2014高考數(shù)學(xué)理二輪專題突破文檔：1.3函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用Word版

1、第3講函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用來源:中+國(guó)教+育出+版網(wǎng)【高考考情解讀】1.本講主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，常以分式、絕對(duì)值不等式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)為載體；考查確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、存在區(qū)間及應(yīng)用零點(diǎn)存在情況求參數(shù)值或取值范圍；函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用常以實(shí)際生活為背景，與最值、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題.2.函數(shù)的零點(diǎn)主要是以選擇題、填空題的形式考查，以基礎(chǔ)知識(shí)為主，而函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用則主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題1 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)g(

2、x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(3)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根注意以下兩點(diǎn)：滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)2 函數(shù)模型解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(

3、3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問題作出解答.考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)1 / 20例1(1)(2013·重慶)若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi)(2)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()來源:z*zs*A0 B1 C2 D3答案(1)A(2)D解析(1)由于a<b<c，所以f(a)0(ab)(ac)0>0，f(b)(bc)(ba)<0

4、，f(c)(ca)(cb)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.(2)依題意，當(dāng)x>0時(shí)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中分別作出yln x和yx22x(x1)21的圖象，可知它們有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，作出y2x1的圖象，可知它和x軸有一個(gè)交點(diǎn)綜合知，函數(shù)yf(x)有三個(gè)零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的有函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定；零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定解決

5、這類問題的常用方法有解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解(2)提醒：函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)0的根，即當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (1)(2012·天津)函數(shù)f(x)2xx32在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3(2)已知函數(shù)f(x)axxb的零點(diǎn)x0(n，n1)(nZ)，其中常數(shù)a、b滿足2a3,3b2，則n_.答案(1)B(2)1解析(1)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再確定零點(diǎn)因?yàn)閒(x)2xln 23x2>0，所以函數(shù)f(

6、x)2xx32在(0,1)上遞增，且f(0)1021<0，f(1)2121>0，所以有1個(gè)零點(diǎn)(2)f(x)axxb的零點(diǎn)x0就是方程axxb的根設(shè)y1ax，y2xb，故x0就是兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖，當(dāng)x1時(shí)，y1log32<y21b1log32，1<x0<0，n1.來源:中&教&網(wǎng)z&z&s&tep考點(diǎn)二與函數(shù)有關(guān)的自定義問題例2若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)(R)使得f(x)f(x)0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱f(x)是一個(gè)“伴隨函數(shù)”有下列關(guān)于“伴隨函數(shù)”的結(jié)論：f(x)0是常數(shù)函數(shù)中唯

7、一一個(gè)“伴隨函數(shù)”；f(x)x是“伴隨函數(shù)”；f(x)x2是“伴隨函數(shù)”；“伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4 先理解新定義“伴隨函數(shù)”的意義，然后對(duì)給出的函數(shù)逐一用定義檢驗(yàn)，從而判斷所給命題的正確性答案A解析對(duì)于，若f(x)c0，取1，則f(x1)f(x)cc0，即f(x)c0是一個(gè)“伴隨函數(shù)”，故不正確對(duì)于，若f(x)x是一個(gè)“伴隨函數(shù)”，則(x)x0，求得0且1，矛盾，故不正確對(duì)于，若f(x)x2是一個(gè)“伴隨函數(shù)”，則(x)2x20，求得0且1，矛盾，故不正確對(duì)于，若f(x)是“伴隨函數(shù)”，則f(x)f(x)0，取x0，則f()f(0)0，若f(0)，

8、f()任意一個(gè)為0，函數(shù)f(x)有零點(diǎn)；若f(0)，f()均不為0，則f(0)，f()異號(hào)，由零點(diǎn)存在性定理，知f(x)在(0，)內(nèi)存在零點(diǎn)x0，來源:中。教。網(wǎng)z。z。s。tep所以正確故選A. 函數(shù)的創(chuàng)新命題是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)，此類題型是用數(shù)學(xué)符號(hào)、文字?jǐn)⑹鼋o出一個(gè)教材之外的新定義，如本題中的“伴隨函數(shù)”，要求在短時(shí)間內(nèi)通過閱讀、理解后，解決題目給出的問題解決這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握新定義的含義，把從定義和題目中獲取的新信息進(jìn)行有效的整合，并轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)加以解決，即檢驗(yàn)f(x)f(x)0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立 若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：P，Q都在函數(shù)f(x)的圖象上；P，Q關(guān)于

