概率論PPT六章

1、1 1 總體與樣本總體與樣本2 2 直方圖與樣本分布函數(shù)直方圖與樣本分布函數(shù)3 3 樣本函數(shù)及概率分布樣本函數(shù)及概率分布4 4 分布分布5 5 t 分布分布6 6 F 分布分布21 總體與樣本總體與樣本所研究對象的全體稱為所研究對象的全體稱為總體總體. .總體中的每個元素總體中的每個元素( (即每一個研究對象即每一個研究對象) )稱為稱為個體個體若總體中包含有限個個體，則稱這個總體為若總體中包含有限個個體，則稱這個總體為有限總體有限總體. .否則稱為否則稱為無限總體無限總體, ,總體中所包含的個體總數(shù)稱為總體中所包含的個體總數(shù)稱為總體容量總體容量. . 在統(tǒng)計問題中，人們所關(guān)心的往往不是總體的

2、一切方面，在統(tǒng)計問題中，人們所關(guān)心的往往不是總體的一切方面，而是它的某一項而是它的某一項數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo)X因此，我們把這個數(shù)量指標(biāo)因此，我們把這個數(shù)量指標(biāo)X所有可能取值的全體就作為總體看待，稱為所有可能取值的全體就作為總體看待，稱為總體總體X，X是一是一個隨機(jī)變量我們要根據(jù)試驗或觀察得到的數(shù)據(jù)來得到個隨機(jī)變量我們要根據(jù)試驗或觀察得到的數(shù)據(jù)來得到X的的概率分布和數(shù)字特征，分別稱為概率分布和數(shù)字特征，分別稱為總體的分布和數(shù)字特征總體的分布和數(shù)字特征從總體中抽取若干個個體過程稱為從總體中抽取若干個個體過程稱為抽樣抽樣。抽樣結(jié)果得到抽樣結(jié)果得到X的一組試驗數(shù)據(jù)（觀測值）稱為的一組試驗數(shù)據(jù)（觀測值）稱為

3、樣本樣本。樣本中所含的個體的數(shù)量稱為樣本中所含的個體的數(shù)量稱為樣本容量樣本容量。簡單隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣 1. 1. 隨機(jī)性隨機(jī)性 為了使測試到的數(shù)據(jù)能很好地反映總體的情為了使測試到的數(shù)據(jù)能很好地反映總體的情況，要求總體中每一個個體被抽到的可能性是均等的。況，要求總體中每一個個體被抽到的可能性是均等的。 2. 2. 獨立性獨立性 各次抽取必須是獨立的，即每次的抽樣結(jié)各次抽取必須是獨立的，即每次的抽樣結(jié)果之間互不影響。果之間互不影響。 從總體從總體 X 中抽取中抽取 n 個個體進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，把測試個個體進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，把測試結(jié)果分別記作結(jié)果分別記作X1，X2，, Xn Xi可以取可以取 X

4、 所有可能的值，所有可能的值，是與是與 X 具有相同分布的隨機(jī)變量，且具有相同分布的隨機(jī)變量，且X1，X2，Xn 相互相互獨立獨立簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本若總體若總體 X 的樣本的樣本 滿足滿足: :12(,)nX XX(1) (1) 與與X 有相同的分布有相同的分布12,nXXX(2) (2) 相互獨立相互獨立12,nXXX則稱則稱 為為來自總體來自總體X的的簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本. .簡稱簡稱樣本。樣本。12,nXXXn 稱為稱為樣本容量樣本容量 在對總體在對總體X進(jìn)行一次具體的抽樣并作觀測之后，得到樣進(jìn)行一次具體的抽樣并作觀測之后，得到樣本本(X1，X2，Xn)的確切的數(shù)值的確切的數(shù)值

