數(shù)學(xué)歸納法在高等代數(shù)中的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)歸納法在高等代數(shù)中的應(yīng)用 內(nèi)容摘要：文章主要通過實例介紹了數(shù)學(xué)歸納法在多項式、排列、行列式、矩陣、二次型、線性空間、線性變換等方面的應(yīng)用簡單的做了匯總，說明了數(shù)學(xué)歸納法在解決高等代數(shù)實際問題中的重要作用.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 高等代數(shù) 應(yīng)用在高等代數(shù)課本中我們經(jīng)常用第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法來證明許多的定理，但是課本中卻沒有數(shù)學(xué)歸納法明確的定義.因為在上高等代數(shù)課老師講到數(shù)學(xué)歸納法時講數(shù)學(xué)歸納法有好幾種（查看附錄），我就對這個課題產(chǎn)生了興趣，所以寫了這個課題.數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法有著廣泛的應(yīng)用，它是用來證明與自然數(shù)有關(guān)的命題.而在高等代數(shù)中，行列式的階、多項式的元、矩陣的行與列、線

2、性方程組的未知量、二次型的元、線性空間的維數(shù)均與自然數(shù)有關(guān),因此數(shù)學(xué)歸納法在高等代數(shù)中的應(yīng)用非常重要.本文將第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法在高等代數(shù)中的應(yīng)用做敘述.一數(shù)學(xué)我歸納法概念【18】【19】1第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若（1）在時成立；（2）在（是任意自然數(shù)）成立的假定下，可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立.2第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若，（1）在時成立;（2）在（,其中是任意自然數(shù)）成立的假定下，可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立.二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用（一） 數(shù)學(xué)歸納法在多項式中的應(yīng)用例1 【7】【12】【14】 每個次數(shù)的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一的分

3、解成一次因式與二次不可約因式的乘積.證明：對次數(shù)作第二數(shù)學(xué)歸納法.對一次多項式顯然成立.假設(shè)對次數(shù)的多項式已經(jīng)證明. 設(shè)是次實系數(shù)多項式.有代數(shù)基本定理，有一個復(fù)根.如果是實數(shù),那么，其中是次實系數(shù)多項式.如果不是實數(shù)，那么也是的根且.于是.顯然是一實系數(shù)二次不可約多項式.從而是次實系數(shù)多項式.由歸納法假定，或可以分解成一次與二次不可約多項式的乘積，因之也可以如此分解. 1例2 【9】【10】【17】 已知是不全部為零的多項式,其中 （1），存在多項式，使.證：對用第二數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.假定對個多項式結(jié)論成立，即存在多項式，使 (2)（為的一個公因式）.再證對個多項式結(jié)論也成立.由

4、于（為的一個公因式），故存在，使.把（2）式代入（1）式，得或.其中.例3 【8】設(shè)及為個多項式，而且.證明:.證：對用第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，再對用第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，結(jié)論當(dāng)然成立，因為有.假定時，結(jié)論成立，即有.但是,故由(若得)知，有.即時結(jié)論成立.假定結(jié)論對成立，即有.再根據(jù)時成立的結(jié)論,有,得.即結(jié)論對成立。從而有數(shù)學(xué)歸納法原理知，結(jié)論對任意正整數(shù)均成立.（二） 數(shù)學(xué)歸納法在行列式中的應(yīng)用例4 【6】【9】【13】設(shè)及為數(shù)碼得任意兩個排列.證明：總可以通過對換把一個變成另一個，且若二者奇偶性相反（相同），則必須用奇(偶）數(shù)個對換.證：對數(shù)碼個數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時結(jié)論顯然成立.假定

5、對個數(shù)碼結(jié)論已成立.下證對個也成立.若,則與是個數(shù)碼的排列，按歸納假設(shè)他們可以通過對換互化，亦即與可通過對換互化.如果,設(shè),則通過對換（）化成,它與就是上面情形.所以又可通過對換把化為.又由于對排列每施行一次對換都改變排列的奇偶性，故當(dāng)與的奇偶性相反時，只能通過奇數(shù)個對換把一個變成另一個；而當(dāng)二者奇偶性相同時，只能通過偶數(shù)個對換把一個變成另一個.例5 【14】【17】行列式（1）稱為級的范德蒙德行列式.證明：對任意的，級范德蒙德行列式等于這個數(shù)的所有可能的差的乘積. 我們對作第一數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時，結(jié)論是對的. 設(shè)對于級的范德蒙德行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來看級的情況. 在（1）中，第行減去第行的倍

6、，第行減去第行的倍.也就是由下而上依次的從每一行減去它上一行的倍，有.后面這行列式是一個級的范德蒙德行列式，根據(jù)歸納假設(shè)，它等于所有可能差的乘積；而包含的差全在前面出現(xiàn)了.因之，結(jié)論對級范德蒙德行列式也成立.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，完成了證明.例6 【11】【12】設(shè),證明：=.證：對行列式的階數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時可以直接驗算結(jié)論成立.假定對這樣的階行列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明對階數(shù)為時結(jié)論成立.按的最后一列，把拆成兩個階行列式相加： =.但由歸納假定，從而有= . 例7 證明： 證：對用第一數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時顯然成立.假定對成立，下證對也成立.按第一列把表示成兩個行列式相加，再由歸納假設(shè)即得=.（三）