9、y軸對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(P，Q)是函數(shù)f(x)的圖象上的一個(gè)“鏡像點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)(P，Q)與點(diǎn)對(duì)(Q，P)看作同一個(gè)“鏡像點(diǎn)對(duì)”)已知函數(shù)f(x)則f(x)的圖象上的“鏡像點(diǎn)對(duì)”有()A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)答案C解析依題意，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，Q(x0，y0)(其中x0>0)，若點(diǎn)對(duì)(P，Q)是函數(shù)f(x)的圖象上的一個(gè)“鏡像點(diǎn)對(duì)”，則有所以log3x0cos x0，即x0是方程log3xcos x的根在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)ylog3x與ycos x的圖象，可知這兩個(gè)圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象的“鏡像點(diǎn)對(duì)”共有3對(duì)故選C.考點(diǎn)三函數(shù)模型及其應(yīng)用例3省環(huán)保研究所對(duì)市中

10、心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)|a|2a，x0,24，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a0，若用每天f(x)的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范圍；(2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？ (1)分x0和x0兩種情況，當(dāng)x0時(shí)變形使用基本不等式求解(2)利用換元法把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化成g(t)|ta|2a，再把函數(shù)g(t)寫成分段函數(shù)后求M(a)解(1)當(dāng)x0時(shí)，t0；當(dāng)0<x24時(shí)，x2(當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，

11、t(0，即t的取值范圍是0，來源:中#教#網(wǎng)z#z#s#tep(2)當(dāng)a0，時(shí)，記g(t)|ta|2a，則g(t)g(t)在0，a上單調(diào)遞減，在(a，上單調(diào)遞增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)當(dāng)0a時(shí)，M(a)a<2顯然成立；由得<a，當(dāng)且僅當(dāng)0a時(shí)，M(a)2.故當(dāng)0a時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)<a時(shí)超標(biāo) (1)解答函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，常見模型有：一次或二次函數(shù)模型；分式函數(shù)模型；指數(shù)式函數(shù)模型等(2)對(duì)函數(shù)模型求最值的常用方法單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法(3)本題中的函數(shù)與方程思想：在求t的范圍時(shí)，把t看作是x的

12、函數(shù)，在求M(a)時(shí)，把綜合放射性污染指數(shù)看作是t的函數(shù)在確定綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)時(shí)，用到了方程的思想 某地發(fā)生地質(zhì)災(zāi)害，使當(dāng)?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴荆巢块T對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足ymf(x)，其中f(x)當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于4(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m4，試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？(2)如果投放藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天(從投放藥劑算起包括7天)之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳

13、凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值解(1)由題意，得當(dāng)藥劑質(zhì)量m4時(shí)，來源:中_國(guó)教_育出_版網(wǎng)y當(dāng)0<x4時(shí)84，顯然符合題意當(dāng)x>4時(shí)4，解得4<x16.綜上0<x16.所以自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)16天(2)由ym·f(x)得當(dāng)0<x4時(shí)，y2m在區(qū)間(0,4上單調(diào)遞增，即2m<y3m；當(dāng)x>4時(shí)，y<0，函數(shù)在區(qū)間(4,7上單調(diào)遞減，即y<3m，綜上知，y3m，為使4y10恒成立，只要4且3m10即可，即m.所以應(yīng)該投放的藥劑量m的最小值為.1 函數(shù)與方程(1)函數(shù)f(x)有零點(diǎn)方程f(x)0有根函數(shù)f(x)的圖

14、象與x軸有交點(diǎn)(2)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么當(dāng)f(a)·f(b)<0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的c(a，b)，使f(c)0.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定

15、沒有零點(diǎn)來源:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，那么當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)不一定有f(a)·f(b)<0，也可能有f(a)·f(b)>0.2 函數(shù)綜合題的求解往往應(yīng)用多種知識(shí)和技能因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問題來解決3 應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題解答這類問題的關(guān)鍵是確切

16、的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答1 已知函數(shù)f(x)()xlog2x，實(shí)數(shù)a，b，c滿足f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c)，若實(shí)數(shù)x0為方程f(x)0的一個(gè)解，那么下列不等式中，不可能成立的是()Ax0<b Bx0>bCx0<c Dx0>c答案D解析函數(shù)f(x)()xlog2x在其定義域(0，)上是減函數(shù)，0<a<b<c，f(a)>f(b)>f(c)又f(a)f(b)f(c)<0，則f(a)<0，f(b)<0，f(c)&