5、(x1，x2，xn)，稱為稱為一一個樣本觀測值個樣本觀測值( (觀察值觀察值) )，簡稱簡稱樣本值樣本值 樣本樣本(X1，X2，Xn)所有可能取值的全體稱為所有可能取值的全體稱為樣本空樣本空間間，樣本觀察值，樣本觀察值(x1，x2，xn)是樣本空間中的一個是樣本空間中的一個點點 如果從總體如果從總體X 中抽取到樣本觀測值中抽取到樣本觀測值x1，x2，xn，則則可認(rèn)為相互獨立事件可認(rèn)為相互獨立事件 同時發(fā)生。同時發(fā)生。 1122,nnXxXxXx12,nXXX1.1.設(shè)總體設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F (x),則樣本則樣本 的的聯(lián)合分布函數(shù)為聯(lián)合分布函數(shù)為121( ,)( )nniiF

6、x xxF x總2.2.若總體若總體X 是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量, 概率分布為概率分布為 P Xtp t則樣本則樣本 的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為12,nXXX 11221,nnniiP Xt XtXtp t3.3.如果總體如果總體 X 為連續(xù)型且概率密度為為連續(xù)型且概率密度為f (x)，則樣本則樣本12,nXXX的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為121( ,)( )nniifx xxf x總2 2 直方圖與樣本分布函數(shù)直方圖與樣本分布函數(shù)設(shè)總體設(shè)總體X 中抽取到樣本觀測值中抽取到樣本觀測值x1，x2，xn，則做直方則做直方圖的圖的一般步驟一般步驟如下：如下：（1 1）找出找出 中的

7、最小值中的最小值 和最大值和最大值 。選取。選取 12,nx xx 1x nx略小于略小于 的數(shù)的數(shù) 和略大于和略大于 的數(shù)的數(shù) 。 1x nxab（2 2）根據(jù)樣本容量確定組數(shù)）根據(jù)樣本容量確定組數(shù) ，如果樣本容量小，則組，如果樣本容量小，則組數(shù)少些。如果樣本容量大，則組數(shù)多些。一般來說，組數(shù)數(shù)少些。如果樣本容量大，則組數(shù)多些。一般來說，組數(shù) 取為取為8 816.16.kk（3 3）選取分點）選取分點011.iikatttttb把區(qū)間把區(qū)間 分為分為 個子區(qū)間個子區(qū)間, a bk11211( , ,( , ,(, ,(, )iika tt ttttb第第 個子區(qū)間個子區(qū)間 的長度為的長度為i

8、1(, iitt1,1,2,iiitttik 若取各子區(qū)間長度相等，則有若取各子區(qū)間長度相等，則有,1,2, .ibatikk 記記 稱稱 叫做叫做組距。組距。.batk t此時分點此時分點,1,2,itai tik 注注：分點：分點 應(yīng)比樣本觀測值應(yīng)比樣本觀測值 多取一位有效數(shù)字。多取一位有效數(shù)字。itix（4 4）數(shù)出）數(shù)出 落在每個子區(qū)間落在每個子區(qū)間 內(nèi)的頻數(shù)內(nèi)的頻數(shù) ，12,nx xx1(, iittin再算出頻率再算出頻率,1,2, .iinfikn （5 5）在）在 軸上畫出各個分點軸上畫出各個分點 ，并以，并以各各Ox0,1,2,it ik1(, iittiiifyt子區(qū)間子區(qū)

9、間 為底，以為底，以 為高做小矩形，這樣做出的所為高做小矩形，這樣做出的所有小矩形構(gòu)成了直方圖。有小矩形構(gòu)成了直方圖。 直方圖作用直方圖作用 第第 個小矩形的面積等于樣本觀測值落在個小矩形的面積等于樣本觀測值落在該子區(qū)間內(nèi)的頻率。該子區(qū)間內(nèi)的頻率。1,2,i ik所有小矩形的面積之和等于所有小矩形的面積之和等于1.1.當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 充分大時，隨機(jī)變量充分大時，隨機(jī)變量 落在第落在第 個小區(qū)間個小區(qū)間nXi1(, iitt內(nèi)的頻率近似等于其概率。內(nèi)的頻率近似等于其概率。直方圖可以大致反映隨機(jī)變量的概率分布。直方圖可以大致反映隨機(jī)變量的概率分布。 例例2.12.1 某門課程有某門課程有12

