高考數(shù)學必考點解題方法秘籍解題建議理

1、2014高考理科數(shù)學必考點解題方法秘籍：解題建議我們對高考解題的基本建議是（6條）：明確解題過程；夯實解題基礎；防止解題錯誤；掌握解題策略；精通三類題型；運用答題技術（1）明確解題過程；（四步程序）理解題意思路探求書寫解答回顧反思（2）夯實解題基礎；（四個因素）知識因素能力因素經驗因素情感因素（3）防止解題錯誤；（四種類型）知識性錯誤邏輯性錯誤策略性錯誤心理性錯誤（4）掌握解題策略；（四個策略）模式識別差異分析層次解決數(shù)形結合（5）精通三類題型；選擇題填空題解答題（6）運用答題技術 提前進入角色迅速摸清“題情”執(zhí)行“三個循環(huán)”做到“四先四后”（先易后難、先熟后生、先高后低、先同后異）答題“一慢

2、一快”立足中下題目，力爭高上水平立足一次成功，重視復查環(huán)節(jié)運用解題策略于分段得分：分解分步缺步解答引理思想跳步解答以退求進退步解答正難則反倒步解答掃清外圍輔助解答1 測試復習成果 提供復習導向1-1 第一階段復習要做到“四過關”（1）能準確理解書中的任一概念；（測試1，測試4）（2）能獨立證明書中的每一定理；（測試1，測試2）定理從兩個方面提供重要方法；要會定理的正用、逆用、連用、變用、巧用、活用潘承洞教授1979年出高考題，只出了一道題：“敘述并證明勾股定理”，得分不全國做對的人不到001（百里挑一），潘教授不敢承認是他出的；1981年考余弦定理呈兩極態(tài)勢；2010年四川高考證明兩角和的余弦

3、公式，50萬考生做對的僅幾百人（千里挑一），議論紛紛； 2011年陜西考余弦定理，也是議論紛紛；2012年陜西考三垂線定理及逆定理沒有議論了（3）能熟練求解書中的所有例題；（4）能歷數(shù)書中各單元的作業(yè)類型（統(tǒng)計）（真正做到“四過關”可望高考得120分，得分率080）課本類型統(tǒng)計1-2 第二階段復習要抓住五個方向如果說第一階段是以縱向為主、順序復習、全面覆蓋的話，那么第二階段就是以橫向為主，突出重點，抓住熱點，深化提高了 （1）第一階段中的弱點； （2）教材體系中的重點；（3）高考試題中的熱點；（4）中學數(shù)學的解題方法體系；（5）應試的技術:針對性、實用性、系列化這五個方面是復習工作的繼續(xù)深入與

4、自然提高，也是高考應試的宏觀駕馭與有效逼近（這五個方面與近幾年的高考題相結合，可望高考得130分，得分率086）1-3 “四過關”測試大家“四過關”沒有呢？測試1：（是否形成良好的認知結構，腦子里有無思維路線圖）例1-1 閉上眼睛，你能回憶起幾條數(shù)學定理，說出幾個數(shù)學名詞？越多越好！文科必考內容：共20個知識板塊，約260課時、180個知識點；理科必考內容：共21個知識板塊，約290課時、210個知識點）例1-2 當我說“函數(shù)”時，你能想起相關的多少個概念和定理？越多越好！（思維概念圖） 圖1 例1-3 對于您能寫出多少個等式？越多越好?。ㄋ季S概念圖） （同角關系） （誘導公式） （和差倍半公

5、式）=sin=(1+cos)tg=2sin=2cos=測試2：四過關了嗎？（認知結構，思維能力，經驗題感，情感態(tài)度）例2 余弦定理的3個話題例2-1 余弦定理記得住、會證明嗎？思路1（向量證明）：分析要證 ，只需證 ，只需證 ， 只需證 圖2 如圖2，最后一式顯然成立，故有證明如下（由繁到簡、三項變一項）（把數(shù)量轉變?yōu)橄蛄浚ㄏ蛄窟\算、變三項為兩項）（向量運算、變兩項為一項）（把向量還原為數(shù)量）思路2（坐標證明） 如圖3，在中，設，由向量數(shù)量積的定義,有 圖3 （把向量變?yōu)樽鴺耍ㄗ鴺诉\算） （坐標運算），（把向量變?yōu)閿?shù)量）得 可見，余弦定理是向量數(shù)量積定義的一個特例 如果在單位圓上，記，則

6、可見，余弦差角公式是向量數(shù)量積定義的一個特例例2-2 一個流行的幾何證明其證明過程是對角分三種情況討論，得出 （1）當角為直角時，由勾股定理，得 ，所以，當角為直角時，命題成立（2）當角為銳角時，如圖4，過點作對邊的垂線，垂足為，則 ， 在中，用勾股定理，得，消去并把代入，得 圖4 （消去） （把代入消去） （展開）， （把代入消去）所以，當角為銳角時，命題成立 （3）當角為鈍角時，如圖5，過點作對邊的垂線，交的延長線于，有 ， 在中，用勾股定理，得 ，消去并把代入，得 （消去） 圖5 （把代入） （展開）， （把代入）所以，當角為鈍角時，命題成立 綜上（1）、（2）、（3）可得，在中，當角為

