奈維-斯托克斯知識點

1、Hefei University化工傳遞過程基礎(chǔ)題 目：奈維斯托克斯方程系 別：化學(xué)材料與工程系班 級：12級化工（3）班姓 名： 唐楠楠 學(xué) 號：1203023002教 師：胡坤宏日 期：2014-03-261、 基本簡介奈維-斯托克斯方程（英文名；Navier-Stokes equations），描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程，簡稱N-S方程。是牛頓第二定律在粘性流體運動時的具體表達式。等式左邊是流體微元的加速度和質(zhì)量之積，右端是作用于其上的合外力，也可將該方程看作是慣性力.重力.壓力和粘性力這四種力的平衡。 1821年由C.-L.-M.-H.奈維和1845年由G.G.斯托克斯分別

2、導(dǎo)出而得名，是一組描述象液體和空氣這樣的流體物質(zhì)的方程。這些方程建立了流體的粒子動量的改變率(加速度)和作用在液體內(nèi)部的壓力的變化和耗散粘滯力(類似于摩擦力)以及重力之間的關(guān)系。這些粘滯力產(chǎn)生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，奈維-斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區(qū)域的力的動態(tài)平衡。他們是最有用的一組方程之一，因為它們描述了大量對學(xué)術(shù)和經(jīng)濟有用的現(xiàn)象的物理過程。它們可以用于模擬天氣、洋流、管道中的水流、星系中恒星的運動、翼型周圍的氣流。它們也可以用于飛行器和車輛的設(shè)計、血液循環(huán)的研究、電站的設(shè)計、污染效應(yīng)的分析，等等。Navier Stokes(奈維葉斯托克斯)方程是流體力學(xué)中描

3、述粘性牛頓流體的方程，是目前為止尚未被完全解決的方程，目前只有大約一百多個特解被解出來，是最復(fù)雜的方程之一。二、N-S方程的意義當(dāng)流體運動時，相鄰兩流體隔離體之間的相互作用，一方面體現(xiàn)為壓力(一般說來，壓力這個量依賴于密度和溫度)；另一方面體現(xiàn)為粘性力（而粘性力和變形率有關(guān)）。斯托克斯假設(shè)應(yīng)力張量同變形率張量成正比。在最一般的情形下，用直角坐標(biāo)系x、y、z和時間t作自變量，這些方程把速度的三個分量u、w 同密度、壓力p用下列三個微分方程聯(lián)系起來：N-S方程相配的固體壁邊界條件是緊靠固體壁的流體附著在固體壁上，并和固體壁同速運動，這叫做流體的附著條件.同歐拉方程相比，N-S方程多了同粘性有關(guān)的項

4、（包含和的項），它們的項數(shù)多、階次高；固體壁邊界條件也多，附著條件比歐拉方程的繞流條件（即允許流體沿固體壁滑過去，也就是比允許沿固體壁切面方向，流體有不同于固體壁的分速度）增多了要求?？梢娊?N-S方程比解歐拉方程難得多。用位勢流理論可以求解歐拉方程，但不用它解N-S方程，關(guān)鍵在于滿足不了附著條件。在很多情形下，流線型物體的邊界層的厚度可以不計（或者是把它理解成固體壁的加厚），邊界層以外的粘性力（粘度小、變形率也?。┮部梢圆挥?見雷諾數(shù))，那就相當(dāng)于在納維-斯托克斯方程中置='=0，使N-S方程就變成了歐拉方程。方程簡化了，固體壁處的條件也就松了，即可將繞流條件代替附著條件。納維-斯托

5、克斯方程同歐拉方程的上述關(guān)系（包括邊界條件），說明了在流體力學(xué)中不同形式的基本運動方程之間的邏輯上的和諧一致.從1845年納維-斯托克斯方程建立起，準(zhǔn)確滿足這方程的有實際意義的解還不多。在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出適用于可壓縮流體的奈維-斯托克斯方程。以應(yīng)力表示的運動方程，需補充方程才能求解。奈維-斯托克斯方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學(xué)規(guī)律，在流體力學(xué)中有十分重要的意義。它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和復(fù)雜，在求解思路或技術(shù)沒有進一步發(fā)展和突破前只有在某些十分簡單的流動問題上能求得精確解；但在有些情況下，可以簡化方程而得到近似解。例如當(dāng)雷諾數(shù)時，繞流物體邊界層外，粘性力遠(yuǎn)小于慣性力

6、，方程中粘性項可以忽略，奈維-斯托克斯方程簡化為理想流動中的歐拉方程；而在邊界層內(nèi)，奈維-斯托克斯方程又可簡化為邊界層方程，等等。在計算機問世和迅速發(fā)展以后，奈維-斯托克斯方程的數(shù)值求解才有了很大的發(fā)展。三、對N-S的基本假設(shè)在解釋奈維-斯托克斯方程的具體細(xì)節(jié)之前，我們必須對流體作出幾個必要的假設(shè)。第一個假設(shè)就是流體要連續(xù)的，這強調(diào)它不包含形成內(nèi)部的空隙，例如：溶解的氣體的氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。而另一個必要的假設(shè)則是所有涉及到的場，全部是可微的，例如壓強P、速度v、密度、溫度Q等等。該方程從質(zhì)量、動量和能量的守恒的基本原理導(dǎo)出。對此，有時必須考慮一個有限的任意體積，稱為控制體積，在