10、0120人參加考試，考試成績?nèi)藚⒓涌荚嚕荚嚦煽僗如下：如下：試根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出直方圖，并根據(jù)直方圖估計試根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出直方圖，并根據(jù)直方圖估計X 的分布的分布86 83 77 81 81 80 79 82 82 8186 83 77 81 81 80 79 82 82 8183 65 64 78 75 82 80 80 77 8183 65 64 78 75 82 80 80 77 8181 87 82 78 80 81 87 81 77 7881 87 82 78 80 81 87 81 77 7877 78 77 77 77 71 95 78 81 7977 78 77 77 77 7

11、1 95 78 81 7980 77 76 82 80 82 84 79 90 8280 77 76 82 80 82 84 79 90 8279 82 79 86 76 78 83 75 82 7879 82 79 86 76 78 83 75 82 7873 83 81 81 83 89 81 86 82 8273 83 81 81 83 89 81 86 82 8278 84 84 84 81 81 74 78 78 8078 84 84 84 81 81 74 78 78 8074 78 75 79 85 75 74 71 88 8274 78 75 79 85 75 74 71 88

12、 8276 85 73 78 81 79 77 78 81 8776 85 73 78 81 79 77 78 81 8775 83 90 80 85 81 77 78 82 8475 83 90 80 85 81 77 78 82 8485 84 82 85 84 82 85 84 78 7885 84 82 85 84 82 85 84 78 78 解解 從從n=120個數(shù)據(jù)中找出最小值個數(shù)據(jù)中找出最小值x（1）= 64及最大值及最大值x（120）= 95 取取 a = 63.5, b = 95.5, 分分 k = 16 組，組距組，組距95.563.5216t 分組分組(ti-1,ti

13、頻數(shù)頻數(shù)63.565.5 265.567.5 067.569.5 069.571.5 271.573.5 273.575.5 875.577.5 1377.579.5 23分組分組(ti-1,ti 頻數(shù)頻數(shù)79.581.5 2481.583.5 2183.585.5 1485.587.5 687.589.5 289.591.5 291.593.5 093.595.5 11240iiiifnnytnt 以橫軸以橫軸 x 軸表示成績，軸表示成績，a= t0= 63.5，t1=65.5, t15= 93.5, b= t16 = 95.5, t = 2， 在在( (t ti i-1, ,t ti i

14、上，做高為上，做高為 的矩形。的矩形。 (1)( )(1)1( )0,;( ),1, 2,1;1,.iniiijnxxF xfxxxinxx2.2 2.2 樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù) 樣本能夠反映總體樣本能夠反映總體X的信息，總體的信息，總體X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)是是否能由樣本來否能由樣本來“表示表示”？回答是？回答是肯定的肯定的。 定義定義 設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)的分布函數(shù) ，從總體，從總體 中抽取容量中抽取容量為為 的樣本，樣本觀測值為的樣本，樣本觀測值為 （相同的觀測值可（相同的觀測值可重復(fù)出現(xiàn)），假設(shè)重復(fù)出現(xiàn)），假設(shè) 個觀測值中有個觀測值中有 各不相同的值，按由小各不相同的值，

15、按由小到大順序依次記為到大順序依次記為 F xXn12,nx xxnk 12kxxxkn設(shè)設(shè) 出現(xiàn)的頻數(shù)為出現(xiàn)的頻數(shù)為 ，則，則 出現(xiàn)的頻率為出現(xiàn)的頻率為 ixin ix,1,2,.iinfikn顯然有顯然有 則稱則稱11,1.kkiiiinnf為總體為總體X的的樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)Fn(x)不僅與樣本容量不僅與樣本容量 n 有關(guān)有關(guān), , 還與所得到還與所得到的樣本觀察值有關(guān)，的樣本觀察值有關(guān)，F(xiàn)n(x)的圖形呈跳躍上升的臺階狀的圖形呈跳躍上升的臺階狀, , 圖圖中的曲線是總體中的曲線是總體 X 的理論分布函數(shù)的理論分布函數(shù)F(x)的圖形的圖形 總結(jié)總結(jié)：對于樣本

