物理學(xué)教程(第二版)上冊(cè)課后習(xí)題答案詳解 2

1、 物理學(xué)教程（第二版）上冊(cè)習(xí)題答案 第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1 -1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t 質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t t)時(shí)間內(nèi)的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為,平均速率為(1) 根據(jù)上述情況,則必有()(a) r= s = r(b) r s r,當(dāng)t0 時(shí)有dr= ds dr(c) r r s,當(dāng)t0 時(shí)有dr= dr ds(d) r s r,當(dāng)t0 時(shí)有dr= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有()(a) = ,= (b) , (c) = , (d) ,= 分析與解(1) 質(zhì)點(diǎn)在t 至(t t)時(shí)間內(nèi)沿曲線從p 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到p點(diǎn)

2、,各量關(guān)系如圖所示, 其中路程s pp, 位移大小rpp,而r r-r表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能)但當(dāng)t0 時(shí),點(diǎn)p無(wú)限趨近p點(diǎn),則有drds,但卻不等于dr故選(b)(2) 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可見,應(yīng)選(c)1 -2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見,即(1)；(2)；(3)；(4)下述判斷正確的是()(a) 只有(1)(2)正確 (b) 只有(2)正確(c) 只有(2)(3)正確 (d) 只有(3)(4)正確分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化

3、率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解故選(d)1 -3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對(duì)下列表達(dá)式,即(1)d v /dt ；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(a) 只有(1)、(4)是對(duì)的 (b) 只有(2)、(4)是對(duì)的(c) 只有(2)是對(duì)的 (d) 只有(3)是對(duì)的分析與解表示切向加速度a,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分

4、量,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述)；在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達(dá)是正確的故選(d)1 -4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有()(a) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(b) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(c) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(d) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則

5、要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a為一不為零的恒量,當(dāng)a改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)由此可見,應(yīng)選(b) 1 -5已知質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開始后4.0 s內(nèi)的位移的大??；(2) 質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過(guò)的路程；(3) t4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)的位移x 的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：,而在求路程時(shí),就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),

6、位移的大小和路程就不同了為此,需根據(jù)來(lái)確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻tp ,求出0tp 和tpt 內(nèi)的位移大小x1 、x2 ,則t 時(shí)間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t 4.0 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用和兩式計(jì)算題 1-5 圖解(1) 質(zhì)點(diǎn)在4.0 s內(nèi)位移的大小 (2) 由 得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為 (t0不合題意)則所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0 s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為 (3) t4.0 s時(shí)1 -6已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2) t 0 及t 2時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；(3) 由t 0 到t 2內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移r 和徑向增量r； 分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y f(x),可由運(yùn)

7、動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到對(duì)于r、r、r、s 來(lái)說(shuō),物理含義不同,(詳見題1-1分析).解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為 , 圖(a)中的p、q 兩點(diǎn),即為t 0和t 2時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置(3) 由位移表達(dá)式,得其中位移大小而徑向增量題 1-6 圖1 -7質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大

8、小和方向解(1) 速度的分量式為當(dāng)t 0 時(shí), v0x -10 m·-1 , v0y 15 m·-1 ,則初速度大小為設(shè)v0與x 軸的夾角為,則123°41(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設(shè)a 與x 軸的夾角為,則-33°41(或326°19)1 -8一升降機(jī)以加速度1.22 m·-2上升,當(dāng)上升速度為2.44 m·-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74 m計(jì)算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情

9、況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問(wèn)題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程解1(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a

10、g a,螺絲落至底面時(shí),有(2) 由于升降機(jī)在t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為則 題 1-8 圖1 -9質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m·-2 ,t的單位為如果當(dāng)t 3時(shí),x9 m,v 2 m·-1 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決由和可得和如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分如果a 或v不是時(shí)間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過(guò)諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分解由分析知,應(yīng)有得 (1)由 得 (2)將t3時(shí),x9 m,v2 m·-1代入(1)、(2)得v0-1 m

11、83;-1, x00.75 m于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1 -10一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測(cè)得其加速度aa -bv,式中a、b 為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向?yàn)閥 軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當(dāng),t時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1 -11一質(zhì)點(diǎn)具有

12、恒定加速度a 6i 4j,式中a的單位為m·-2 在t0時(shí),其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；(2) 質(zhì)點(diǎn)在oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖題 1-11 圖分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax 和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)讀者不妨自己驗(yàn)證一下解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 0時(shí)v0 0,積分可得又由及初始條件t0 時(shí),r0(10 m)i,積分