7、直角、銳角、鈍角時，都有 同理可證，問題在于，當角為銳角時，角還可以為直角或鈍角（既有知識性錯誤，又有邏輯性錯誤）例2-3 余弦定理的逆命題（怎樣敘述，真假如何） 對應余弦定理的符號等式，交換條件與結論，我們給出逆命題為： 逆命題1 若為正實數(shù)，有，則對應的線段構成一個三角形，且邊的對角為，邊的對角為，邊的對角為證明 由，有，得，又因為正實數(shù)，所以同理，由， 有 ，所以，對應的線段可以構成一個三角形記這個三角形為，而邊的對角為，邊的對角為，邊的對角為，由余弦定理，有但由已知又有所以 由余弦函數(shù)的單調性，得，即邊的對角為同理，得邊的對角為，邊的對角為 逆命題2： 對于正實數(shù)，及，若有，則對應的線

8、段構成一個三角形，且邊的對角為證明 由，有，得，即 ，又因為正實數(shù)，有 所以，對應的線段可以構成一個三角形記為，而邊的對角為，由余弦定理，有但由已知又有所以 由余弦函數(shù)的單調性，得，即邊的對角為測試3：四過關了嗎？（認知結構，思維能力，經驗題感，情感態(tài)度）例3-1 （空間圖形的最短路程）如圖6，一圓柱體的底面周長為24cm，高為4cm，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點的最短路程為 圖6 解 把圓柱體沿母線展開，得圖7所示的矩形，從點到點的最短路程就是線段的長因為的長是底面圓的周長的一半12cm，高的長是4cm，所以在中，由勾股定理得cm 圖7 同意的舉手不同意的站起來反思（1）合理成分

9、例3-1中有三個“化歸”是很好的：化歸1：把一個實際問題轉化為一個數(shù)學問題； 化歸2：把一個空間問題轉化為平面問題；化歸3：把一個平面問題轉化為解直角三角形（用到兩點之間直線距離最短）（2）認識封閉但是，在把空間圖形展平時沒有注意到由點到點有兩類路徑：只走側面（有兩條路線），展平后，轉變?yōu)椤皟牲c之間直線距離最短”；既走側面又走底面，走側面時，轉變?yōu)椤皟牲c之間直線距離最短”；走底面時，也走“兩點之間的直線距離”這時，要用到底面的展平，并且底面展平有多樣性“流行的誤解”就在于只看到第一類路徑，沒有看到第二類路徑（認識封閉1），更沒有看到第二類路徑的多樣性（認識封閉2）（邏輯性錯誤）如圖8，將圓柱的

10、側面展開為矩形、上底面展開為母線上方的圓，由“兩點之間直線距離最短”可以得到兩條直線距離： 第一條，如例3-1所述，是沿側面展平后的直線距離，有第二條，是先沿側面走母線，然后走圓的直徑，展平后有由于，所以比更小 圖8那么，是不是任何情況下都有呢？例3-2 如圖6，一圓柱體的底面周長為16，高為4，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點的最短路程是( )解 如圖8，沿用例3-1的解法，有 ， ，但，所以那么，什么時候小、什么時候小呢？（3）問題探索考慮更一般性的情況例3-3 如圖6，一圓柱體的底面周長為，高為，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點，求最短路程解 如圖8，沿用例3-1的解法，

11、有 ， （1）（2）（3）記常數(shù)為，可見，與的大小關系有三種情況：當時，沿側面爬行的路程最短，為；當時，先豎直向上爬到的正上方，再沿直徑爬到點的路程最短，為；當時，兩種爬行方式的路程一樣看上去，這種討論已經很細致了，然而，這依然有認識的封閉（4）進一步思考事實上，螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點的路徑，除了以上兩種之外，還存在無窮多條從到的路徑如圖9所示：，其中是側面上的最短距離（側面展平后的直線距離），是上底面兩點之間的直線距離圖9下面，我們來討論的最值設圓心角，則，展平后，為圓與矩形的切點，為折線，在直角中，有，在中用余弦定理，有 ，得的長度為函數(shù) ，（）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大最小

12、值，不作展開測試4 三視圖（江蘇不考）如圖10，給出正方體（為了避免相關方向的線被重合（比如與重合），圖形作了一些技術性的調整）例4-1 （1）請畫出正方體的三視圖（三個正方形，請保留）（2）若在正方體中截去一個三棱錐，得到如圖11的幾何體，請畫出圖11的三視圖（在保留圖上繼續(xù)，結果為圖12：三個正方形都加上一條對角線） 圖10 圖11 圖12（3）若在圖11的基礎上再截去一個三棱錐得到如圖13的幾何體，請畫出圖13的三視圖圖13結果：圖11、圖13的三視圖均為圖12，因為三視圖中與 重合，與 重合，與 重合（不同的幾何體有相同的三視圖） 例4-2 （4）若在圖11的基礎上再截去兩個三棱錐,得

