第5講直線平面垂直的判定及其性質

1、第5講直線、平面垂直的判定及其性質【2013年高考會這樣考】1以選擇題、填空題的形式考查垂直關系的判定，經(jīng)常與命題或充要條件相結合2以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定考查空間想象能力、邏輯思維能力，考查轉化與化歸思想的應用能力3能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，運用公理、定理和已獲得的結論，證明一些有關空間中線面垂直的有關性質和判定定理的簡單命題【復習指導】1垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€解答題出現(xiàn)，所以是高考的熱點，是復習的重點縱觀歷年來的高考題，立體幾何中沒有難度過大的題，所以復習要抓好三基：基礎知識，基本方法，基本能力2要重視和研究數(shù)學思想、數(shù)學方法在本講中“化歸

2、”思想尤為重要，不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關系是解題的突破口基礎梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面(2)直線和平面垂直的性質直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一直線的兩平面平行2斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的

3、一條垂線，則這兩個平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面一個關系垂直問題的轉化關系三類證法(1)證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90°；平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質：a，bab；線面垂直的性質：a，bab.(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性質：，aa；面面垂直的性質：，l，a，ala.(3)證明面面垂直的方法利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.雙基自測1(人教a版教材習題改編)

4、下列條件中，能判定直線l平面的是()al與平面內(nèi)的兩條直線垂直bl與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直cl與平面內(nèi)的某一條直線垂直dl與平面內(nèi)任意一條直線垂直解析由直線與平面垂直的定義，可知d正確答案d2(2012·安慶月考)在空間中，下列命題正確的是()a平行直線的平行投影重合b平行于同一直線的兩個平面平行c垂直于同一平面的兩個平面平行d垂直于同一平面的兩條直線平行解析選項a，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項b，兩個相交平面的交線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個平面；選項c，兩個相交平面可以同時垂直于同一個平面；選項d正確答案d3(2012·蘭州模擬)用a，b，c

5、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；若a，b，則ab；若a，b，則ab. 其中真命題的序號是()a b c d解析由公理4知是真命題在空間內(nèi)ab，bc，直線a、c的關系不確定，故是假命題由a，b，不能判定a、b的關系，故是假命題是直線與平面垂直的性質定理答案c4(2011·聊城模擬)設a、b、c表示三條不同的直線，、表示兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是()a.cb.bcc.cd.b解析由a，b可得b與的位置關系有：b，b，b與相交，所以d不正確答案d5如圖，已知pa平面abc，bcac，則圖中直角三角形的個數(shù)為_解析由線面垂直

6、知，圖中直角三角形為4個答案4考向一直線與平面垂直的判定與性質【例1】(2011·天津改編)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，adc45°，adac1，o為ac的中點，po平面abcd.證明：ad平面pac.審題視點 只需證adac，再利用線面垂直的判定定理即可證明adc45°，且adac1.dac90°，即adac，又po平面abcd，ad平面abcd，poad，而acpoo，ad平面pac. (1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性質(2)線面垂直的性質，常用來證明線線垂直【訓練1】 如圖，

7、已知bd平面abc，mc綉bd，acbc，n是棱ab的中點求證：cnad.證明bd平面abc，cn平面abc，bdcn.又acbc，n是ab的中點cnab.又bdabb，cn平面abd.而ad平面abd，cnad.考向二平面與平面垂直的判定與性質【例2】如圖所示，在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，abdc，pad是等邊三角形，已知bd2ad8，ab2dc4.m是pc上的一點，證明：平面mbd平面pad.審題視點 證明bd平面pad，根據(jù)已知平面pad平面abcd，只要證明bdad即可證明在abd中，由于ad4，bd8，ab4，所以ad2bd2ab2.故adbd.又平面pad平面ab

8、cd，平面pad平面abcdad，bd平面abcd，所以bd平面pad.又bd平面mbd，故平面mbd平面pad. 面面垂直的關鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有：判定定理法、平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面)、面面垂直性質定理法，本題就是用的面面垂直性質定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法【訓練2】 如圖所示，在長方體abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m是棱cc1的中點證明：平面abm平面a1b1m.證明a1b1平面b1c1cb，bm平面b1c1cb，a1b1bm，由已知易得b1m，又bm，b1b2，b1m2b

