最新高中數(shù)學(xué)-專題4.4專題突破高考中的圓錐曲線問題-2017年全國高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講Word版含解析

1、題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(2015·天津變式)已知雙曲線1(a0，b0)的一個焦點為f(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為_.【答案】x21【思維升華】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程.【跟蹤訓(xùn)練1】(2014·課標(biāo)全國)已知點a(0，2)，橢圓e：1(a>b>0)的離心率為， f是橢圓e的右焦點，直線af的斜率為，o為坐標(biāo)原點.(1)求e的方程；(2)設(shè)過點a的動直線l與e相交于p，q兩點，當(dāng)opq的面積最大時，求l的方程.【解析】(1)設(shè)f(c,

2、0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時不合題意，故設(shè)l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)，將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時，x1,2.從而pq|x1x2|.題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)(2015·湖南變式)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(3，4)，則此雙曲線的離心率為_.a. b. c. d.(2)已知雙曲線c：1 (a>0，b>0)，p為x軸上一動點，經(jīng)過點p的直線y2xm (m0)與雙曲線c有且只有一個交點，則雙曲線c的離心率為_.【答

3、案】(1)(2)【解析】(1)由條件知yx過點(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)由雙曲線的方程可知：漸近線方程為y±x.經(jīng)過p的直線y2xm (m0)與雙曲線c有且只有一個交點，此直線與漸近線yx平行，2.e .【思維升華】圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系.掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運算能力.【跟蹤訓(xùn)練2】(2014·北京)已知橢圓c：x22y24.(1)求橢圓c的離心率；(2)設(shè)o為原點，若點a在

4、橢圓c上，點b在直線y2上，且oaob，試判斷直線ab與圓x2y22的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【解析】故d .此時直線ab與圓x2y22相切.綜上，直線ab與圓x2y22相切. 題型三最值問題例3設(shè)橢圓m：1 (a>b>0)的離心率為，長軸長為6，設(shè)過右焦點f傾斜角為的直線交橢圓m于a，b兩點.(1)求橢圓m的方程；(2)求證：ab；(3)設(shè)過右焦點f且與直線ab垂直的直線交橢圓m于c，d，求abcd的最小值. (3)解過右焦點f且與直線ab垂直的直線交橢圓m于c，d，同理可得cd，所以abcd.因為sin 20,1，所以當(dāng)且僅當(dāng)sin 21時，abcd有最小值是8.【思維升華】

5、圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值.【跟蹤訓(xùn)練3】(2015·課標(biāo)全國)已知f是雙曲線c：x21的右焦點，p是c的左支上一點，a(0，6).當(dāng)apf周長最小時，該三角形的面積為_.【答案】12【解析】設(shè)左焦點為f1，pfpf12a2，pf2pf1，apf的周長為afappfafap2pf1，apf周長最小即為appf1最小，當(dāng)a、p、f1三點共線時最小，過af1的直線方程為1.與x21聯(lián)立，解得

6、p點坐標(biāo)為(2,2)，此時ssaf1fsf1pf12.題型四定值、定點問題例4(2015·課標(biāo)全國 )已知橢圓c：9x2y2m2(m0)，直線l不過原點o且不平行于坐標(biāo)軸，l與c有兩個交點a，b，線段ab的中點為m.(1)證明：直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段om與c交于點p，四邊形oapb能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由.【解析】【思維升華】求定點及定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.【跟蹤訓(xùn)練4】橢圓c：1(a>b

7、>0)的離心率e ，ab3.(1)求橢圓c的方程；(2)如圖所示，a、b、d是橢圓c的頂點，p是橢圓c上除頂點外的任意一點，直線dp交x軸于點n，直線ad交bp于點m，設(shè)bp的斜率為k，mn的斜率為m.證明：2mk為定值.【解析】題型五探索性問題例5(2015·廣東)已知過原點的動直線l與圓c1：x2y26x50相交于不同的兩點a，b.(1)求圓c1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段ab的中點m的軌跡c的方程；(3)是否存在實數(shù)k，使得直線l：yk(x4)與曲線c只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.【解析】 (3)由題意知直線l表示過定點(4,0)，斜率為k的直線

8、，把直線l的方程代入軌跡c的方程x23xy20，其中<x3，化簡得(k21)x2(38k2)x16k20，其中<x3，記f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中<x3.若直線l與曲線c只有一個交點，令f(x)0.當(dāng)0時，解得k2，即k±，此時方程可化為25x2120x1440，即(5x12)20，解得x，k±滿足條件.當(dāng)>0時，【思維升華】(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或

9、參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.【跟蹤訓(xùn)練5】 (2014·湖南)如圖，o為坐標(biāo)原點，雙曲線c1：1(a1>0，b1>0)和橢圓c2：1(a2>b2>0)均過點p(，1)，且以c1的兩個頂點和c2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.(1)求c1，c2的方程；(2)是否存在直線l，使得l與c1交于a，b兩點，與c2只有一個公共點，且|？證明你的結(jié)論. 【解析】(1)設(shè)c2的焦距為2c2，由題意知，2c22,2a12.從而a11，c21.因為點p(，1)在雙曲線x21上，所以()21.故b3.由橢圓的定義知2a2 2.于是a2，bac2.故c1，c2的方程分別為x21，1.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x2