浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四五章復(fù)習(xí)

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征( (一一) ) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望( (均值均值) )kkkpxXE 1)(kkkpxgXgEYE 1)()()(dxxfxXE)()( dxxfxgXgEYE)()()()( ijijijpyxgYXgEZE 11),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()( dxdyyxfxXE),()( ijiijpxXE 11)(數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): 假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在假設(shè)以下隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望均存在 1. E(C)=C, （C 是常數(shù)是常數(shù)） 2. E(CX )=CE(X ), （C 是常數(shù)是常數(shù)）

2、3. E(X Y )=E(X ) E(Y ), 4. 設(shè)設(shè)X與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則 E(XY )=E(X )E(Y)kkkpxXD 21E(X)(1,2,k ,PX kkpx1 1。若。若X: : 離散型離散型. .dxxfxXD)(E(X)(2 2 2。若。若X: : 連續(xù)型連續(xù)型. .概率密度為概率密度為 f(x)E(X)XEVar(X)D(X)2 (1)(1)22E(X)E(XD(X) 計(jì)算公式：計(jì)算公式：D(X)( x 3 3。均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。均方差或標(biāo)準(zhǔn)差: : 1。 D(C)=0, (C為常數(shù)為常數(shù)) 2。 D(CX)=C2 D(X), (C為常數(shù)為常數(shù)) 3。 設(shè)設(shè)X

3、與與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 特別，特別，若若X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立: D(XY)=D(X)+D(Y) 4。 D(X)=0 PX=E(X)=1. ),(2)()( )()(2)()()(YXCovYDXDYEYXEXEYDXDYXD (2)(2)方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)5 5。若若X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布, ,則則E( (X)= ,)= ,D( (X)= .)= .3 3。若若X( ( ),),則則 E( (X)= )= , , D( (X)= )= . .4 4。若若X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)均勻分布均勻分布， 則則 E( (X)=()=(a+b)/2,

4、 )/2, D( (X)=()=(b-a) )2 2/12./12.6 6。若若XN( , 2), ,則則E( (X)= )= , , D( (X)= )= 2. .2。若若Xb(n, ,p ),則則 E( (X)=)=np, , D( (X)=)=npq. .1 1。若若X服從兩點(diǎn)分布服從兩點(diǎn)分布, ,則則 E( (X)=)=p, , D( (X)=)=pq. .( (三三) )一些常見分布的期望與方差一些常見分布的期望與方差 2 7 7。若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X有期望有期望E(X)= , 方差方差D(X)= 2 0. 1)(, 0)(XDXE則則 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E

5、(X)= , ,方差方差D(X)= = 2 2. . 則對(duì)任意的正數(shù)則對(duì)任意的正數(shù) ，有，有 上式稱為切比雪夫上式稱為切比雪夫(chebyshev)不等式不等式22|-XP| ( () ) 注注 此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下此不等式給出了在隨機(jī)變量的分布未知的情況下, , 估計(jì)事件估計(jì)事件 或或|-X| |-X| 的一種方法的一種方法. .的概率的概率協(xié)方差協(xié)方差: :)()(),(YEYXEXEYXCov 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù):D(Y)D(X)Y)Cov(X, XY X與與Y不相關(guān)不相關(guān): : XY =0計(jì)算公式計(jì)算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2。D(

6、XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質(zhì)：協(xié)方差的性質(zhì)：1 1。Cov(X,X)= D(X) 2 2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) (a,b為常數(shù)為常數(shù)) 4 4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：. 11 xy . 1,12 bXaYPbaxy使使常常數(shù)數(shù) 注注: : 1)1)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則X與與Y一定不相關(guān)一定不相關(guān); ; 反之不一定成立。反之不