7、其上這些原理很容易應(yīng)用。該控制體積可以在空間中固定也可能隨著流體運動。4、 用應(yīng)力表示的運動方程X方向上以應(yīng)力表示的力-動量衡算方程 (1-1a)Y方向上以應(yīng)力表示的力-動量衡算方程 (1-1b)Z方向上以應(yīng)力表示的力-動量衡算方程 (1-1c)上式稱為以應(yīng)力表示的粘性流體的運動方程，它是進一步推倒奈維-斯托克斯方程的基礎(chǔ)，在式（1-1a）（1-1c）中，共有9個表面應(yīng)力。其中3個是法向應(yīng)力，即；6個是剪應(yīng)力，即。這6個剪應(yīng)力變量彼此并非相互獨立的。五、牛頓型流體的運動方程X分量 （1-2a）Y分量 （1-2b）Z分量 （1-2c）將以上三式寫成向量形式，為 （1-2d） 上式（1-2a）（1

8、-2d）稱為牛頓型流體的運動方程，或奈維斯托克斯方程。該方程對穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)流動、可壓縮或不可壓縮流體、理想或?qū)嶋H流體均適用。但需指出，本構(gòu)方程是針對牛頓型流體而言的，故該方程僅適用于牛頓型流體。對于不可壓縮流體，=常數(shù)，此時無論是穩(wěn)態(tài)流動還是非穩(wěn)態(tài)流動，連續(xù)性方程為 (1-3)將(1-3)帶入奈維斯托克斯方程有X分量 (1-4a)Y分量 (1-4b)Z分量 (1-4c)寫成向量形式，為 （1-5）式中為流體的運動粘度，或稱動量擴散系數(shù)。6、 奈維斯托克斯方程的分析（1） 方程組的可解性以直角坐標(biāo)系下的奈維-斯托克斯方程式（1-2a）（1-2c）為例討論，對于等溫流動（），方程中共有5個未知量，

9、即。而方程亦有5個，三個方向的N-S方程，連續(xù)性方程及（1-2a）（1-2c），以及流體的狀態(tài)方程。因此，方程是閉合的，只要滿足邊界條件和初始條件（初始條件僅僅對非穩(wěn)態(tài)傳遞才需要給出）原則上講，奈維-斯托克斯方程是可以用數(shù)學(xué)方法求解的。但事實上，到目前為止，還無法將奈維-斯托克斯方程的普遍解求出。其原因是方程組的非線性以及邊界條件的復(fù)雜性，只有針對某些特定的簡單情況才可能求得其解析解。這也間接的證明了推導(dǎo)該方程時所作的假定是合理的。（2） 初始條件與邊界條件對于具體的流體問題，在求解運動方程時給一定的初始及邊界條件。初始條件指時，在所考慮的問題中給出下述條件：邊界條件的形式很多，下面僅列出3種

10、最常見的邊界條件。1、 靜止固面：在靜止固面上，由于流體具有黏性，u=0。2、 運動固面：在運動固面上，流體應(yīng)滿足u流=u固。3、 自由表面：自由表面指一個流動的液體暴露于空氣中的部分界面。在自由表面上應(yīng)滿足 上式表明，在自由表面上法向應(yīng)力分量在數(shù)值上等于氣體的壓力，而剪應(yīng)力分量等于零。（3） 關(guān)于重力項的處理多數(shù)實際問題中，其體積力為重力，即奈維-斯托克斯方程中的為單位質(zhì)量流體的重力g（重力加速度）。對于不可壓縮流體有 （1-6a） （1-6b） （1-6c）式中為流體的靜壓力（static pressure）。將以上3式帶入（1-4），可得 （1-7a） （1-7b） （1-7c）令 （1

11、-8）式中為流體的動力壓力（dynamic pressure），簡稱動壓力，它是流體流動所需的壓力。將（1-8）帶入（1-7），可得 （1-8a） （1-8c） （1-8c）寫成向量形式為 （1-9）式中（1-8）（1-9）是以動壓力梯度表示的運動方程,式中不出現(xiàn)重力項。七、奈維斯托克斯方程的量綱分析量綱分析法是通過對描述某一過程或現(xiàn)象的物理量進行量綱分析，將物理量組合為無量綱的變量，然后借助實驗數(shù)據(jù)建立這些無量綱變量間的關(guān)系式。以不可壓縮流體的運動學(xué)為例，寫出不可壓縮流體流動的奈維斯托克斯方程在x方向上的分量如下： （1-10）令x的正方向為垂直向下，則X=g。顯然，上式各項量綱相同，單位均為N/kg。如果用一個特征速度u和一個特征長度l分別表示方程中所有的速度分量以及所有的距離坐標(biāo)x