第7講立體幾何中的向量方法一

1、第7講立體幾何中的向量方法(一)【2013年高考會(huì)這樣考】1通過線線、線面、面面關(guān)系考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算2能用向量方法證明直線和平面位置關(guān)系的一些定理3利用空間向量求空間距離【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)中要掌握空間向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，會(huì)找直線的方向向量和平面的法向量，并通過它們研究線面關(guān)系，會(huì)用向量法求空間距離基礎(chǔ)梳理1空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；a(a1，a2，a3)；a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)

2、a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b.設(shè)a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則dab|.2立體幾何中的向量方法(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量：l是空間一直線，a，b是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方

3、程組為(2)用向量證明空間中的平行關(guān)系設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.設(shè)直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使vxv1yv2.設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu.設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2.(3)用向量證明空間中的垂直關(guān)系設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1·v20.設(shè)直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu.設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1·u20.(4)點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)ab

4、為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離d. 一種思想向量是既有大小又有方向的量，而用坐標(biāo)表示向量是對共線向量定理、共面向量定理和空間向量基本定理的進(jìn)一步深化和規(guī)范，是對向量大小和方向的量化：(1)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，其終點(diǎn)坐標(biāo)即向量坐標(biāo)；(2)向量坐標(biāo)等于向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去其起點(diǎn)坐標(biāo)得到向量坐標(biāo)后，可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計(jì)算空間成角和距離等問題 三種方法主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決下列問題：(1)平行(2)垂直(3)點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面距離是向量數(shù)量積運(yùn)算(求投影)的具體應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線與平面距離和平面與平面距離的基礎(chǔ)雙

5、基自測1兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是()a平行 b相交 c垂直 d不確定解析v22v1，v1v2.答案a2已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)m(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量是n(6，3,6)，則下列點(diǎn)p中在平面內(nèi)的是()ap(2,3,3) bp(2,0,1)cp(4,4,0) dp(3，3,4)解析n(6，3,6)是平面的法向量，n，在選項(xiàng)a中，(1,4,1)，n·0.答案a3(2011·唐山月考)已知點(diǎn)a，b，c平面，點(diǎn)p，則·0，且·0是·0的()a充分不必要條件 b必要不充分條件

6、c充要條件 d既不充分也不必要條件解析由，得·()0，即·0，亦即·0，反之，若·0，則·()0··，未必等于0.答案a4(人教a版教材習(xí)題改編)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，則下列結(jié)論正確的是()aac，bc bab，accac，ab d以上都不對解析c(4，6,2)2(2，3,1)2a，ac，又a·b2×2(3)×01×40，ab.答案c5(2012·舟山調(diào)研)已知(2,2,1)，(4,5,3)，則平面abc的單位法向量是_解析設(shè)平面abc的法

7、向量n(x，y，z)則即令z1，得n，平面abc的單位法向量為±±.答案±考向一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖所示，在正方體abcd­a1b1c1d1中，m、n分別是c1c、b1c1的中點(diǎn)求證：mn平面a1bd.審題視點(diǎn) 直接用線面平行定理不易證明，考慮用向量方法證明證明法一如圖所示，以d為原點(diǎn)，da、dc、dd1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則m，n，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，于是，設(shè)平面a1bd的法向量是n(x，y，z)則n·0，且n·0，得取x1，得y1

8、，z1.n(1，1，1)又·n·(1，1，1)0，n，又mn平面a1bd，mn平面a1bd.法二()，又mn與da1不共線，mnda1，又mn平面a1bd，a1d平面a1bd，mn平面a1bd. 證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計(jì)算問題【訓(xùn)練1】 如圖所示，平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad2，e、f、g分別是線段pa、pd、cd的中點(diǎn)求證：pb平面efg.證明平面pad平面abcd且abc

9、d為正方形，ab、ap、ad兩兩垂直，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a­xyz，則a(0,0,0)、b(2,0,0)、c(2,2,0)、d(0,2,0)、p(0,0,2)、e(0,0,1)、f(0,1,1)、g(1,2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，設(shè)st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又與不共線，、與共面pb平面efg，pb平面efg.考向二利用空間向量證明垂直問題【例2】如圖所示，在棱長為1的正方體oabc­o1a1b1c1中，e，f分別是棱ab，bc上的動(dòng)點(diǎn)，且aebfx，其中0x1，以o為原點(diǎn)

10、建立空間直角坐標(biāo)系o­xyz.(1)求證a1fc1e；(2)若a1，e，f，c1四點(diǎn)共面求證：.審題視點(diǎn) 本題已建好空間直角坐標(biāo)系，故可用向量法求解，要注意找準(zhǔn)點(diǎn)的坐標(biāo)證明(1)由已知條件a1(1,0,1)，f(1x,1,0)，c1(0,1,1)，e(1，x,0)，(x,1，1)，(1，x1，1)，則·x(x1)10，即a1fc1e.(2)(x,1，1)，(1,1,0)，(0，x，1)，設(shè)，解得，1. 證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明【訓(xùn)練2】 如圖所示，在四棱錐p­abcd中，pa底

11、面abcd，abad，accd，abc60°，paabbc，e是pc的中點(diǎn)證明：(1)aecd；(2)pd平面abe.證明ab、ad、ap兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)paabbc1，則p(0,0,1)(1)abc60°，abc為正三角形c，e.設(shè)d(0，y,0)，由accd，得·0，即y，則d，.又，·××0，即aecd.(2)法一p(0,0,1)，.又·××(1)0，即pdae.(1,0,0)，·0，pdab，又abaea，pd平面aeb.法二(1,0,0)，設(shè)平面abe的一個(gè)法

