae= be+d e,故a在基e, e, e, e下的矩陣為a=。又因ae=a e+b e, ae= ce+de,ae= ae+be, ae= ce+d e,故a在基e, e, e, e下的矩陣為a=。又因ae= ae+abe+ace+bce，ae= ace+ade+ce+cde，ae= abe+be+ade+bde，ae

34、= bce+bde+cde+de，故a在基e, e, e, e下的矩陣為。9.設(shè)三維線性空間v上的線性變換a在基下的矩陣為a=，1) 求a在基下的矩陣；2) 求a在基下的矩陣，其中且；3) 求a在基下的矩陣。解 1)因a=+a， a=， a=，故a在基下的矩陣為。2)因 a=+， a(k)=+， a=+()+，故a在下的矩陣為 。3)因 a()=()()+()+()，a=()+()+，a=()+()+，故a基下的矩陣為。10. 設(shè)a是線性空間v上的線性變換，如果a0,但a=0，求證：,a, a(>0)線性無關(guān)。證 設(shè)有線性關(guān)系，用a作用于上式,得 a=0(因a對(duì)一切n均成立)，又因?yàn)閍0

35、,所以,于是有，再用a作用之,得 a=0.再由,可得=0.同理,繼續(xù)作用下去,便可得 ,即證,a, a(>0)線性無關(guān)。11.在n維線性空間中，設(shè)有線性變換a與向量使得a，求證a在某組下的矩陣是 。證 由上題知, ,a,a, a線性無關(guān)，故,a,a, a為線性空間v的一組基。又因?yàn)閍 a+ a，a(a)=+ a+ a+ a，a（a）=+ a+ a + a ，故a在這組基下的矩陣為 。12 設(shè)v是數(shù)域p上的維線性空間，證明：與v的全體線性變換可以交換的線性變換是數(shù)乘變換。 證 因?yàn)樵谀辰M確定的基下，線性變換與n級(jí)方陣的對(duì)應(yīng)是雙射，而與一切n級(jí)方陣可交換的方陣必為數(shù)量矩陣ke，從而與一切線性

36、變換可交換的線性變換必為數(shù)乘變換k。13. a是數(shù)域p上n維線性空間v的一個(gè)線性變換，證明：如果a在任意一組基下的矩陣都相同，那么是數(shù)乘變換。證設(shè)a在基下的矩陣為a=()，只要證明a為數(shù)量矩陣即可。設(shè)x為任一非退化方陣，且 ()=()x，則也是v的一組基，且a在這組基下的矩陣是，從而有ax=xa，這說明a與一切非退化矩陣可交換。若取，則由a=a知=0(ij)，即得a=，再取=由a=a，可得 。故a為數(shù)量矩陣，從而a為數(shù)乘變換。14.設(shè),是四維線性空間v的一組基，已知線性變換a在這組基下的矩陣為，1) 求a在基,下 的矩陣；2) 求a的核與值域；3) 在a的核中選一組基,把它擴(kuò)充為v的一組基,并

37、求a在這組基下的矩陣；4) 在a的值域中選一組基, 把它擴(kuò)充為v的一組基, 并求a在這組基下的矩陣。解 1)由題設(shè),知 ()=(,)，故a在基下的矩陣為b=。2) 先求a(0).設(shè) a(0)，它在,下的坐標(biāo)為(,)，且a在,下的坐標(biāo)為(0,0,0,0,)，則=。因rank(a)=2，故由 ，可求得基礎(chǔ)解系為x=,x=。若令=(,)x，=(,)x，則即為a(0)的一組基，所以 a(0)=。再求a的值域av。因?yàn)閍=，a=，a=，a=，rank(a)=2，故a ,a, a, a的秩也為2，且a ,a線性無關(guān)，故a ,a可組成av的基，從而av=l(a ,a)。4) 由2)知是a(0)的一組基，且知

38、, 是v的一組基，又(, a, a)=(,)，故a在基, 下的矩陣為b= =。4) 由2)知a=, a=易知a, a,是v的一組基，且(a, a,)=(,)，故a在基a, a,下的矩陣為c=。15. 給定p的兩組基 ，定義線性變換a: a=(=1,2,3)，1) 寫出由基到基的過度矩陣；2) 寫出在基下的矩陣；3) 寫出在基下的矩陣。解 1)由()=()x，引入p的一組基=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)，則()=(,)=(,)a，所以 ()=(,)=(,)b=(,)ab，故由基到基的過度矩陣為x= ab=。2)因 a()=()=()，故a在基下的矩陣為a=。4) 因a(