13、可得由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x 103t2y 2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個(gè)直線方程直線斜率,33°41軌跡如圖所示1 -12質(zhì)點(diǎn)在oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.0s 時(shí)間內(nèi)的平均速度；(3) t1 1.0時(shí)的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在

14、一段時(shí)間內(nèi)位置的變化率,即,它與時(shí)間間隔t 的大小有關(guān),當(dāng)t0 時(shí),平均速度的極限即瞬時(shí)速度切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量a 和an ,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到在求得t1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求解(1) 由參數(shù)方程x 2.0t,y 19.0-2.0t2消去t 得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時(shí)間內(nèi)的平均速度(3) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為則t1 1.00時(shí)的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為

15、(4) t 1.0質(zhì)點(diǎn)的速度大小為則1 -13飛機(jī)以100 m·-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問(wèn)：(1) 此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？ (2) 投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？題 1-13 圖分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只

16、存在豎直向下的重力加速度為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得解(1) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v100 m·s-1 ,飛機(jī)離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s 時(shí),重力加速度的切向分量

17、與法向分量分別為1 -14為迎接香港回歸，特技演員柯受良在1997年6月1日駕車飛越黃河壺口，如圖所示，柯駕車從跑道東端啟動(dòng)，到達(dá)跑道終端時(shí)速度大小為 ，他隨即以仰角沖出，飛越跨度達(dá)57 m，安全著陸在西岸木橋上，求：題 1-14 圖（1） 柯飛車跨越黃河用了多長(zhǎng)時(shí)間？（2） 若起飛點(diǎn)高出河面10 m，柯駕車飛行的最高點(diǎn)距河面為幾米？（3） 西岸木橋和起飛點(diǎn)的高度差為多少？分析 由題意知，飛車作斜上拋運(yùn)動(dòng)，對(duì)包含拋體在內(nèi)的一般曲線運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，運(yùn)用疊加原理是求解此類問(wèn)題的普適方法，操作程序是：建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)相互正交的直線運(yùn)動(dòng)，由于在拋體運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的加速度恒為g，故兩個(gè)

18、分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)或其中一個(gè)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，直接列出相關(guān)運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程即可求解，本題可建立圖示坐標(biāo)系，圖中分別表示飛車的最大高度和飛躍跨度.解 在圖示坐標(biāo)系中，有 （1） （2） （3） (1) 由式（1），令 m，得飛躍時(shí)間 s（2）由式（3），令，得飛行到最大高度所需時(shí)間將代入式（2），得飛行最大高度m則飛車在最高點(diǎn)時(shí)距河面距離為 m m（3）將 s 代入式（2），得西岸木橋位置為 y = - 4.22 m“-”號(hào)表示木橋在飛車起飛點(diǎn)的下方.討論 本題也可以水面為坐標(biāo)系原點(diǎn)，則飛車在 y方向上的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為 m + 1 -15如圖所示，從山坡底端將小球拋出，已知該山坡有恒定傾角，球的拋

19、射角，設(shè)球被拋出時(shí)的速率v0 19.6 m·-1，忽略空氣阻力，問(wèn)球落在山坡上處離山坡底端的距離為多少？此過(guò)程經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？題 1-15 圖分析 求解方法與上題類似，但本題可將運(yùn)動(dòng)按兩種方式分解，如圖（a）和圖（b）所示.在圖（a）坐標(biāo)系中，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小分別為-g 和-g ，看似復(fù)雜，但求解本題確較方便，因?yàn)槁涞貢r(shí)有y=0,對(duì)應(yīng)的時(shí)間t和x的值即為本題所求.在圖（b）坐標(biāo)系中，分運(yùn)動(dòng)看似簡(jiǎn)單，但求解本題還需將落地點(diǎn)p的坐標(biāo)y與x的關(guān)系列出來(lái).解 1 由分析知，在圖（a）坐標(biāo)系中，有 （1） （2）落地時(shí)，有y=0，由式（2）解得飛行時(shí)間為s將 t 值代入式

20、（1），得m解 2 由分析知，在圖（b）坐標(biāo)系中，對(duì)小球 （1） （2）對(duì)點(diǎn)p （3）由式（1）、（2）可得球的軌道方程為 （4）落地時(shí)，應(yīng)有，即解之得落地點(diǎn)p的x坐標(biāo)為 （5）則 m聯(lián)解式（1）和式（5）可得飛行時(shí)間 s討論 比較兩種解法，你對(duì)如何靈活運(yùn)用疊加原理有什么體會(huì)?1 -16一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r 的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng),v0 、b 都是常量(1) 求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；(2) t 為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達(dá)到b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)由給定的運(yùn)動(dòng)方程s s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)