17、lt;0，或者f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，則x0<a，若f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，則b<x0<c，故x0>c不可能成立，故選D.2 若f(x)1，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x，若在區(qū)間(1,1內(nèi)，g(x)f(x)mxm有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()來源:中。國(guó)教。育出。版網(wǎng)A0，) B，)C0，) D(0，答案D解析根據(jù)方程與函數(shù)關(guān)系設(shè)x(1,0)，則x1(0,1)，f(x)11，畫出f(x)在(1,1上的圖象(如右圖)，g(x)f(x)mx

18、m在(1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，即f(x)m(x1)有兩個(gè)不同根，即yf(x)與ym(x1)有兩個(gè)不同交點(diǎn)如右圖，當(dāng)過(1,0)的直線處于l與x軸之間時(shí)，滿足題意，則0<m.(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1賣店函數(shù)f(x)log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2,3)答案C解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)來源:中教網(wǎng)f()log2123<0，f(1)log2101<0，f(2)log221>0，f(3)log23>1>0，即f(1)·f(2)<0，函數(shù)f(x)log2x的零點(diǎn)

19、在區(qū)間(1,2)內(nèi)2 若函數(shù)g(x)f(x)2在(，0)內(nèi)有零點(diǎn)，則yf(x)的圖象是()答案D解析由f(x)20，得f(x)2，由圖象可知，對(duì)于A，當(dāng)f(x)2時(shí)，x0，不成立對(duì)于B，當(dāng)f(x)2時(shí)，無解對(duì)于C，當(dāng)f(x)2時(shí)，x>0，不成立，所以選D.3 (2013·天津)函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案B解析當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)2xlog0.5x1，令f(x)0，則log0.5xx由ylog0.5x，yx的圖象知，在(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x>1時(shí)，f(x)2xlog

20、0.5x12xlog2x1，來源:中國(guó)教育出版網(wǎng)令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的圖象知在(1，)上有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)在(1，)上有一個(gè)零點(diǎn)，故選B.4 根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)(A，c為常數(shù))已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16答案D解析因?yàn)榻M裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，所以15，所以必有4<A，且30，聯(lián)立解得c60，A16.5 已知關(guān)于x的方程|x26x|a(a>0)的解集為P，則P中所有元素的和可能是()A3,

21、6,9 B6,9,12C9,12,15 D6,12,15答案B解析令f(x)|x26x|，作圖象如下：知f(x)|x26x|的圖象關(guān)于直線x3對(duì)稱，它與直線ya交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,3或4個(gè)所以方程根的和為6,9,12.選B.來源:中#教#網(wǎng)z#z#s#tep6 (2013·遼寧)已知函數(shù)f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設(shè)H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值)記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB等于()Aa22a16 Ba22a16C16

22、D16答案C解析f(x)x(a2)244a，g(x)x(a2)2124a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作f(x)與g(x)的圖象(如圖)依題意知，函數(shù)H1(x)的圖象(實(shí)線部分)，函數(shù)H2(x)的圖象(虛線部分)H1(x)的最小值A(chǔ)f(a2)44a，H2(x)的最大值Bg(a2)124a，因此AB(44a)(124a)16.二、填空題7 函數(shù)f(x)x22x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_答案3解析由于f(1)121>0，又f(0)01<0，則在區(qū)間(1,0)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；又f(2)22220，f(4)42240，故有3個(gè)零點(diǎn)8 若函數(shù)f(x)x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)bx2ax1的零點(diǎn)是_來源

23、:答案，解析由，得.g(x)6x25x1的零點(diǎn)為，.9 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)則關(guān)于x的函數(shù)y2f2(x)3f(x)1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_答案7解析由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如圖畫出f(x)的圖象，由f(x)知有4個(gè)根，由f(x)1知有3個(gè)根，故共有7個(gè)零點(diǎn)10已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(1，)解析畫出函數(shù)yf(x)與yax的圖象，如圖所示，所以a>1.三、解答題11已知函數(shù)f(x)2x，g(x)2.(1)求函數(shù)g(x)的值域；(2)求滿足方程f(x)g(x)0的x的值解(1)g(x)2|x|2，因

24、為|x|0，所以0<|x|1，來源:中教網(wǎng)即2<g(x)3，故g(x)的值域是(2,3(2)由f(x)g(x)0得2x20，當(dāng)x0時(shí)，顯然不滿足方程，當(dāng)x>0時(shí)，由2x20，整理得(2x)22·2x10，(2x1)22，故2x1±，因?yàn)?x>0，所以2x1，即xlog2(1)12某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9x11)時(shí)，一年的銷售量為(12x)2萬(wàn)件(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大？并求出L的最大值Q(a)解(1)分公司一年的