16、觀察值：對于樣本觀察值(x1，x2，xn), ,為了求其對應(yīng)為了求其對應(yīng)的樣本分布函數(shù)的樣本分布函數(shù)Fn(x)之值，只須將這之值，只須將這 n 個值中小于或等個值中小于或等 x 的個數(shù)除以樣本容量的個數(shù)除以樣本容量 n 即可對于給定的即可對于給定的x，F(xiàn)n(x)是是 n 次重次重復(fù)獨立試驗中事件復(fù)獨立試驗中事件Xx出現(xiàn)的頻率，而理論分布函數(shù)出現(xiàn)的頻率，而理論分布函數(shù)F(x)是事件是事件Xx發(fā)生的概率，由伯努利定理知，對任意給定的發(fā)生的概率，由伯努利定理知，對任意給定的正數(shù)正數(shù)，有，有 ，即即Fn(x)按概率收斂于按概率收斂于F(x)。1| )()(|limxFxFPnn樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)

17、Fn(x)具有以下具有以下性質(zhì)性質(zhì)： (1) 0Fn(x)1； (2) (2) Fn(x)是單調(diào)不減函數(shù)；是單調(diào)不減函數(shù)；(3) (3) Fn()=0, Fn(+)=1,(4) (4) Fn(x)是處處右連續(xù)的是處處右連續(xù)的. .10| )()(|suplimxFxFPnxn 定理（格利文科定理（格利文科(W.Glivenko)(W.Glivenko)定理）定理） 設(shè)總體設(shè)總體X的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為F(x), 樣本分布函數(shù)樣本分布函數(shù)Fn(x)，則對于任何實數(shù)則對于任何實數(shù)x，有有 設(shè)設(shè) 是取自總體是取自總體X 的一個樣本的一個樣本, , 12,nXXX樣本函數(shù)樣本函數(shù). .),(21nx

18、xx若若是樣本觀測值是樣本觀測值, ,稱稱),(21nxxxg為為樣本函數(shù)觀測值樣本函數(shù)觀測值。3 3 樣本函數(shù)及其概率密度樣本函數(shù)及其概率密度12( , , )ng t tt為一為一 元實值連續(xù)函數(shù)元實值連續(xù)函數(shù), ,則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量 為為),(21nXXXgn如果如果 不含有未知參數(shù)不含有未知參數(shù), ,),(21nXXXg則稱這種樣本函數(shù)為則稱這種樣本函數(shù)為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。是是統(tǒng)計量統(tǒng)計量。11,niiXXn例例 是未知參數(shù)是未知參數(shù), ,22( ,),XN 12(,)nX XX是來是來自總體自總體 樣本樣本, ,則則X2211niiX不是統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量。只是樣本函數(shù)。只是樣本函

19、數(shù)。22111niiSXXn常用的統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量設(shè)設(shè)是來自總體是來自總體 X 的容量為的容量為n的樣本，樣本觀的樣本，樣本觀12,nXXX測值為測值為12,.nx xx1.1.樣本均值樣本均值11niiXXn觀測值為觀測值為11niixxn1111nniiiiE XEXEXnn例例 設(shè)總體設(shè)總體X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望 方差方差 則則,E X2,D X12,nXXX由于由于 相互獨立，因此相互獨立，因此 122111nniiiiDXDXnnD Xn2.2.樣本方差樣本方差22111niiSXXn觀測值為觀測值為2222111111nniiiisxxxnxnn22111niiXnXn推導(dǎo)如