7、一定成立。 2)2)對(duì)對(duì)二維正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y): X與與Y不相關(guān)不相關(guān) X與與Y獨(dú)立獨(dú)立 3)3)二維正態(tài)分布只要知道二維正態(tài)分布只要知道X與與Y的分布及相關(guān)系的分布及相關(guān)系 數(shù)即可確定數(shù)即可確定. .0 設(shè)設(shè)X,Y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量, ,則則,2,1),E(X kk, 2 , 1,),YE(X lklk1)1)X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩( (k階矩階矩) )：2)2)X和和Y的的k+l 階混合矩：階混合矩：( (六六) ) 矩矩 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣, 2 , 1,E(X)-EX kk3)3)X的的k階中心矩：階中心矩：, 2 , 1,E(Y)-YE(X)-EX lklk

8、4)4)X和和Y的的k +l 階混合中心矩：階混合中心矩：協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣Cov(X ,X ) ,1,2, .ijijci jn其中其中()ijCc第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理1|lim aYPnn-|aYnP),()(baggnnPY,X設(shè)設(shè), aXnPbYnP則稱隨機(jī)變量序列則稱隨機(jī)變量序列Y1, Y2 ,Yn ,.依概率收斂于依概率收斂于a ，記為記為: :若對(duì)任意正數(shù)若對(duì)任意正數(shù) ，有，有 設(shè)設(shè)Y1, Y2 ,Yn ,.為一隨機(jī)變量序列，為一隨機(jī)變量序列，a是常數(shù)，是常數(shù)，, g(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(a,b)連續(xù)連續(xù),則則 （切比雪夫定理的特殊情況切比雪

9、夫定理的特殊情況）設(shè)隨機(jī)變量序）設(shè)隨機(jī)變量序列列 X1,X2,Xn,.相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：和方差： PniinX1X1E(Xk)= ，D(Xk)= 2 (k=1,2,.) ,則則111 niinPXlimn即即 對(duì)任意的對(duì)任意的 0,有有 （貝努力大數(shù)定律貝努力大數(shù)定律）設(shè)nA是n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù). p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則對(duì)任意0,有1lim pnnAn-P0lim pnnAn-P1X1Plim1 niinn（辛欽定理辛欽定理）設(shè)隨機(jī)變量序列）設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,Xn,.相互獨(dú)立且同分布，數(shù)學(xué)期望：相互獨(dú)立且同

10、分布，數(shù)學(xué)期望：E(Xk)= ，則對(duì)任，則對(duì)任意正數(shù)意正數(shù) ，有，有 nnniin 1XY).(2122xdtetx 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x)滿足滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，有 xnnxniinnn 1lim)(limXPF獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理q此定理表明，當(dāng)此定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，Zn的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布).(2122xdtext 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn(x) 對(duì)任意對(duì)任意x，有，有 (李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且具有數(shù)學(xué)期望和方差：且具有數(shù)學(xué)期望和方

11、差： E(Xk)= k，D(Xk)= 2k 0 (k=1,2,.) , nnkknkknkknkknkknBDE 11111)()( XXXXZ nkknB122 nkkknXEB122, 01 記記,若存在若存在 0,使得使得則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量)( n xBXxnniiniinnn11lim)(lim PF).(21)1(lim22xdtexpnpnptxnn P (德莫佛德莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 n(n=1,2,)服從服從參數(shù)為參數(shù)為n，p(0 p 1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，恒有，恒有)1 ,0()1(Npnpnpn近近似似 )(2

12、)()()()(1YXDYDXDYEXE ）；（、，、）（1. 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 X Y -1 0 1 00.1 0.1 0.1 1 0.3 0.10.3求求 練習(xí)練習(xí)21. 07 . 07 . 0, 7 . 07 . 01E222 DXX8 . 0, 8 . 04 . 014 . 01E2 DYY解解 X、Y的邊緣分布為：的邊緣分布為：X 01p0.3 0.7Y -101p0.40.20.4（1）EX=0.7，EY=0. )(2YXDEYYEXXEDYDX）（)()()()(YEXEXYEEYYEXXE1 . 0101 . 000