12、向量為n(x，y，z)，則令y2，則z，n(0,2，)，顯然n.n，平面abe，即pd平面abe.考向三利用向量求空間距離【例3】在三棱錐sabc中，abc是邊長為4的正三角形，平面sac平面abc，sasc2，m、n分別為ab、sb的中點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)b到平面cmn的距離 審題視點(diǎn) 考慮用向量法求距離，距離公式不要記錯(cuò)解取ac的中點(diǎn)o，連接os、ob.sasc，abbc，acso，acbo.平面sac平面abc，平面sac平面abcac，so平面abc，sobo.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系o­xyz，則b(0,2，0)，c(2,0,0)，s(0,0,2)，m(1，0)，n(0，

13、)(3，0)，(1,0，)，(1，0)設(shè)n(x，y，z)為平面cmn的一個(gè)法向量，則取z1，則x，y，n(，1)點(diǎn)b到平面cmn的距離d. 點(diǎn)到平面的距離，利用向量法求解比較簡單，它的理論基礎(chǔ)仍出于幾何法，如本題，事實(shí)上，作bh平面cmn于h.由及·nn·，得|·n|n·|·|n|，所以|，即d.【訓(xùn)練3】 (2010·江西)如圖，bcd與mcd都是邊長為2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2.(1)求點(diǎn)a到平面mbc的距離；(2)求平面acm與平面bcd所成二面角的正弦值解取cd中點(diǎn)o，連ob，om，則obcd，

14、omcd.又平面mcd平面bcd，則mo平面bcd.取o為原點(diǎn)，直線oc、bo、om為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖obom，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)(1)設(shè)n(x，y，z)是平面mbc的法向量，則(1，0)，(0，)，由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0,2)，則d.(2)(1,0，)，(1，2)設(shè)平面acm的法向量為n1(x，y，z)，由n1，n1得解得xz，yz，取n1(，1,1)又平面bcd的法向量為n2(0,0,1)所以cosn1，n2.設(shè)所求二面角為，則sin .規(guī)范解答15立體幾何中的探索性問題【問題

15、研究】 高考中立體幾何部分在對有關(guān)的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系考查的同時(shí)，往往也會(huì)考查一些探索性問題，主要是對一些點(diǎn)的位置、線段的長度，空間角的范圍和體積的范圍的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，這類題目往往難度都比較大，設(shè)問的方式一般是“是否存在？存在給出證明，不存在說明理由.”【解決方案】 解決存在與否類的探索性問題一般有兩個(gè)思路：一是直接去找存在的點(diǎn)、線、面或是一些其他的量；二是首先假設(shè)其存在，然后通過推理論證或是計(jì)算，如果得出了一個(gè)合理的結(jié)果，就說明其存在；如果得出了一個(gè)矛盾的結(jié)果，就說明其不存在.【示例】 (本小題滿分14分) (2011·福建)如圖，四棱錐pabcd中，

16、pa底面abcd.四邊形abcd中，abad，abad4，cd，cda45°.(1)求證：平面pab平面pad；(2)設(shè)abap.()若直線pb與平面pcd所成的角為30°，求線段ab的長；()在線段ad上是否存在一個(gè)點(diǎn)g，使得點(diǎn)g到點(diǎn)p、b、c、d的距離都相等？說明理由 (1)可先根據(jù)線線垂直，證明線面垂直，即可證得面面垂直(2)由于題中pb與平面pcd所成的角不好作出，因此用向量法求解至于第2小問，可先假設(shè)點(diǎn)g存在，然后推理得出矛盾或列出方程無解，從而否定假設(shè)解答示范(1)因?yàn)閜a平面abcd，ab平面abcd，所以paab.又abad，paada，所以ab平面pad.

17、又ab平面pab，所以平面pab平面pad.(4分)(2)以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系axyz(如圖)在平面abcd內(nèi)，作ceab交ad于點(diǎn)e，則cead.在rtcde中，decd·cos 45°1，cecd·sin 45°1.設(shè)abapt，則b(t,0,0)，p(0,0，t)由abad4得，ad4t，所以e(0,3t,0)，c(1,3t,0)，d(0,4t,0)，c(1,1,0)，p(0,4t，t)(6分)()設(shè)平面pcd的法向量為n(x，y，z)，由nc，np，得取xt，得平面pcd的一個(gè)法向量n(t，t,4t)又p(t,0，t)，故由直線pb

18、與平面pcd所成的角為30°得cos 60°，即，解得t或t4(舍去)，因?yàn)閍d4t0，所以ab.(9分)()法一假設(shè)在線段ad上存在一個(gè)點(diǎn)g，使得點(diǎn)g到p，b，c，d的距離都相等，設(shè)g(0，m,0)(其中0m4t)，則g(1,3tm,0)，g(0,4tm,0)，g(0，m，t)由|g|g|得12(3tm)2(4tm)2，即t3m；(1)由|g|g|得(4tm)2m2t2.(2)由(1)、(2)消去t，化簡得m23m40.(3)(12分)由于方程(3)沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段ad上不存在一個(gè)點(diǎn)g，使得點(diǎn)g到點(diǎn)p、c、d的距離都相等從而，在線段ad上不存在一個(gè)點(diǎn)g，使得點(diǎn)g到點(diǎn)p、b、c、d的距離都相等(14分)法二(1)同法一(2)()以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系axyz(如圖)在平面abcd內(nèi)，作ceab交ad于點(diǎn)e，則cead.在rtcde中，decd·cos 45°1，cecd·sin 45°1.設(shè)abapt，則b(t,0,0)，p(0,0，t)，由abad4得ad4t. 所以e(0,3t,0)，c(1,3t,0)，d(0,4t,0)，c(1,1,0)，p(0,4t，t)設(shè)平面pcd的法向