13、到如圖14的幾何體，請畫出圖14的三視圖 圖14（5）再從圖14幾何體中截去三棱錐得到如圖15的正四面體，請畫出圖15的三視圖圖15圖16 結果：圖14、圖15的三視圖均為圖16，因為圖14中三棱錐的三視圖完全被圖15的三視圖重合： 正視圖中，圖15的重合了圖14 的，圖15的重合了圖14的；左視圖中，圖15的重合了圖14的，圖15的重合了圖14的；俯視圖中，圖15的重合了圖14的，圖15的重合了圖14的結論：不同的幾何體可以有相同的三視圖；同一個幾何體擺法不同可以有不同的三視圖（概念理解、技能熟練）例4-4 （2010年高考數(shù)學福建卷文科第3題）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖18所

14、示，則其側面積等于（ ）（A） （B） （C） （D） 解 由正視圖知，三棱柱是以底面 圖17邊長為2，高為1的正三棱柱，所以側面積為，選（D）對不對？主視圖為矩形的三棱柱不唯一，（1）左視圖可以是一般平形四邊（并非矩形）；（2）底面是正三角形的三棱柱其俯視圖可以不是正三角形；就是說，題目給的三棱柱可以是斜三棱柱題目無解可以改為求體積高考修改題1 若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖14所示，則其體積等于（ ）（ A） （B） （C） （D） 解 依題意，三棱柱的底面邊長為2，三棱柱的高為1，其體積為，選（A）高考修改題2 若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖14所示，則其側面積的取值

15、范圍為 解 依題意，三棱柱有兩側面為平行四邊形，平行四邊形的底為2、高為1，面積為2+2=4；第三個側面為矩形，矩形的底為2、高為（為矩形面與底面的夾角），面積為得三棱柱的側面積為（）當增大時，增大；當時，所以，側面積的取值范圍為測試5 形同而質異的三角題例5-1 若的角滿足， 則 （2011年高中數(shù)學聯(lián)賽一試B卷第5題）例5-2 若的角滿足， 則 例5-3 若的內角滿足，則 例5-4 若的內角滿足，則 講解第一、求解例5-1 若的角滿足， 則 解：因為，代入已知等式并化簡整理，得 又因為均為銳角，所以，故 （聯(lián)賽題的參考答案）例5-2 若的角滿足， 則 解：同上，把萬能公式代入已知等式并化簡

16、整理，得又因為均為銳角，所以，故 可見，兩道題目不僅形式類似，其求解步驟也近乎雷同，只有答案與的數(shù)值差別，這個差別與已知兩式中加減號的不同有關例5-3 若的內角滿足，則 解 因為，代入已知等式并化簡整理，得 所以，此題無解請分析，為什么例5-1與例5-3兩道錯題只是數(shù)字4與5交換了一下位置，就會形式上一個有解、一個無解呢？例5-4 若的內角滿足，則 解 因為，代入已知等式并化簡整理，得 所以，此題無解請分析，為什么例5-2與例5-4兩道題目只是數(shù)字4與5交換了一下位置，就會一個有解、一個無解呢？第二、反思例5-1結論不成立證明在中，有，由正切函數(shù)在上為增函數(shù)知，得 可見，結論不成立例5-1條件

17、不成立在中，有 （三角形中） （誘導公式），（三角形中）得 得 ，與條件 矛盾可見，結論不成立今年高考題 已知函數(shù) （）若曲線在點處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調區(qū)間；（）試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點（2012高考數(shù)學福建卷理科第20題，14分） 講解 由知，曲線在處的切線斜率為，得，這時于是，問題來了：計算得出過點處的切線重合于軸，與題目說的“在點處的切線平行于軸”到底有沒有矛盾？有人說“同一平面內，且沒有公共點的直線叫平行線，而重合有無數(shù)個公共點”，有矛盾，是錯題；有人說“重合可以是平行的特例”，雖然不承認“錯題”，也只肯定到“不要緊”，至

18、少在客觀上有了歧義（歧義題），若提前發(fā)現(xiàn)肯定會修改比如改為：在點處的切線斜率為0，或在點處的切線垂直于軸2 數(shù)學高考解題的建議2-1 數(shù)學高考題（1）高考題：為了實現(xiàn)診斷、預測、甄別、選拔等特定目的，而組織化、系統(tǒng)化、標準化的數(shù)學問題組織形式，稱為數(shù)學試題用于高考的數(shù)學試題稱為高考題（2）高考創(chuàng)新題：高考主要通過創(chuàng)新試題來考創(chuàng)新精神（意識）數(shù)學創(chuàng)新試題是指在試題背景、試題形式、試題內容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨特性的數(shù)學試題，其基本目的在于診斷考生的數(shù)學創(chuàng)新意識與數(shù)學創(chuàng)新能力高考創(chuàng)新題主要形式有開放探索題：高考中的開放探索題是指條件完備，但結論不確定、需要探索的數(shù)學問題有時候結論是開