13、1 . 0) 1(0)(ijijjipyxXYE03 . 0111 . 0013 . 0) 1(1 01. 1) 07 . 00( 28 . 021. 0YXD ）（2）所以所以X,531 xXP522 xXP21xx )(XE,256)(,57 XD21,xx2.設(shè)設(shè)是離散型隨機(jī)變量，是離散型隨機(jī)變量，且且，又知，又知求求的值。的值。 2, 121xxX.,21xx575253)(21 xxXE ,256)(5253)(22221 XExxXD 1123723222121xxxx 2121xx 545921xx21xx 解解: 只取兩個(gè)值只取兩個(gè)值 從而得到從而得到 解得解得 或或 又又，所

14、以，所以 ., 0, 42, 20,)(其其它它xbcxxaxxf.433X1P ,cbaXeY 3. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 已知已知E(X)=2，求：（求：（1）的值；（的值；（2）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量的期望和方差的期望和方差. -1)(dxxf 2042262)(1bcadxbcxaxdx 204222635638)(2bcadxbxcxdxax解解 （1）由概率密度的性質(zhì)）由概率密度的性質(zhì)得得 （A）又由數(shù)學(xué)期望的定義可知又由數(shù)學(xué)期望的定義可知（B） 433X1P 21322523)(43bcadxbcxaxdx再由再由可得，可得， （C）41c1,b

15、,41 a聯(lián)立（聯(lián)立（A）、（）、（B）、（）、（C）并解之得）并解之得dxexdxxexx2042X14141)E(eE(Y)424220)(41)(41xxxxxeexeexe 2242) 1(41412141 eee（2） dxexdxxexx2204222X214141)e (EEY 42242220221) 12(161) 12(161xxxeexex 24) 1(161 e222422422) 1(41) 1(161) 1(161)( eeeeEYEYDY于是于是 . 0, 00,31)(31xxexfx )(XeXE練習(xí)練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為則數(shù)學(xué)期望

16、則數(shù)學(xué)期望4134. 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，（以年計(jì)）服從指數(shù)分布， 概率密度為概率密度為 0 , 00 , 41)(4xxexfx 工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換。若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)花費(fèi)300元，試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利元，試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.解解: 售出一臺(tái)設(shè)備的贏利為售出一臺(tái)設(shè)備的贏利為Y， 則則200,01()100,1XY XX ()( ) ( )

17、E Y XY x f x dx 101444110041)200(dxedxexx20030041 e64.33 則則 5. 0)( EYYEXXE是是X與與Y相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的( )(A) 充要條件充要條件 (B) 充分條件充分條件 (C) 必要條件必要條件 (D) 無關(guān)條件無關(guān)條件C6. 設(shè)兩隨機(jī)變量設(shè)兩隨機(jī)變量X與與Y的方差存在且不等于的方差存在且不等于0，則，則D(X+Y)= D(X)+ D(Y)是是X和和Y( ) (A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件；不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件； (B)獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件；獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件； (C)不相關(guān)的充分必要

18、條件；不相關(guān)的充分必要條件； (D)獨(dú)立的充分必要條件。獨(dú)立的充分必要條件。 C7. 設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度函數(shù)為）的概率密度函數(shù)為 其其它它, 010,0,xxyAxyyxf求求X與與Y的期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)，并求的期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)，并求D(5X-3Y).( , )1f x y dy dx100( , )()8xAf x y dy dxAxydy dx 1,88AA1004( , )(8)5xEXxf x y dxdyx xydy dx 解：首先確定常數(shù)解：首先確定常數(shù)A，因?yàn)橛校驗(yàn)橛?1008( , )(8)15xEYyf x y dxdy

19、y xydy dx 122220042162()(8)( )532575xDXEXEXxxydy dx 1222200816411()(8)()153255225xDYEYEYyxydy dx 100484324(, )(8)515975225xCov X YEXYEXEYxyxydy dx (53 )(5)(3 )2(5,3 )DXYDXDYCovXY22532 5 3(, )DXDYCov X Y 211443259307522522575 , 0EE1 DD2() E8. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量和和相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且且,則則)(2)()2()(22222EEEEEE22 EE 211)