21、動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /r這樣,總加速度為a aeanen至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量sst -s0因圓周長(zhǎng)為2r,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得解(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1 -17一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi),其角速度與時(shí)間的平方成正比在t2.0 時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0 m·-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,

22、輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2)該點(diǎn)在2.0內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系kt2依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,(t)確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問(wèn)題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移解因r v,由題意t2 得比例系數(shù)所以 則t0.5 時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度1 -18一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10 m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為,式中 的單位為rad,t 的單位為(1) 求在t 2.0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向

23、加速度(2) 當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí), 值為多少？(3) t 為多少時(shí),法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到解(1) 由于,則角速度在t 2 時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為(2) 當(dāng)時(shí),有,即得 此時(shí)刻的角位置為(3) 要使,則有t 0.551 -19一無(wú)風(fēng)的下雨天,一列火車以v120.0 m·-1 的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降求雨滴下落的速度v2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))題 1-19 圖分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題設(shè)雨滴為研究對(duì)象

24、,地面為靜止參考系,火車為動(dòng)參考系v1 為相對(duì) 的速度,v2 為雨滴相對(duì)的速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解解以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為v1 ,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得1 -20如圖(a)所示,一汽車在雨中沿直線行駛,其速率為v1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前 角,速率為v2,若車后有一長(zhǎng)方形物體,問(wèn)車速v1為多大時(shí),此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系,汽車為動(dòng)參考系如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向(即雨

25、點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度v2的方向)應(yīng)滿足再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1題 1-20 圖解由圖(b),有而要使,則第二章牛頓定律2 -1如圖(a)所示,質(zhì)量為m 的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí),它的加速度的大小為()(a) gsin (b) gcos (c) gtan (d) gcot 分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間,斜面對(duì)物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力f (其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot ,故選(d)求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的

26、物體受力情況和狀態(tài)特征 2 -2用水平力fn把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng)fn逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力ff的大小()(a) 不為零,但保持不變(b) 隨fn成正比地增大(c) 開始隨fn增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變(d) 無(wú)法確定分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值fn范圍內(nèi)取值當(dāng)fn增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(a)2 -3一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為r,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑

27、,汽車在該處的行駛速率()(a) 不得小于(b) 必須等于(c) 不得大于 (d ) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為fn由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為vrg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選(c)2 -4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過(guò)程中,則()(a) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變(b) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(c) 它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心(d) 它受到的合外力大小

28、不變,其速率不斷增加分析與解由圖可知,物體在下滑過(guò)程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力fn作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量(m gcos ) 使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程可判斷,隨 角的不斷增大過(guò)程,軌道支持力fn也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(b)*2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),a、b 兩物體質(zhì)量相同均為m,a 所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不

29、計(jì)空氣阻力,則繩中張力為()(a) 5/8 mg(b) 1/2 mg(c) mg(d) 2mg分析與解本題可考慮對(duì)a、b 兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解此時(shí)a、b 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a為a、b 兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma為慣性力對(duì)a、b 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得f 5/8 mg故選(a)討論對(duì)于習(xí)題2 -5 這種類型的物理問(wèn)題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問(wèn)題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aa 和ab 均應(yīng)對(duì)地而言,本

30、題中aa 和ab的大小與方向均不相同其中aa 應(yīng)斜向上對(duì)aa 、ab 、a 和a之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過(guò)程較繁瑣有興趣的讀者不妨自己嘗試一下2 -6圖示一斜面,傾角為,底邊ab 長(zhǎng)為l 2.1 m,質(zhì)量為m 的物體從題2 -6 圖斜面頂端由靜止開始向下滑動(dòng),斜面的摩擦因數(shù)為0.14試問(wèn),當(dāng)為何值時(shí),物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？ 其數(shù)值為多少？分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般分為兩類：(1) 已知物體受力求其運(yùn)動(dòng)情況；(2) 已知物體的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)分析其所受的力當(dāng)然,在一個(gè)具體題目中,這兩類問(wèn)題并無(wú)截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來(lái)本題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后,解