19、放的，但為了閱卷方便，只要求考生寫出三二個，不同的考生答案會不一樣；有時候敘述為“是否存在？請說明理由”,需要考生自己去探索出結論并加以證明把開放性與探索性結合起來是這類題目的顯著特點（參見例6、例7）信息遷移題：高考中的信息遷移題是在題目中即時提供一個新的數(shù)學情景（或給出一個名詞概念，或規(guī)定一種規(guī)則運算等），讓考生學習陌生信息后立即解答相關問題（遷移）這類題目背景公平，能有效考查學生的真實水平由于高考的選拔性質，即時提供的新信息常常有一定的高等數(shù)學背景，但不是考高等數(shù)學知識即時接收信息、并立即加以遷移是兩個相關的要點（參見例8、例9、例10）情景應用題：這是一類有現(xiàn)實情境、重視應用的題目要求

20、考生通過文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言等的轉換，揭示題目的本質屬性，構建解決問題的數(shù)學模型函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、概率統(tǒng)計等主體內容是高考應用題建模的主要載體閱讀理解和數(shù)學建模是解題的兩個關鍵（參見例11、例12、例13） 過程操作題：這是一類通過具體操作過程，從中獲得有關數(shù)學結論的題目，可以用來考查三維目標中的“過程與方法”由于高考條件的限制，“經歷過程”無法“動手實踐”，只能是一些“語言描述的操作過程”，但有的描述和操作會有現(xiàn)實情境、而不完全是數(shù)學內部的過程與操作（參見例14、例15）歸納（類比）猜想題：這是在觀察相關數(shù)學情境的基礎上，通過歸納或類比作出數(shù)學猜想的一類題目本來，由

21、歸納或類比作出的猜想可能對也可能錯，但考試總是要求寫出正確的猜想（學生中“有一定道理”的猜想可能會被判錯）應該說，這是一類探索中的題型,最好有猜想理由的說明（參見例16、例17）例6 （2010年寧夏理科第14題、5分）正視圖為一個三角形的幾何體可以是_（寫出三種）點評：這是開放題，為考生搭建了一個自主探究的活動平臺，使考生的才能得到充分發(fā)揮，使不同基礎、不同水平、不同志向的考生都得到成功的體驗，創(chuàng)新意識得到發(fā)展體現(xiàn)新課程關于評價的新理念（數(shù)學通報2012，1任子朝 陳昂：實施課程標準后高考數(shù)學能力考查研究）例7-1 （2011年陜西理科第21題、14分）設函數(shù)定義在上，導函數(shù)（）求的單調區(qū)間

22、和最小值；（）討論與的大小關系； （）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由（探索題）例7-2 （2012年全國高考數(shù)學陜西卷理科第21題、14分） 設函數(shù)，（，）（）設，證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；（）設，若對任意，有，求的取值范圍；（）在（）的條件下，設是在內的零點，判斷數(shù)列的增減性點評：第（）、（）問都需要考生自己去探索出結論并加以證明 例8 （2010年四川理科第16題）函數(shù)定義域為，若且時總有，則稱為單函數(shù)例如，函數(shù)是單函數(shù)下列命題：函數(shù)是單函數(shù)；若為單函數(shù)，且則；若為單函數(shù)，則對于任意，它至多有一個原象；函數(shù)在某區(qū)間上具有單調性，則一定是單函數(shù)其中

23、的真命題是 （寫出所有真命題的編號）（信息遷移）答案：解釋 ：錯，當時可以有（假命題，找反例）逆否命題，真命題推出必要條件，真命題提供充分條件，真命題例9 （2011江蘇省數(shù)學卷第19題）已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和是的導函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則稱和在區(qū)間上單調性一致（1）設，若函數(shù)和在區(qū)間上單調性一致,求實數(shù)的取值范圍；（2）設且，若函數(shù)和在以為端點的開區(qū)間上單調性一致，求的最大值（信息遷移題）點評：本題在考生理解了函數(shù)的單調性的基礎上，新定義了“單調性一致”的概念，考生需要把新的定義與自己已有的知識融合，這種解決新問題的能力是考生在今后學習中非常重要的試題的第（2）問，實際是討論不等式在區(qū)

24、間上恒成立問題，需要分類討論，運用函數(shù)性質及實數(shù)運算的符號法則分析結果解決問題的過程中所用到的知識和方法并不深奧，但分析問題、解決問題的能力要求很高，屬于對高層次數(shù)學思維和數(shù)學素質的考查學生進人高?；蛏鐣竽芊窭^續(xù)發(fā)展，在很大程度上取決于他們的學習能力具有良好的閱讀理解力是繼續(xù)學習的前提近年的高考試卷對閱讀理解能力，特別是對數(shù)學語言，包括文字語言、圖形語言、符號語言、圖表語言的閱讀理解能力的考查加大了力度，教師在日常教學中應多加關注（參見本刊特約數(shù)學試題評閱組2011年高考數(shù)學試題“紅黑榜”基礎教育課程，2011，9）例10 （2010年天津理科第4題）對實數(shù)和，定義運算“”：設函數(shù)若函數(shù)的圖