20、()(22 EDED解：解： , 0)(XD)()(XDXEXY )(YE )(YD9設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的均值、方差都存在，且的均值、方差都存在，且，則，則 0, 1 . 37 )()()( EEE )()()( DDD )()()()( DDDD 11. 對(duì)于任意的兩個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于任意的兩個(gè)隨機(jī)變量和和,若若則有則有( ) (B) (C) 和和獨(dú)立獨(dú)立 (D) 和和不獨(dú)立不獨(dú)立 (A) B21XY10. 設(shè)設(shè)X,Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量,D(X)=9,D(Y)=16,相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)則則D(X+Y)=. n),(pnbX,71, 3)(pXE12設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即服從二

21、項(xiàng)分布，即，且，且則則（ ）(A)； (B)； (C) ； (D) ；321,XXX1X2X1/23X332132XXXY)(YD13. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立相互獨(dú)立,在在(0, 6)上服從均勻分布，上服從均勻分布，服從參數(shù)服從參數(shù)的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，服從參數(shù)服從參數(shù)的泊松分布，記的泊松分布，記，則，則 31 14. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，E(X)=E(Y)= , D(X)=D(Y)= 2, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X1=aX+bY, X2=aX-bY, 求求X1與與X2的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。),(),(),(),(21bYaXYbCovbYaXXaCovb

22、YaXbYaXCovXXCov),(),(),(),(22YYCovbXYabCovYXabCovXXCova22222)()()baYDbXDa22222222222121)()()()(),(21babababaXDXDXXCovXX 解解: : 故故 921,XXX,9 , 2 , 11, 1iDXEXii0 29111 iiXP2911191 iiXP29119 iiXP291919 iiXP15.設(shè)設(shè)相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，則則，有（，有（ ） ； (B)(C)； (D)(A)D112nniiXnX11X_16. 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn為為n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)

23、變量,且且 E(Xi)= , D(Xi)=8 (i=1,2,.,n),對(duì)于對(duì)于用切比雪夫不等式估計(jì)用切比雪夫不等式估計(jì)P 4 +4.17. 一大批種子中良種占一大批種子中良種占1/6，利用切比雪夫不等式估計(jì)在，利用切比雪夫不等式估計(jì)在任意選出的任意選出的6000粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與1/6比較上下不比較上下不超過超過1%的概率。的概率。6/11000616000)( npXE31065)611(616000)( npqXD解解: 設(shè)設(shè)X表示任意選出的表示任意選出的6000粒種子中良種粒數(shù)粒種子中良種粒數(shù),則由題意知?jiǎng)t由題意知 ) .并且并且 X b(6000 , %1|6

24、16000| XP60|1000| XP60|1000| XP7685. 01065601160)(1322 XD6/1則所求概率為則所求概率為 即即則由切比雪夫不等式則由切比雪夫不等式,有有即在任意選出的即在任意選出的6000粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與比較上下不超過比較上下不超過1%的概率為的概率為0.7685。18卡車裝運(yùn)面粉，設(shè)每袋面粉重卡車裝運(yùn)面粉，設(shè)每袋面粉重X（單位：（單位：kg）服從）服從N(25, 2.52), 問最多裝多少袋面粉使總重量超過問最多裝多少袋面粉使總重量超過2000kg的的概率不大于概率不大于0.05. iXni, 2 , 1 iX)5 . 2,25(2Nni, 2 , 1 120000.05niiPX120000.95niiPXnXXX,2125)( iXE25 . 2)( iXDni, 2 , 1 nXnEi25)( ,()2.5inD Xn解解: 假設(shè)裝假設(shè)裝n袋面粉能使總重量超過袋面粉能使總重量超過2000kg的概率不大于的概率不大于0.05, 又設(shè)每袋面粉又設(shè)每袋面粉() , 據(jù)題意據(jù)題意 () ,所求滿足所求滿足 亦即亦即 顯然顯然獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布,且且) (于是于是20001 niiXP5 . 22520005 . 225