31、出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t),然后運(yùn)用對(duì)t 求極值的方法即可得出數(shù)值來(lái)解取沿斜面為坐標(biāo)軸ox,原點(diǎn)o 位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓第二定律有 (1)又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有則 (2)為使下滑的時(shí)間最短,可令,由式(2)有則可得 ,此時(shí) 2 -7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空甲塊質(zhì)量為m1 2.00 ×102 kg,乙塊質(zhì)量為m2 1.00 ×102 kg設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)試求下述兩種情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對(duì)甲塊的作用力：(1) 兩物塊以10.0 m·-2 的加速度上升；(2) 兩物塊以1.0 m·-2

32、的加速度上升從本題的結(jié)果,你能體會(huì)到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？題 2-7 圖分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題通常采用“隔離體”的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動(dòng)或相互作用力解按題意,可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體,畫示力圖,并取豎直向上為oy 軸正方向(如圖所示)當(dāng)框架以加速度a 上升時(shí),有f-( m1 m2 )g (m1 m2 )a (1)fn2 - m2 g m2 a (2)解上述方程,得f (m1 m2 )(g a)

33、(3)fn2 m2 (g a) (4)(1) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a 10 m·-2 上升時(shí),由式(3)可得繩所受張力的值為f 5.94 ×103 n乙對(duì)甲的作用力為fn2 -fn2 -m2 (g a) -1.98 ×103 n(2) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a 1 m·-2 上升時(shí),得繩張力的值為f 3.24 ×103 n此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為fn2-1.08 ×103 n由上述計(jì)算可見,在起吊相同重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大因此,起吊重物時(shí)必須緩慢加速,以確保起吊過(guò)程的安全2 -8如圖(a

34、)所示,已知兩物體a、b 的質(zhì)量均為m3.0kg 物體a 以加速度a 1.0 m·-2 運(yùn)動(dòng),求物體b 與桌面間的摩擦力(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì))分析該題為連接體問(wèn)題,同樣可用隔離體法求解分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立同時(shí)也要注意到張力方向是不同的解分別對(duì)物體和滑輪作受力分析圖(b)由牛頓定律分別對(duì)物體a、b 及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有ma g -f ma a (1)f1 -f mb a (2)f -2f1 0 (3)考慮到ma mb m, f f , f1 f1 ,a2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力題 2

35、-8 圖討論動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般解題步驟可分為：(1) 分析題意,確定研究對(duì)象,分析受力,選定坐標(biāo)；(2) 根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3) 解方程組,得出文字結(jié)果；(4) 核對(duì)量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來(lái)2 -9質(zhì)量為m的長(zhǎng)平板a 以速度v在光滑平面上作直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將質(zhì)量為m 的木塊b 輕輕平穩(wěn)地放在長(zhǎng)平板上,板與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,求木塊在長(zhǎng)平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？分析當(dāng)木塊b 平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板a 上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對(duì)地面的加速度換以平板為參考系來(lái)分析

36、,此時(shí),木塊以初速度-v(與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得 該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來(lái)解將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量木塊相對(duì)平板移動(dòng)的距離即可求出解1以地面為參考系,在摩擦力mg 的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程mg ma1-ma2a1 和a2 分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速度若以木板為參考系,木塊相對(duì)平板的加速度a a1 a2 ,木

37、塊相對(duì)平板以初速度- v作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終停止由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有- v2 2as由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所移動(dòng)的距離為解2以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對(duì)摩擦力作的總功為式中l(wèi) 為平板相對(duì)地面移動(dòng)的距離由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有mv(mm) v由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有由上述各式可得2 -10如圖(a)所示,在一只半徑為r 的半球形碗內(nèi),有一粒質(zhì)量為m 的小鋼球,當(dāng)小球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),它距碗底有多高？題 2-10 圖分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的

38、支持力fn 的分力來(lái)提供的,由于支持力fn 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示oxy 坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度解取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖(b)所示在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨的變化而變化2 -11 在如圖（a）所示的輕滑輪上跨有一輕繩，繩的兩端連接著質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的物體a和b，現(xiàn)以50 n的恒力f向上提滑輪的軸，不計(jì)滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦，求a和b的加速度各為多少？題 2-11 圖分析 在上提物體過(guò)程中，由于滑輪可以轉(zhuǎn)動(dòng)，所以a、b兩物體對(duì)地加速度并不相同，故