25、像與軸恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） （信息遷移題）【答案】B例11 （2010年安徽理科第21題、13分） 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優(yōu)劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分 現(xiàn)設，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述 ()寫出的可能值集合；()假設等可能地為1,2,3,4的各種排列，求的分布列；()某品酒師

26、在相繼進行的三輪測試中，都有，(i)試按()中的結果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）；(ii)你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由（這是數(shù)學高考中第一次出現(xiàn)概率題壓軸）講解 列表，計算1，2，3，4的全排列及相應的值1，2，3，4000001，2，4，3001121，3，2，4011021，3，4，2011241，4，2，3021141，4，3，2020242，1，3，4110022，1，4，3111142，3，1，4112042，3，4，1111362，4，1，3122162，4，3，1120363，1，2，4211043，1，4，2211263，2，1，4202043

27、，2，4，1211263，4，1，2222283，4，2，1221384，1，2，3311164，1，3，2310264，2，1，3302164，2，3， 1300364，3，1，2312284，3，2，131138（I）由表可見，的可能值集合為理論說明：在1，2，3，4中奇數(shù)與偶數(shù)各有兩個，所以中的奇數(shù)個數(shù)等于中的偶數(shù)個數(shù)，因此與的奇偶性相同，從而必為偶數(shù)的值非負，且易知其值不大于8所以X的值等于0，2，4，6，8（II）由列表的值，在等可能的假定下，得到02468（III）（i）首先，將三輪測試都有的概率記做，由上述結果和獨立性假設，得 （ii）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測

28、得到三輪測試都有的結果的可能性很小，所以我們認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測例12 （2011年湖北理科第17題、文科第19題）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)當橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)（）當時，求函數(shù)的表達式;（）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1

29、輛/小時）講解 （）由題意：當；當時，可設再由已知得 解得 ，故函數(shù)的表達式為 （）依題意并由（）可得當為增函數(shù)，故當時，其最大值為60×20=1200；當時，當且僅當，即時，等號成立因為，所以，當在區(qū)間20，200上取得最大值約為即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時例13 （2011年湖南理科第20題）如圖1，長方形物體在雨中沿面（面積為）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿移動方向的分速度為移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）或的平行面（只有一個面淋 圖19雨）的淋雨量，假設其值與成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為

30、，記為移動過程中的總淋雨量，當移動距離，面積時 （）寫出的表達式（）設，試根據(jù)的不同取值范圍，確定移動速度，使總淋雨量最少解 （I）由題意知，移動時單位時間內的淋雨量為，故（II）由(I)知，當時，當時，合并得 (1)當時，是關于的減函數(shù)故當時，(2) 當時，在上，是關于的減函數(shù)；在上，是關于的增函數(shù)；故當時，點評：普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）強調“發(fā)展學生的數(shù)學應用意識”，“高中數(shù)學在數(shù)學應用和聯(lián)系實際方面需要大力加強”，這種理念在近年高考試題中體現(xiàn)得日漸鮮明2011年數(shù)學高考卷中又出了不少聯(lián)系現(xiàn)實、聯(lián)系生活的應用試題除例12、例13外，還有江蘇的包裝盒的面（體）積與正方形紙板裁剪方式的函

31、數(shù)關系的應用題、福建的商品銷售量與銷售價格函數(shù)關系的應用題、山東的容器的建造費與容器兩端半球形半徑函數(shù)關系的應用題、安徽的以進入核電站完成某項具有高輻射危險任務為背景的概率應用題等這些試題的背景考生都了解，所用的知識方法又是考生應知應會的，考生能否解決問題，能體現(xiàn)他們關注生活、關注數(shù)學應用、運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力；同時試題充分體現(xiàn)了數(shù)學的文化價值與應用價值，能使學生感覺到數(shù)學有用，數(shù)學很親切，數(shù)學就在我們身邊（參見本刊特約數(shù)學試題評閱組2011年高考數(shù)學試題“紅黑榜”基礎教育課程，2011，9）例14 （2010年寧夏理科第13題、5分）設為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機模擬方

32、法近似計算積分，先產生兩組（每組N個）區(qū)間上的均勻隨機數(shù)和，由此得到個點，再數(shù)出其中滿足的點數(shù)，那么由隨機模擬方案可得積分的近似值為 （過程操作）例15 （本小題滿分12分）如圖2，從點作軸的垂線交曲線于點，曲線在點處的切線與軸交與點再從作軸的垂線交曲線于點，依次重復上述過程得到一系列點：，記點的坐標為（）（）試求與的關系（）；（ ）求 圖20 （2011年高考數(shù)學陜西理科第19題）（過程操作） 點評：本例通過指數(shù)函數(shù)的導數(shù)產生切線，由切線產生點列，由點列的橫坐標產生等差數(shù)列、縱坐標產生等比數(shù)列并且第（）問既是等比數(shù)列的前項和，也是小矩形的面積和，它正是定積分的近似值同時，本題有牛頓