20、下：推導(dǎo)如下：22211()(2)nniiiiiXXXX XX221112nnniiiiiXXXX22212niiXnXnX221niiXnX例例 設(shè)總體設(shè)總體X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望 方差方差 則則,E X2,D X22211()11niinE SEXE Xnn 221111niinE XD XEXnn2222111nnnnn2 221111niiinD XEXD XEXnn3.3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差22111niiSSXXn4.4.樣本樣本k 階原點矩階原點矩11,1,2,.nkkiiAXkn注注：樣本一階原點矩就是樣本均值。：樣本一階原點矩就是樣本均值。5.5.樣本的樣本的k 階中心

21、矩階中心矩11,1,2,.nkkiiBXXkn注注：樣本二階中心矩：樣本二階中心矩222111niinBSXXnn221()nE Bn6.6.樣本最大值和樣本最小值樣本最大值和樣本最小值為為設(shè)設(shè) 是取自總體是取自總體X 的一個樣本的一個樣本, , 12,nXXX12,nx xx樣本觀測值，取樣本觀測值，取 和和( )12max,nnxx xx(1)12min,nxx xx分別作為隨機(jī)變量分別作為隨機(jī)變量 和和 的觀測值，的觀測值，( )nX(1)X( )nX(1)X為為樣本最大值和樣本最小值。樣本最大值和樣本最小值。稱稱 和和 分別分別分別記為分別記為 和和 12max,nnXXXX 121m

22、in,nXX XX minFx設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), 記記 和和 的分布函數(shù)記為的分布函數(shù)記為( )nX(1)X maxFx和和 ，則，則 12maxmax,nFxPX XXx12,nP Xx XxXx 12nP Xx P XxP Xx nF x 12minmin,nFxPX XXx121min,nPX XXx 121nP Xx P XxP Xx 11nF x 例例3.13.1 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取1010件件, , 測得測得其重量為其重量為( (單位單位: : 公斤公斤):): 210, 243, 185, 240, 215,

23、 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 228, 196, 235, 200, 199求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩求這組樣本值的均值、方差、二階原點矩與二階中心矩. .解解1(230243 185240215228 196235200199)10217.19x 102211()433.439iisxx10221147522.510iiAx10222191()390.01010iiBsxx 例例3.23.2 在總體在總體 中中, ,隨機(jī)抽取一個容量為隨機(jī)抽取一個容量為3636的樣的樣本本, ,求樣本均值求樣本均值 落

24、在落在50.850.8到到53.853.8之間的概率之間的概率. .)3 . 6,52(2NX)36/3 . 6,52(2NX6/ 3 . 6528 .506/ 3 . 6528 .5350.853.8PX0.8239解解故故(1.7143)( 1.1429) 定理定理3.13.1 設(shè)設(shè) ， 是來自總體是來自總體 X 的的樣本，樣本，2( ,)XN 12,nXXXX為樣本均值，則隨機(jī)變量為樣本均值，則隨機(jī)變量0,1/XuNn 定理定理3.23.2 設(shè)設(shè) ， ，分別獨立，分別獨立的從總體的從總體 X 和總體和總體Y 中抽取樣本中抽取樣本 和和 ，樣本均值分別為樣本均值分別為 和和 。則隨機(jī)變量。

25、則隨機(jī)變量211(,)XN 112,nXXX222(,)YN 212,nY YYXY122212120,1XYuNnn4 4 分布分布2 定義定義4.14.1 設(shè)設(shè) ， 是來自總體是來自總體 X 的的樣本，則稱統(tǒng)計量樣本，則稱統(tǒng)計量(0,1)XN12,nXXX222212nXXX為為服從自由度為服從自由度為 n 的的 分布分布，記作，記作2 22n概率密度概率密度122/21e,02( )20,0nnnxxnf xx0f(x)n=1n=4n=10 x圖像圖像分布的性質(zhì)：分布的性質(zhì)：2性質(zhì)性質(zhì)1 1：設(shè)：設(shè) ，則，則E( )=n，D( )=2n 22n22證：證：因因XiN(0,1)，E(Xi2