39、應(yīng)將a、b和滑輪分別隔離后，運(yùn)用牛頓定律求解，本題中因滑輪質(zhì)量可以不計(jì)，故兩邊繩子張力相等，且有.解 隔離后，各物體受力如圖（b）所示，有滑輪 a b 聯(lián)立三式，得 討論 如由式求解，所得是a、b兩物體構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心加速度，并不是a、b兩物體的加速度.上式叫質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理. 2 -12 一質(zhì)量為50 g的物體掛在一彈簧末端后伸長(zhǎng)一段距離后靜止，經(jīng)擾動(dòng)后物體作上下振動(dòng)，若以物體靜平衡位置為原點(diǎn)，向下為y軸正向.測(cè)得其運(yùn)動(dòng)規(guī)律按余弦形式即，式中t以s計(jì)，y以m計(jì)，試求：（1）作用于該物體上的合外力的大小；（2）證明作用在物體上的合外力大小與物體離開平衡位置的y距離成正比.分析 本題可直接用求解，

40、y為物體的運(yùn)動(dòng)方程，f即為作用于物體上的合外力（實(shí)為重力與彈簧力之和）的表達(dá)式，本題顯示了物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)特征.解 （1）由分析知f （n）該式表示作用于物體上的合外力隨時(shí)間t按余弦作用周期性變化，f>0表示合力外力向下，f<0表示合外力向上.（2） f.由上式知，合外力f的大小與物體離開平衡位置距離y的大小成正比.“-”號(hào)表示與位移的方向相反.2 -13一質(zhì)量為10 kg 的質(zhì)點(diǎn)在力f 的作用下沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng),已知f 120t 40,式中f 的單位為n, t的單位的在t0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于x 5.0 m處,其速度v06.0 m·求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置分析這是

41、在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題由于力是時(shí)間的函數(shù),而加速度adv/dt,這時(shí),動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對(duì)時(shí)間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v (t)；由速度的定義vdx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置解因加速度adv/dt,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0 0 時(shí)v0 6.0 m·-1 ,運(yùn)用分離變量法對(duì)上式積分,得v6.0+4.0t+6.0t2 又因vdx /dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0 0 時(shí) x0 5.0 m,對(duì)上式分離變量后積分,有x 5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t32 -14輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0 ×

42、103 kg飛機(jī)以55.0 m·-1 的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始制動(dòng),若阻力與時(shí)間成正比,比例系數(shù)5.0 ×102 n·-1 ,空氣對(duì)飛機(jī)升力不計(jì),求：(1) 10后飛機(jī)的速率；(2) 飛機(jī)著陸后10內(nèi)滑行的距離分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)其水平方向所受制動(dòng)力f 為變力,且是時(shí)間的函數(shù)在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解解以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及初始條件,有得 因此,飛機(jī)著陸10后的速率為v 30 m·-1又 故飛機(jī)著陸后10內(nèi)所滑行的距離2 -15質(zhì)量為m 的跳水

43、運(yùn)動(dòng)員,從10.0 m 高臺(tái)上由靜止跳下落入水中高臺(tái)距水面距離為h把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn),并略去空氣阻力運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉,水對(duì)其阻力為bv2 ,其中b 為一常量若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o,豎直向下為oy 軸,求：(1) 運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y 的函數(shù)關(guān)系；(2) 如b /m 0.40m -1 ,跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0 的1/10？ (假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等)題 2-15 圖分析該題可以分為兩個(gè)過(guò)程,入水前是自由落體運(yùn)動(dòng),入水后,物體受重力p、浮力f 和水的阻力的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運(yùn)動(dòng)雖然物體的受力分析比

44、較簡(jiǎn)單,但是,由于變力是速度的函數(shù)(在有些問(wèn)題中變力是時(shí)間、位置的函數(shù)),對(duì)這類問(wèn)題列出動(dòng)力學(xué)方程并不復(fù)雜,但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動(dòng)的位置和速度就比較困難了通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程這也成了解題過(guò)程中的難點(diǎn)在解方程的過(guò)程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定解(1) 運(yùn)動(dòng)員入水前可視為自由落體運(yùn)動(dòng),故入水時(shí)的速度為運(yùn)動(dòng)員入水后,由牛頓定律得p - -f ma由題意p f、bv2 ,而a dv /dt v (d v /dy),代入上式后得-bv2 mv (d v /dy)考慮到初始條件y0 0 時(shí), ,對(duì)上式積分,有(2) 將已知條件b/m 0.4 m-1 ,v 0.1v

45、0 代入上式,則得2 -16一質(zhì)量為m 的小球最初位于如圖(a)所示的a 點(diǎn),然后沿半徑為r的光滑圓軌道adcb下滑試求小球到達(dá)點(diǎn)c時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力題 2-16 圖分析該題可由牛頓第二定律求解在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度a,與其相對(duì)應(yīng)的外力f是重力的切向分量mgsin,而與法向加速度an相對(duì)應(yīng)的外力是支持力fn 和重力的法向分量mgcos由此,可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程fmdv/dt和fnman 由于小球在滑動(dòng)過(guò)程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡(jiǎn)便,可轉(zhuǎn)換積分變量該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和