33、切線法的背景，一般地，過曲線上一點作曲線的切線交軸于點，有，可得遞推公式所以，這道題也能體現(xiàn)數(shù)學視野例16 （2011年高考數(shù)學陜西理科第13題）觀察下列等式照此規(guī)律，第個等式為 （歸納猜想題）解法1 由特殊到一般，分別找等式左右兩邊的規(guī)律（1）等式左邊的首項：由已知等式首項分別為1，2，3，4，可猜想第個等式的首項為（2）等式左邊的末項：由已知等式分別為1，3，5，7項之和，可猜想第個等式的為項之和，據(jù)等差數(shù)列通項公式，得等式左邊的末項為（3）等式的右邊：由已知等式右邊均為項數(shù)的平方（），可猜想第個等式的右邊為得第個等式為 驗證知（等差數(shù)列部分和），這確實是恒等式解法2 由特殊到一般，分別找

34、等式左右兩邊的規(guī)律（1）等式左邊的首項：由已知等式首項分別為1，2，3，4，可猜想第個等式的首項為（2）等式的右邊：由已知等式右邊均為項數(shù)的平方：，可猜想第個等式的右邊為（3）等式左邊的末項：由等差數(shù)列求和公式，得等式左邊的末項為得第個等式為可見，本題以等差數(shù)列求和為載體，考查歸納猜想等差數(shù)列的通項公式或求和公式都是實質考到的（首項、項數(shù)、末項、和四要素） 例17 （2011年高考數(shù)學山東理科第15題）設函數(shù),觀察:根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當且時， 答案：解法1觀察分子、分母分子為不變分母分為兩部分：第一常數(shù)項為，第二一次項系數(shù)為常數(shù)項減：得 解法2觀察分子、分母分子為不變分母分為兩部

35、分：（）常數(shù)項為，（）下一等式的一次項系數(shù)為上一等式的兩系數(shù)之和：得 即解法3 分離系數(shù)，分式對應為矩陣，則對應為矩陣的方 2-2 數(shù)學高考解題（1）平時解題是一種認識活動，是對知識（概念、定理等）的繼續(xù)學習，是對方法的繼續(xù)熟練，是在發(fā)生數(shù)學和掌握數(shù)學，而高考解題則是“通過解題水平來看數(shù)學思維水平”，是一種評估活動，是以解題能力的高低為考核標準、一次性筆試決定勝負的如果說平時作業(yè)要求“全做全對”的話，那么高考是加總分錄取，不需要“全做全對”（2）高考解題的一般性高考解題就是將課堂上獲得的數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學經驗用于解決高等學校招生考試的新試題這是一個從記憶模仿到探索發(fā)現(xiàn)的過程，關鍵在探索發(fā)

36、現(xiàn)，核心是通過推理、論證得出一個符合數(shù)學事實的結論一個重要的建議是化歸為課堂上已經解過的題，化歸為往年的高考題（或其變形）（3）高考解題的特殊性 高考解題與平時做作業(yè)的不同之處在于，解答高考題是在特定環(huán)境和特殊要求的條件下進行的，一道數(shù)學題成為高考題后，將具有不同于平時作業(yè)題的特性，如一道數(shù)學題成為高考題后，就成了一把“診斷、預測、甄別、選拔”的尺子（量表），已具有不同于平時作業(yè)題的諸多特性，如能力的代表性；（評價性質而非學習本身）分數(shù)的選拔性；（是考試就只能由成績來說話）時間的限定性；（有速度要求、不要求全做全對）評分的階段性（分段給分、分段扣分，做對的題會存在“潛在丟分”或“隱含失分”，而

37、不會做的題又可以得分不少）（4）高考解題需要我們迅速解決“從何處下手、向何方前進”這兩個基本問題，臨場的思維策略主要有模式識別，差異分析，數(shù)形結合，層次解決，當然，最重要的還是學會分析 （5）高考既是數(shù)學知識的較量又是心理素質的較量2-3 明確解題過程著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞寫過一本風靡世界的書，叫做怎樣解題，書中把解題過程分為四步：弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、回顧，并列出了一張解題表我們對解題表作通俗解說如下：（1）理解題意題目本身是“怎樣解這道題”的鑰匙只不過其中的積極提示往往是通過語言文字、公式符號以及它們之間的聯(lián)系間接地告訴我們所以，審題一定要逐字逐句看清楚，力求從語法結構、邏輯

38、關系、數(shù)學含義、答題形式、數(shù)據(jù)要求等各方面真正看懂題意特別要抓好審題的“三個要點、四個步驟”“三要點”是： 要點1：弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何首先，條件包括明顯寫出的和隱蔽地給予的，弄清條件就是要把它們都找出來；其次，也是更重要的，是弄清條件的數(shù)學含義，即看清楚條件所表達的到底是哪些數(shù)學概念、哪些數(shù)學關系題目的條件告訴我們從何處下手、預示“可知”并啟發(fā)解題手段，弄清了條件就等于弄清了行動的起點、也準備好了行進中的加油站 要點2：弄清題目的結論是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何題目的結論有的是明顯給出的，如“求證”題（還有選擇題等），關鍵是要弄清結論到底與哪些數(shù)學關系、哪些

