如何挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件

1、如何挖掘數(shù)學(xué)題中的隱含條件浙江省奉化中學(xué) 樓許靜 孫偉奇 315500有的題目中隱含著一些條件，這些題目常使學(xué)生感到困惑。究其原因，主要是學(xué)生不知如何抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，挖掘出隱含條件，為解題打開(kāi)切入點(diǎn)和突破口。那么隱含條件應(yīng)當(dāng)從那幾方面去挖掘呢？一、回歸定義數(shù)學(xué)的定義是推導(dǎo)公式、定理的依據(jù)，也是解題常用的一把鑰匙，它能為解題挖掘出最本質(zhì)的條件，使解題簡(jiǎn)捷明快。例1、解方程思路：用通常的辦法，需要兩次平方才能將原方程化為有理方程注意到原方程就是聯(lián)想到解析幾何中橢圓的定義，令有這是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸之長(zhǎng)為10的橢圓方程,即（隱含條件）從而當(dāng)時(shí),就有.二、細(xì)查結(jié)構(gòu)發(fā)掘隱含條件往往需要運(yùn)用感知，敏銳地觀察

2、，大膽運(yùn)用直覺(jué)思維，迅速作出判斷，從隱蔽的數(shù)學(xué)關(guān)系中找到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。而仔細(xì)觀察，抓住結(jié)構(gòu)特征，往往能有效地挖掘隱含條件例2、已知二次方程有相等的實(shí)數(shù)根，求證：分析：常規(guī)方法是由判別式，經(jīng)過(guò)因式分解得到，但跨越這一步是比較繁難的若轉(zhuǎn)向觀察題設(shè)方程的特點(diǎn)入手，迅速發(fā)掘出該方程系數(shù)為0條件，則立刻可知該方程的相等實(shí)數(shù)根為1，于是由韋達(dá)定理得問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲證三、結(jié)合已知當(dāng)單獨(dú)、孤立地審視已知條件已經(jīng)達(dá)到“山重水腹疑無(wú)路”時(shí)，將幾個(gè)已知條件聯(lián)系起來(lái)審視，就可以出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的新境界，從而挖掘出隱含條件例3、在銳角三角形中，成等差數(shù)列，若，試求函數(shù)的表達(dá)式分析：一方面由第一個(gè)已知條件得出，另一方面由誘

3、導(dǎo)公式得出以上二方面結(jié)合得出隱含條件這樣第二個(gè)已知條件轉(zhuǎn)化為用變量替換法求函數(shù)的表達(dá)式，令四、借助直觀有些數(shù)學(xué)題所給的條件往往不能直接為解題服務(wù)，而能夠直接為解題服務(wù)的一些有效因素卻隱蔽在題目所蘊(yùn)含的圖形的幾何性質(zhì)中，此時(shí)，若能以數(shù)思形，借助圖形直觀分析，就可以迅速獲得隱含條件，使問(wèn)題形象、簡(jiǎn)明地解決例4、點(diǎn)是已知圓d：內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，弦bc與點(diǎn)a組成一個(gè)直角三角形求弦bc中點(diǎn)p的軌跡方程解：設(shè)弦bc中點(diǎn)，因?yàn)?，所以；又因?yàn)閯t有，化簡(jiǎn)得這里，畫出草圖就可揭露出條件，把聯(lián)系起來(lái)問(wèn)題就迎刃而解五、轉(zhuǎn)換表述數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象表述常會(huì)給我們理解題意帶來(lái)困難為此，在解題中，要善于追溯問(wèn)題的實(shí)際背景，注意轉(zhuǎn)換數(shù)

4、學(xué)語(yǔ)言，盡量使題目表述通俗化，使隱含條件明朗化例5、記函數(shù)的定義域?yàn)閐，若存在使成立，則稱為坐標(biāo)的點(diǎn)是函數(shù)圖象上的“不動(dòng)點(diǎn)”，若函數(shù)的圖象上有且僅有兩個(gè)相異的“不動(dòng)點(diǎn)”試求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：本題是一類新概念題，但是其語(yǔ)言表述卻是我們所不熟悉的，為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可設(shè)兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，于是有“不動(dòng)點(diǎn)”就被我們用這樣的語(yǔ)言去表述：從而也就挖掘出隱含條件是一元二次方程的兩個(gè)不等于的相異實(shí)根，于是很容易就得到解題的方法：，解得：六、巧妙賦值通過(guò)對(duì)題目中的字母的恰當(dāng)賦值，往往能獲得對(duì)該問(wèn)題具有啟發(fā)意義的隱含條件例6、下面的表甲是一個(gè)電子顯示盤，每一次操作可以使某一行四個(gè)字母同時(shí)改變，或者使某一列

5、四個(gè)字母同時(shí)改變改變的規(guī)則是按照英文字母的順序，每個(gè)英文字母變成它的下一個(gè)字母（即a變成b，b變成c，最后z變成a）問(wèn)能否經(jīng)過(guò)若干次操作使表甲變?yōu)楸硪?？如果能，?qǐng)寫出變化過(guò)程，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由so b rkbd stz f phe x ghoc nrt b sadv xcf y a表甲表乙分析：本題直接入手，有一定難度我們將表中的英文字母分別用它們?cè)谧帜副碇械男蛱?hào)代替（即a用1，b用2，z用26代替）這樣表甲和表乙變分別變成了表丙和表丁19 152 18 11 2 3 1920 266 168 5 2478 1534 18 20 2 1914 22 24 3 6 251表丙表丁這樣，每一次

6、操作中字母的置換就相當(dāng)于下面的置換：12，23，2526，261這樣我們就挖掘出隱含條件：每次操作不改變這16個(gè)數(shù)字的和的奇偶性但表丙這16個(gè)數(shù)字的和為213，表丁的16個(gè)數(shù)字的和為184，它們的奇偶性不同故表丙不能變成表丁，即表甲不能變成表乙七、有效增補(bǔ)有些立體幾何題給出的問(wèn)題背景很簡(jiǎn)略，難以察覺(jué)題中的線面關(guān)系或數(shù)量關(guān)系但是，將所給的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑鲅a(bǔ)，使之變成一個(gè)更特殊、更完整的幾何體，那么題中所隱含的一些線面關(guān)系和數(shù)量關(guān)系就會(huì)顯露出來(lái)，問(wèn)題也就迎刃而解了例7、如圖，是直三棱柱，過(guò)點(diǎn)的平面與平面的交線記作，（1）判斷直線和的位置關(guān)系，并加以證明；（2）若求頂點(diǎn)到直線的距離簡(jiǎn)析略解：此題中平面與平面的交線的位置不很明朗，難以看到問(wèn)題的本質(zhì)而將所給的直三棱柱補(bǔ)成直平行六面體則即可顯露出隱含關(guān)系：交線就是，于是易知直線和平行（證明略），再根據(jù)三垂線定理及勾股定理易求得到直線的距離是（解答略）