46、角速度,方法比較簡(jiǎn)便但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力解小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力p 和圓軌道對(duì)它的支持力fn 取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得 (1) (2)由,得,代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)a 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)c 的始末條件,進(jìn)行積分,有得 則小球在點(diǎn)c 的角速度為由式(2)得 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為負(fù)號(hào)表示fn 與en 反向2 -17光滑的水平桌面上放置一半徑為r 的固定圓環(huán),物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其摩擦因數(shù)為,開始時(shí)物體的速率為v0 ,求：(1) t 時(shí)刻物體的速率；(2) 當(dāng)物體速率從v0減少時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過(guò)的路程 題 2-17 圖分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之

47、間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支持力fn 和環(huán)與物體之間的摩擦力f ,而摩擦力大小與正壓力fn成正比,且fn與fn又是作用力與反作用力,這樣,就可通過(guò)它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來(lái)了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程解(1) 設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律,有由分析中可知,摩擦力的大小ffn ,由上述各式可得取初始條件t 0 時(shí)v v 0 ,并對(duì)上式進(jìn)行積分,有(2) 當(dāng)物體的速率從v 0 減少到時(shí),由上式可得所需的時(shí)間為物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程2 -18一物體自地球表面

48、以速率v0 豎直上拋假定空氣對(duì)物體阻力的值為fr kmv2 ,其中m 為物體的質(zhì)量,k 為常量試求：(1) 該物體能上升的高度；(2)物體返回地面時(shí)速度的值(設(shè)重力加速度為常量)題 2-18 圖分析由于空氣對(duì)物體的阻力始終與物體運(yùn)動(dòng)的方向相反,因此,物體在上拋過(guò)程中所受重力p和阻力fr 的方向相同；而下落過(guò)程中,所受重力p 和阻力fr 的方向則相反又因阻力是變力,在解動(dòng)力學(xué)方程時(shí),需用積分的方法解分別對(duì)物體上拋、下落時(shí)作受力分析,以地面為原點(diǎn),豎直向上為y 軸(如圖所示)(1) 物體在上拋過(guò)程中,根據(jù)牛頓定律有依據(jù)初始條件對(duì)上式積分,有物體到達(dá)最高處時(shí), v 0,故有(2) 物體下落過(guò)程中,有

49、對(duì)上式積分,有則 2 -19質(zhì)量為m 的摩托車,在恒定的牽引力f的作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能達(dá)到的最大速率是vm 試計(jì)算從靜止加速到vm/2所需的時(shí)間以及所走過(guò)的路程分析該題依然是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問(wèn)題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過(guò)程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)k由于阻力frkv2 ,且fr又與恒力f 的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時(shí),加速度為零,此時(shí)速度達(dá)到最大因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來(lái)但在求摩托車所走路程時(shí),需對(duì)變量作變換解設(shè)摩托車沿x 軸正方向運(yùn)動(dòng),在牽引力f和阻力fr 同時(shí)作用下,由牛頓定律有 (1)當(dāng)加速度a

50、dv/dt 0 時(shí),摩托車的速率最大,因此可得kf/vm2 (2)由式(1)和式(2)可得 (3)根據(jù)始末條件對(duì)式(3)積分,有則 又因式(3)中,再利用始末條件對(duì)式(3)積分,有則 *2 -20在卡車車廂底板上放一木箱,該木箱距車箱前沿?fù)醢宓木嚯xl 2.0 m,已知制動(dòng)時(shí)卡車的加速度a 7.0 m·-2 ,設(shè)制動(dòng)一開始木箱就開始滑動(dòng)求該木箱撞上擋板時(shí)相對(duì)卡車的速率為多大？設(shè)木箱與底板間滑動(dòng)摩擦因數(shù)0.50分析如同習(xí)題2 -5 分析中指出的那樣,可對(duì)木箱加上慣性力f0 后,以車廂為參考系進(jìn)行求解,如圖所示,此時(shí)木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用,圖中a為木箱相對(duì)車廂的加速度解由牛頓第二定律和相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有f0 -ma -mgma (1)v 2 2al (2)聯(lián)立解(1)(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù),得木箱撞上車廂擋板時(shí)的速度為=第三章動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律3 -1對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說(shuō)法：(1) 質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與