39、數(shù)學概念有關；而有的題目結論是要我們去尋找的，如“求解”題、探索題（還有填空題等），這時的弄清結論，就是要弄清“求解”（探索）的性質或范圍，它們與哪些數(shù)學關系、哪些數(shù)學概念有關，以明確推理或演算的方向題目的結論告訴我們向何方前進、預告“需知”并引導解題方向弄清了結論就等于弄清了行動的目標、也隨身帶上了糾正偏差的指南針數(shù)學解題的心理活動總是由意識控制的、被目標支配的、受實踐的目的制導的要點3：弄清題目的條件和結論有哪些數(shù)學聯(lián)系，是一種什么樣的結構即在弄清條件的數(shù)學含義、結論的數(shù)學含義的基礎上，繼續(xù)弄清條件知識與結論知識之間存在哪些數(shù)學聯(lián)系，這些聯(lián)系就表現(xiàn)為題目的結構為了更接近問題的深層結構，審題

40、不僅開始于解題工作的第一步，而且貫穿于探求的過程與結果的反思應該是循環(huán)往復、不斷深化的過程 題目的條件和結論是“怎樣解這道題”的兩個信息源，審題的實質是從題目本身去獲取從何處下手、向何方前進的信息與啟示“4步驟”是：步驟1：讀題弄清字面含義審題首先要逐字逐句讀懂題目說了什么，按每分鐘閱讀300 400個印刷符號的速度計算，通常讀完一道題用不了一分鐘，但未必讀懂了，因而，還應該從語法結構、邏輯關系上作出分析，真正弄清哪些是條件，哪些是結論，各有幾個，這是讀題最實質性的工作其次要從答題形式、數(shù)據(jù)要求上明確題目的技術性細節(jié)，比如在考試中，有的題目要求用“定義”證明，有的題目要求用“數(shù)學歸納法”證明，

41、有的題目要求用數(shù)字回答，有的題目要求保留小數(shù)點幾位等等，如果不按這些要求來，解答就會被認為不完整（存在扣分的危險），雖然有的同學并非不會做步驟2：理解弄清數(shù)學含義看懂題目的字面含義還不能算真正審清題意，它只是為實質性的數(shù)學理解掃清了語言障礙，關鍵是要能進行文字語言、符號語言、形象語言之間的轉化，從題目的敘述中獲取數(shù)學“符號信息”，從題目的圖形中獲取數(shù)學“形象信息”，弄清題目的數(shù)學含義這當中，我們常常要“回到定義”、激活相關的數(shù)學知識，常常要輔以圖形或記號，使條件和結論都數(shù)學化，并被我們所理解 步驟3：表征識別題目類型信息在大腦的呈現(xiàn)叫做表征弄清條件、弄清結論的同時，條件與結論之間的關系會在頭腦

42、呈現(xiàn)，這種呈現(xiàn)不僅會激活相關的數(shù)學知識，而且也會調動相關的解題經驗對于大量的常規(guī)題來說，條件與結論之間的關系結構是記憶儲存所現(xiàn)成的每人的頭腦里都或多或少、或優(yōu)或劣儲存有基本模式與經典題型，題意弄清楚了，題型就得以識別，提取該題型的相應方法即可解決（叫做模式識別）即使是新的“陌生情景”，我們也有了解決它的邏輯起點與推理目標，繼而可以用“差異分析”、“層次解決”、“數(shù)形結合”等措施，進入下一階段擬定計劃解題所做的腦力工作就在于回憶他的經驗用得上的東西，并且和他的解題思維聯(lián)系起來步驟4：深化接近深層結構簡單題一旦弄清題意，題型就得以識別，思路隨之打通，但有時認識是淺層的對于變通過的、“形似而質異”的

43、、或綜合性較強的題目，則還要不停頓地“弄清問題”因而，“弄清題意”的工作在“識別題目類型”之后還結束不了，主要表現(xiàn)在兩個方面：其一是在思路探求中，還有一個繼續(xù)弄清題意的過程，否則會思路受挫、思維走偏；其二是在思路業(yè)已打通、解法初步得出時，仍有一個回顧反思、再認識的過程，即更本質的“弄清問題”、努力接近問題的深層結構 經驗表明，凡是題目未明顯寫出的，一定是隱蔽地給予的，只有細致地審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息，這一步不要怕“慢” （2）思路探求“擬定計劃”的過程是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，也是一個化歸過程，我們通常叫做尋找解題思路其最樸素的含義是，把待解決或未解決的問題，歸結為一類已經解決或

44、者比較容易解決的問題波利亞的建議是分兩步走：第一步，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系化歸為已經解決過的基本問題對于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就得以識別，記憶中關于這類題的解法就召之即來（叫做模式識別）第二步，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題作出某些必要的變更或修改，引進輔助問題等，這是最實質的曲折化歸為此，在“怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉換問題的30多個問句或建議，促使我們產生靈感與念頭（運用解題策略：以退求進、區(qū)分種種情況、正難則反、以及自始至終的數(shù)形結合等） 以退求進：可以先考慮問題的特殊情況，或先考慮問題的一部分，看清楚、想明白了再進退是手段、進是目的，“難

