有理函數(shù)積分法PPT課件

1、第五節(jié) 有理函數(shù)積分一.有理函數(shù)設(shè))(xPn與)(xQm分別為n次與m次多項式,則形如)()(xQxPmn的函數(shù),稱為有理函數(shù).mn )()(xQxPmn)()(xQxPmn稱為假分式mn 稱為真分式(1)定義第1頁/共18頁(2)任何一個假分式都可以通過多項式除法化為一個多項式與一個真分式之和.例如 143xx)14()444(2 xxx 135223xxxx13812)3(2 xxxx第2頁/共18頁二.真分式分解為簡單分式對真分式)()(xQxPmn有如下結(jié)論:1.如果)(xQm含有因子,)(kax 則)()(xQxPmn分解式中必含有下述分式:kkaxAaxAaxA)()(221 2.

2、如果)(xQm含有因子,)(2kqpxx 則)()(xQxPmn分解式中必含有下述分式:kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB)()(22222211 第3頁/共18頁例1將2)2)(1(12 xxx分解為簡單分式.解 2)2)(1(12xxx2)2(21 xCxBxA22)2)(1(24)4()( xxCBAxBACxBA2)2)(1(12 xxx 0 BA24 BAC124 CBA91 A91 B35 C 2)2)(1(12xxx.)2(35)2(91)1(912 xxx第4頁/共18頁例2將313xx 分解為簡單分式.解 313xx211xxCBxxA 0 BA3 ACB0 C

3、A1 A1 B1 C )1)(1(32xxxx313xx 321)()()(xCAxACBxBA 313xx .11112xxxx 313xx 第5頁/共18頁例3將222)1(1 xxx分解為簡單分式.解222)1(1xDCxxBAx 2223)1()()(xDBxCABxAx 0 A1 B1 CA0 A1 B1 C 222)1(1xxx222)1(1 xxx1 DB2 D 222)1(1xxx.)1(211222xxx 第6頁/共18頁三.簡單分式的積分類型1類型3類型4類型2dxax 1dxaxn )(1dxqpxxBAx 2dxqpxxBAxn )(2類型1 dxax1 )(1axda

4、x.lncax 類型2dxaxn )(1 )()(1axdaxn.)(1111caxnn 第7頁/共18頁dxqpxxBAx 2dxqpxxpABpxA 2)2()2(2dxqpxxpxA 222)(1222qpxxdqpxxA qpxxA 2ln2dxqpxxApB 21)2(dxqpxxApB 21)2(dxqpxxApB 21)2(類型3第8頁/共18頁dxqpxxApBqpxxA 221)2(ln2qpxxA 2ln2qpxxA 2ln2qpxxA 2ln2dxpqpxApB 222)4()2(1)2()2()4()2(1)2(222pxdpqpxApB cpqpxpqApB 4/ )

5、2arctan(4/ )2(22第9頁/共18頁類型4dxqpxxBAxn )(2dxqpxxpxAn )(222)()(1222qpxxdqpxxAn 12)(1112 nqpxxnAdxqpxxApBn )(1)2(2dxqpxxApBn )(1)2(2dxqpxxApBn )(1)2(2dxqpxxpABpxAn )()2()2(22第10頁/共18頁12)(1112 nqpxxnA12)(1112 nqpxxnA)2()2()2(1)2(22pxdpqpxApBn dxqpxxApBn )(1)2(2利用上節(jié)例10結(jié)果第11頁/共18頁例4 求.133dxxx 解 dxxx313dxx

6、xxx)1111(2 x 1lnx 1lnx 1lnx 1ln21ln211lnxxx dxxxx 2123)12(21dxxxx 211dxxxx 211221dxxx 2112321ln21xx )21()23()21(12322 xdx.312arctan3cx 第12頁/共18頁例5 求.)1(1222 dxxxx解 dxxxx222)1(1dxxxx)1(211222 xarctan xarctan dxxx 22)1(221dxx 22)1(221121x dxx 22)1(12dxxxx 22)1(2arctanxarctan dxxx 22)1(2221第13頁/共18頁dxxxx 222)1(121121arctan dxxxx222)1(1令txtan 則tdtdx2sec dxx22)1(1dttt 222sec)tan1(1dtt 2cosdtt )2cos1(21ctt )2sin21(21cttt )cossin(21cxxx )1(arctan212.)1(2212cxx dxxxx222)1(1故第14頁/共18頁作業(yè)題1.習題五(A) 9.2.習題五(B).第15頁/共18頁本章基本要求1.理解原函數(shù)和不定積分的概念.2.掌