新教材第0章第34節(jié)

1、0.3 0.3 距離空間 1 1 定義和舉例定義和舉例 2 2 收斂概念收斂概念 3 3 稠密性與完備性稠密性與完備性第2頁在高等數(shù)學中在泛函分析中將上述內(nèi)容推廣第3頁 1 1 定義和舉例距離空間距離公理第4頁例1：第5頁可見，同一空間可以定義不同的距離，從而形成不同的距離空間。第6頁思考：思考：第7頁常用不等式常用不等式1： Hlder不等式不等式2：Cauch不等式不等式第8頁常用不等式（常用不等式（2 2）3： Minkowski不等式第9頁例例2：第10頁第11頁例例1：第12頁例例4：第13頁例例5：第14頁第15頁第16頁第17頁 收斂概念收斂概念第18頁第19頁注：R1中有結(jié)論：

2、x n是收斂數(shù)列 x n是Cauchy數(shù)列。但在一般的距離空間中，該結(jié)論不成立。第20頁例例1：是是Q中的中的Cauchy點列，但不是收斂點列；點列，但不是收斂點列；第21頁例例2：第22頁距離空間的完備性距離空間的完備性結(jié)論：第23頁第24頁 0.4 0.4 賦范線性空間1 1 線性空間線性空間2 2 賦范線性空間賦范線性空間3 3 賦范線性空間中的各種收斂賦范線性空間中的各種收斂4 4 向量和矩陣的范數(shù)向量和矩陣的范數(shù)第26頁點列的極限是微積分中數(shù)列極限在抽象空間中的點列的極限是微積分中數(shù)列極限在抽象空間中的推廣，然而它是只有距離結(jié)構(gòu)、沒有代數(shù)結(jié)構(gòu)推廣，然而它是只有距離結(jié)構(gòu)、沒有代數(shù)結(jié)構(gòu)（

3、代數(shù)運算）的空間，在應用時受到許多限制。（代數(shù)運算）的空間，在應用時受到許多限制。目前，我們通過目前，我們通過距離距離的概念引入了的概念引入了點列的極限點列的極限。賦范線性空間賦范線性空間及及內(nèi)積空間，內(nèi)積空間，是距離結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的產(chǎn)物，是距離結(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合的產(chǎn)物，比距離空間有明顯的優(yōu)勢。比距離空間有明顯的優(yōu)勢。第27頁 1. 1.線性空間線性空間第28頁第29頁第30頁第31頁 2. 賦范線性空間賦范線性空間賦范線性空間范數(shù)公理第32頁注意：注意：因此，因此， 在范數(shù)意義下（以后均指這種情況）是在范數(shù)意義下（以后均指這種情況）是距離空間距離空間 ，稱為，稱為由范數(shù)導出的距離空間

4、由范數(shù)導出的距離空間。驗證得知驗證得知 滿足距離的三條公理。滿足距離的三條公理。第33頁第34頁 常見賦范線性空間常見賦范線性空間例1:第35頁例2:例3:第36頁第37頁第38頁按范數(shù)收斂按范數(shù)收斂第39頁（1）范數(shù)的有界性）范數(shù)的有界性第40頁（3）線性運算按范數(shù)收斂的連續(xù)性）線性運算按范數(shù)收斂的連續(xù)性（2）范數(shù)的連續(xù)性）范數(shù)的連續(xù)性第41頁3）范數(shù)的等價性）范數(shù)的等價性第42頁范數(shù)等價判別定理范數(shù)等價判別定理第43頁3. 賦范線性空間中的各種收斂賦范線性空間中的各種收斂第44頁第45頁第46頁結(jié)論：第47頁4.4.向量與矩陣范數(shù)向量與矩陣范數(shù)第48頁第49頁性質(zhì)性質(zhì)2（等價性）（等價性）性質(zhì)性質(zhì)1（連續(xù)性）（連續(xù)性）范數(shù)的等價性保證了運用具體范數(shù)研究范數(shù)的等價性保證了運用具體范數(shù)研究收斂性在理論上的合法性和一般性收斂性在理論上的合法性和一般性第50頁第51頁定理：定理：第5