9、m2b1b2，b1mbm.又a1b1b1mb1，bm平面a1b1m.而bm平面abm，平面abm平面a1b1m.考向三平行與垂直關系的綜合應用【例3】如圖，在四面體abcd中，cbcd，adbd，點e、f分別是ab、bd的中點求證：(1)直線ef平面acd；(2)平面efc平面bcd.審題視點 第(1)問需證明efad；第(2)問需證明bd平面efc.證明(1)在abd中，因為e、f分別是ab、bd的中點，所以efad.又ad平面acd，ef平面acd，所以直線ef平面acd. (2)在abd中，因為adbd，efad，所以efbd.在bcd中，因為cdcb，f為bd的中點，所以cfbd.因為

10、ef平面efc，cf平面efc，ef與cf交于點f，所以bd平面efc.又因為bd平面bcd，所以平面efc平面bcd. 解答立體幾何綜合題時，要學會識圖、用圖與作圖圖在解題中起著非常重要的作用，空間平行、垂直關系的證明，都與幾何體的結構特征相結合，準確識圖，靈活利用幾何體的結構特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關系是證明的關鍵【訓練3】 如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.(1)求證：af平面bde；(2)求證：cf平面bde. 證明(1)設ac與bd交于點g.因為efag，且ef1，agac1.所以四邊形agef為平行四邊形，所以afeg.

11、因為eg平面bde，af平面bde，所以af平面bde.(2)如圖，連接fg.因為efcg，efcg1，且ce1，所以四邊形cefg為菱形所以cfeg.因為四邊形abcd為正方形，所以bdac.又因為平面acef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef. 所以cfbd.又bdegg.所以cf平面bde.考向四線面角【例4】(2012·無錫模擬)如圖，四棱錐pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，點e在棱pb上(1)求證：平面aec平面pdb；(2)當pdab，且e為pb的中點時，求ae與平面pdb所成的角的大小審題視點 (1)轉化為證明ac平面pdb；(

12、2)ae與平面pdb所成的角即為ae與它在平面pdb上的射影所成的角(1)證明四邊形abcd是正方形，acbd.pd底面abcd，pdac.又pdbdd，ac平面pdb.又ac平面aec，平面aec平面pdb.(2)解設acbdo，連接oe.由(1)知，ac平面pdb于點o，aeo為ae與平面pdb所成的角點o、e分別為db、pb的中點，oepd，且oepd.又pd底面abcd，oe底面abcd，oeao.在rtaoe中，oepdabao，aeo45°.即ae與平面pdb所成的角為45°. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：(1)找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面

13、上的射影來完成；(2)計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解【訓練4】 (2012·麗水質檢)如圖，已知dc平面abc，ebdc，acbceb2dc2，acb120°，p，q分別為ae，ab的中點(1)證明：pq平面acd；(2)求ad與平面abe所成角的正弦值(1)證明因為p，q分別為ae，ab的中點，所以pqeb.又dceb，因此pqdc，pq平面acd，dc平面acd，從而pq平面acd.(2)解如圖，連接cq，dp.因為q為ab的中點，且acbc，所以cqab.因為dc平面abc，ebdc，所以eb平面abc.因此cqeb，又abebb，故cq平面abe

14、.由(1)有pqdc，又pqebdc，所以四邊形cqpd為平行四邊形，故dpcq，因此dp平面abe，dap為ad和平面abe所成的角，在rtdpa中，ad，dp1，sindap.因此ad和平面abe所成角的正弦值為.閱卷報告11證明過程推理不嚴密而丟分【問題診斷】 高考對空間線面關系的考查每年必有一道解答題，難度為中低檔題，大多數(shù)考生會做而得不到全分，往往因為推理不嚴密，跳步作答所致.【防范措施】 解題過程要表達準確、格式要符合要求.每步推理要有根有據(jù).計算題要有明確的計算過程，不可跨度太大，以免漏掉得分點.引入數(shù)據(jù)要明確、要寫明已知、設等字樣.要養(yǎng)成良好的書寫習慣.【示例】(2011

15、83;江蘇)如圖，在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60°，e，f分別是ap，ad的中點求證：(1)直線ef平面pcd；(2)平面bef平面pad.錯因在運用判定定理時漏掉關鍵條件致使推理不嚴謹致誤實錄(1)在pad中，因為e，f分別為ap、ad的中點，所以efpd，所以ef平面pcd.(2)abd為正三角形，bfad，又平面pad平面abcdbf平面pad，平面bef平面pad.正解(1)在pad中，因為e，f分別為ap，ad的中點，所以efpd.又因為ef平面pcd，pd平面pcd，所以直線ef平面pcd.(2)如圖，連結bd.因為abad，bad60°，所以abd為正三角形因為f是ad的中點，所以bfad.因為平面pad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcdad，所以bf平面pad.又因為bf平面bef，所以平面bef平面pad.【試一試】 如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為a的正方形，e、