26、)=1 ，D(Xi)=1244421()()d32xiE XE Xxex2422()() ()2iiiD XE XE X222211()(),()()2nniiiiEE XnDD Xn性質(zhì)性質(zhì)2 2：設(shè)：設(shè) 2212,XnYn且且X與與Y相互獨立相互獨立, ,則則212XYnn性質(zhì)性質(zhì)3 3：設(shè)：設(shè) ，則對任意實數(shù)，則對任意實數(shù) 有有 22nx2221limed22txnnPxtn定義定義4.2 4.2 設(shè)設(shè) ，對于給定的正數(shù)，對于給定的正數(shù) ， 22n(01)稱滿足條件稱滿足條件222( )( )( )dnPf xxn的點的點 為為 分布的分布的上上 分位點（數(shù)）。分位點（數(shù)）。2( )n

27、2n例如例如 取取25, 1 . 0n則查附表有則查附表有382.34)25(21 . 00.05,7n20.05(7)14.067則查附表則查附表20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n = 10 定理定理4.14.1 設(shè)設(shè) 為為X的樣本，則的樣本，則212( ,),nXNXXX 222211() ( )niiXn證：證： ，且相互獨立，由定義，且相互獨立，由定義(0,1)iXN2222111()( )nniiiiXXn 定理定理4.24.2 設(shè)設(shè) 為為X的樣本，樣本的樣本，樣本212( ,),nXNXXX 均值和樣本方差分別為均值和樣本方差分別為 和和 ，則

28、，則X2S（1 1）22211 ;nSn（2 2） 和和 相互相互獨立獨立。X2S 例例4.14.1 設(shè)設(shè)X1，X2，X10 為總體為總體N (0, 0.09)的一個樣的一個樣10211.44iiPX本，求本，求 解解(0,1),(0,1)0.30.3iXXNN1022211(10)0.3iiX則有則有101022221111.441.440.30.3iiiiPXPX2(10)160.10P 例例4.24.2 設(shè)總體設(shè)總體 , ,樣本樣本X1，X2, , X6，設(shè)設(shè)Y = ( X1+X2+X3 )2 + ( X4+X5+X6 )2，求，求C,使使CY 服從服從 分布，分布，并求自由度并求自由度

29、2(0,)XN2解解 由由 , ,且且X1，X2, , X6相互獨立，相互獨立，有有2(0,)iXN2123(0, 3)XXXN2456(0,3)XXXN1231(0,1)3XXXYN4562(0,1)3XXXYN由獨立性有由獨立性有 ，22212(2)YY因此取因此取 ，有，有213C22212(2)CYYY自由度為自由度為2 25 5 t 分布分布2 定義定義5.15.1 設(shè)設(shè)XN (0,1)，Y (n)，且且 X 與與Y 獨立，則獨立，則稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量/XtYn服從自由度為服從自由度為 n 的的 t 分布分布，記作，記作t t (n)t (n)分布的概率密度分布的概率密度12212

30、( )1,2nnxf xnnnx f(x)x0n=10n=4n=1圖像圖像性質(zhì)：性質(zhì)：t (n)分布的概率密度關(guān)于分布的概率密度關(guān)于 y 軸對稱，且軸對稱，且221lim( )e,2xnf xx 定義定義5.25.2 設(shè)設(shè) t t (n)，對于給定正數(shù)對于給定正數(shù) ，稱滿，稱滿足條件足條件(01) ( )( )dtnP tf xtxn( )tn的點的點 為為t (n)分布的分布的上上 分位點。分位點。-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 10t-t 1tntn( )tnu注注n很大時很大時0.05(10)1.8125t0.95(10)1.8125t 例例 定理定理5.15.1 設(shè)設(shè)總體總體 ， 為為X的樣本的樣本2( ,)XN 12,nXXX，樣本均值和樣本方差分別為，樣本均值和樣本方差分別為 和和 ，則隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量X2S(1)XtnT ns定理定理5