45、的不會想簡單的”是個好主意在具體實踐中，常常是進退互化區(qū)分種種情況：或是分解為一個個小步驟（分步）、或是分解為一個個小類型（分類），各個擊破、分別解決在具體實踐中，常常是分合并用正難則反：正面思考有困難時，可以調整思考的方向，轉而從結論入手（分析法、逆推法），或反面思考問題（反證法）在具體實踐中，常常是正反相輔數(shù)形結合：在探索的過程中，要始終不忘把數(shù)與形結合起來思考，既會把數(shù)式轉變?yōu)閳D形，又會把圖形轉變?yōu)閿?shù)式，注意發(fā)揮數(shù)與形的雙重優(yōu)勢 中學生尋找思路的一個便于操作的方法是分析法尋找思路的一個簡易可行的思考是“特殊化”，先退后進、以退求進此外，模式識別、差異分析、數(shù)形結合、層次解決都是非常有效的

46、解題策略高考中的化歸有兩個基本的途徑化歸為課堂上已經解過的題因為課堂和課本是學生知識資源的基本來源，也是學生解題體驗的主要引導離開了課本，學生還能從哪里找到解題依據(jù)、解題方法、解題體驗？還能從哪里找到解題靈感的撞針？高考解題一定要抓住“課本”這個根本因為課本是高考命題的基本依據(jù)有的試題直接取自教材，或為原題、或為類題；有的試題是課本概念、例題、習題的改編；有的試題是教材中的幾個題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開拓；少量難題也是按照課本內容設計的，在綜合性、靈活性上提出較高要求可以說，抓住了“化歸為課堂上已經解過的題”就抓住了多數(shù)考題化歸為往年的高考題（或其變形）（3）書寫解答就是把打通了的解

47、題思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具體表達出來，說服自己、說服朋友、說服論敵高考中就是要說服閱卷老師在實現(xiàn)計劃中“怎樣表達”，這對學生來說仍然是一個需要系統(tǒng)指導和嚴格訓練的問題我們建議記住15字口訣、24字要領15字口訣：“定方法、找起點、分層次、選定理、用文字”24字要領：方法簡單、起點明確、層次清楚、定理準確、論證嚴密、書寫規(guī)范（對于網上閱卷，還要安排好書寫的位置和字體的大小）（4）回顧反思 回顧的最起碼要求是復查檢驗，看計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多、更簡單的有的檢驗是解題的必要步驟，如分式方程、無理方程驗根，其求解過程是必要條件過程，充分性并未解決

48、，驗根之后，解題才算完成；有的檢驗是避免過失的技術性措施，像足球守門員把住最后一關更深層次的回顧表現(xiàn)為解題后對數(shù)學命題的重新認識和對解題方法的評價如解題中用到了哪些知識？哪些方法？是怎么想到它們的？困難在哪里？關鍵是什么？遇到過什么障礙？后來是怎么解決的？是否還有別的解決方法?更一般的方法？更特殊的方法？溝通其他學科的方法？更簡單的方法？同樣的方法能用來處理更一般性的命題嗎？命題能夠推廣嗎？條件能減弱嗎？結論能加強嗎？這些方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學思想？調動這些知識和方法體現(xiàn)了什么樣的解題策略？如此等等的思考不僅能改進和完善眼前的解題，而且能提煉出對未來解題有指導作用的信息它的長期積累會升華為人們

49、搜索、捕捉、分析、加工和運用信息能力的總和數(shù)學才能高考的回顧主要是復查檢驗，保證計算準確、推理合理、思維周密、避免過失 這4個步驟需要不斷的反饋調節(jié)（如圖5），即使4步完成了也存在反思改進的空間：有時候思路還比較麻煩，通過反饋調節(jié)而精簡；有時候思路還存在錯誤，通過反饋調節(jié)而糾正2-4 夯實解題基礎冒著過于簡單化的風險，解題可以理解為“把知識內容連接成一個邏輯鏈條”，因此，解題首先要有知識基礎和組織知識內容的思維能力，同時在調動和配置知識內容時還需要經驗與良好的心理所以，盡管解題的成功取決于我們尚未徹底弄清的多種因素，但最基本的應有：解題的知識因素，解題的能力因素，解題的經驗因素和解題的情感因素

50、，這也就是我們常說的解題基本功 （1）解題的知識因素（認知結構）人的思維依賴于必要的知識和經驗，數(shù)學知識正是數(shù)學解題思維活動的出發(fā)點與憑借豐富的知識并加以優(yōu)化的結構能為題意的本質理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件既然，解題就是把知識內容連接成一個邏輯鏈條，那么，沒有知識內容那來的知識邏輯鏈！（參見函數(shù)思維概念圖）要將知識按照自己的理解加以組織沒有知識談不上解題智慧不是別的，而是組織良好的知識體系（2）解題的能力因素（思維能力）數(shù)學解題中既有邏輯思維又有非邏輯思維，其主要成分是3種基本的數(shù)學能力：運算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，核心是能否掌握正確的思維方法，并表現(xiàn)于發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏稅、洞察力