39、)=a()x=()x，故a在基下的矩陣仍為x.。16.證明與相似，其中()是1,2,的一個(gè)排列。證 設(shè)有線性變換a，使 a=d，則a(,)=(,)=(,)d，于是d與d為同一線性變換a在兩組不同基下的矩陣,故與相似。17.如果a可逆,證明ab與ba相似。證 因a可逆,故a存在，從而a(ab)a=( aa)ba=ba，所以ab與ba相似。18.如果a與b相似，c與d相似，證明：。證 由已知，可設(shè)b=xax, d=ycy，則=，這里=，故與相似。19.求復(fù)數(shù)域上線性變換空間v的線性變換a的特征值與特征向量.已知a在一組基下的矩陣為：1)a= 2)a= 3)a= 4)a=5)a= 6)a= 7)a=

40、解 1)設(shè)a在給定基,下的矩陣為a，且a的特征多項(xiàng)式為=-5-14=()()，故a的特征值為7，-2。先求屬于特征值=7的特征向量。解方程組，它的基礎(chǔ)解系為，因此a的屬于特征值7的全部特征向量為k (k)，其中=+。再解方程組，它的基礎(chǔ)解系為，因此a的屬于特征值-2的全部特征響向量為k(k)，其中=4-5。2)設(shè)a在給定基,下的矩陣為a，且當(dāng)a=0時(shí)，有a=0，所以=，故a的特征值為=0。解方程組，它的基礎(chǔ)解系為,，因此a的屬于特征值0的兩個(gè)線性無關(guān)特征向量為=，=，故a以v的任一非零向量為其特征向量。當(dāng)a0時(shí)，=+=()()，故a 的特征值為=， = -。當(dāng)=時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為，故a 的

41、屬于特征值的全部特征向量為k(k)，其中=-+。當(dāng)= -時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為，故a 的屬于特征值-的全部特征向量為 (k)，其中=+。3)設(shè)a在 給定基,下的矩陣為a，因?yàn)?()()，故a的特征值為=。當(dāng)時(shí),相應(yīng)特征方程組的基礎(chǔ)解系為x，故a 的屬于特征值2的全部特征向量為 + (k不全為零)，其中=+，=+，=+。當(dāng)時(shí)，特征方程組的基礎(chǔ)解系為x，故a 的屬于特征值-2的全部特征向量為 (k)，其中=-。4） 設(shè)a 在給定基下的矩陣為a，因=()()()，故a的特征值為=2，=1+，1-。當(dāng)=2時(shí), 方程組的基礎(chǔ)解系為，故a 的屬于特征值2的全部特征向量為 (k)，其中=-。當(dāng)=1+時(shí), 方

42、程組的基礎(chǔ)解系為，故a 的屬于特征值1+的全部特征向量為 (k)，其中=-+(2)。當(dāng)=1-時(shí), 方程組的基礎(chǔ)解系為，故a 的屬于特征值1的全部特征向量為 (k)，其中=-+(2)。5) 設(shè)a 在給定基下的矩陣為a，因=()()，故a的特征值為。當(dāng)，方程組的基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值1的全部特征向量為，其中,。當(dāng)時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值-1的全部特征向量為，其中。6) 設(shè)a 在給定基下的矩陣為a，因=，故a的特征值為。當(dāng)時(shí)，方程組的基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值0的全部特征向量為，其中。當(dāng)時(shí)，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值的全部特征向量為，其中。當(dāng)時(shí)，該特征方程組的

43、基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值的全部特征向量為，其中。7) 設(shè)a 在給定基下的矩陣為a，因=()()，故a的特征值為。當(dāng)，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值1的全部特征向量為，其中。當(dāng)，該特征方程組的基礎(chǔ)解系為，故a的屬于特征值-2的全部特征向量為，其中。20.在上題中,哪些變換的矩陣可以在適當(dāng)?shù)幕伦兂蓪?duì)角形?在可以化成對(duì)角形的情況下，寫出相應(yīng)的基變換的過度矩陣t，并驗(yàn)算tat。解 已知線形變換a 在某一組基下為對(duì)角形的充要條件是有n個(gè)線形無關(guān)的特征向量,故上題中1)6)可以化成對(duì)角形,而7)不能.下面分別求過渡矩陣t。1) 因?yàn)?) ，所以過渡矩陣t=，tat=。，t=，tat=。3)因?yàn)?)=()，過渡矩陣t=，tat=。4)因?yàn)?=(，過渡矩陣t=，t。5)因?yàn)?(=()，過渡矩陣 t=，。6)因?yàn)?(,即過渡矩陣為 t=,且t。21.在px(n>1)中,求微分變換d的特征多項(xiàng)式，