7、數(shù)學(xué)歸納法在矩陣中的應(yīng)用注：數(shù)學(xué)歸納法不僅可以在證明題中運用還可以在計算題中運用.在計算題中用到時首先用不完全歸納法猜想出結(jié)果，再用數(shù)學(xué)歸納法證明其結(jié)果正確.例 8 【7】【12】【14】計算.解：利用不完全歸納法可猜想到，下面用第一數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時，有，即結(jié)論成立.假設(shè)對于，結(jié)論成立，即.則對于，有.故.例9 【12】【14】設(shè)是一矩陣，求證：可以表成這一類初等矩陣的乘積.證明：用第一數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時，結(jié)論成立. 假定對于結(jié)論成立，可推證當(dāng)時的結(jié)論. 若，則.即可以通過一系列第三種初等變換化成，由于第三種初等變換不改變行列式的值，因此.又是級矩陣，由歸納假設(shè)有，可以用第三種初等變換化成

8、單位矩陣，因而也可以用第三種初等變換化成，這就是說，可以用一系列第三種初等變換化成，所以可以表示成這一類初等矩陣的乘積. 若，則由可知，的第一列至少有一個，不妨設(shè)，則這就化成了的情形，結(jié)論也成立. 綜上，結(jié)論成立.（四）數(shù)學(xué)歸納法在二次型中的應(yīng)用例10 【7】【12】【14】數(shù)域上任意一個二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和的形式.證明：我們對變量的個數(shù)作第二數(shù)學(xué)歸納法. 對于，二次型就是.已經(jīng)是平方和了.現(xiàn)在假定對元的二次型，定理的結(jié)論成立.再設(shè). 分三種情況來討論：1） 中至少有一個不為零，例如.這時 這里是一個的二次型.令即這是一個非退化線性替換，它使.由歸納假定，對有非退化線性替

9、換能使它變成平方和.于是非退化線性替換就使變成即變成平方和了.根據(jù)歸納法原理，得證.2） 所有，但是至少有一，不失普遍性，設(shè).令.它是非退化線性替換，而且使，這時上式右端是的二次型，且的系數(shù)不為零，屬于第一種情況定理成立.3） .由于對稱性，有這時.是元二次型，根據(jù)歸納法假定，它能用非退化線性替換變成平方和.這樣我們就完成了證明.（五） 數(shù)學(xué)歸納法在線性空間中的應(yīng)用例11 【12】設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一個維子空間，是的一組基，那么這組向量必定可擴(kuò)充為整個空間的基.也就是說，在中必定可以找到個向量，使得是的一組基.證明：對維數(shù)差作第一數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)，定理顯然成立，因為已經(jīng)是的基.現(xiàn)在假定時定理

10、成立，我們考慮的情形.既然還不是的一組基，它又是線性無關(guān)的，那么在中必定有一個向量不能被線性表出，把添加進(jìn)去必定是線性無關(guān)的.由于，子空間是維的.因為，由歸納假設(shè)，的基可以擴(kuò)充為整個空間的基.根據(jù)歸納法原理，定理得證.例12 【17】證明：如果集合的代數(shù)運算滿足結(jié)合律，則對中任意個元素，只要不改變元素的前后次序，無論怎樣結(jié)合，其結(jié)果都是相等的.證: 對元素的個數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時，結(jié)論當(dāng)然成立. 假定對元素的個數(shù)少于時結(jié)論成立，來證明對個元素也成立. 令是由元素按某種結(jié)合方法算得的結(jié)果.但由于不論怎樣結(jié)合，其最后一步總是把兩個元素結(jié)合起來，因此可設(shè)，其中是前個元素按某種加括號方法算得的結(jié)

11、果，是后個元素按某一種加括號算得的結(jié)果.由于，故由歸納假定，于是再由結(jié)合律及歸納假定可得 . 這就是說，這個元素?zé)o論怎樣結(jié)合，其結(jié)果都等于，從而它們是相等的.例13 【2】【3】證明下面各組多項式都是次數(shù)低于的多項式空間的基：（1），為定數(shù).（2）.證：（1）因為是維的，故只需證線段無關(guān)即可.對用第二數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，顯然線段無關(guān).假設(shè)個線性無關(guān).設(shè)，取，則上式得.把代入上式后等式兩端約去因式得.按歸納法假設(shè)個線段無關(guān)，所以上式得.因此線性無關(guān)，從而是的一組基. （2）對用第二數(shù)學(xué)歸納法證明線性無關(guān).當(dāng)時，顯然線性無關(guān).假設(shè)個線性無關(guān).設(shè)，（1）比較等式兩端的系數(shù)，得到.把它代入（1）有.由歸

12、納假設(shè)個線段無關(guān)，因此得.于是線性無關(guān).從而是的一組基.例14 【6】【8】設(shè)是線性空間的個非平凡的子空間.證明：中至少有一個向量不屬于中任何一個.證：對用第二數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時，結(jié)論成立.假定對個非平凡的子空間結(jié)論成立，即在中存在向量， 使. 對第個子空間，若向量，結(jié)論已對；若，則由于為非平凡子空間，故存在向量使.對任意數(shù)，向量（如果與矛盾），且對不同的數(shù)，向量不屬于同一個（如果不屬于同一個，則，得與矛盾）. 取個互不相同的數(shù)，則個向量中至少有一個不屬于任何，這樣的向量即滿足要求.（六）數(shù)學(xué)歸納法在線性變換中的應(yīng)用例15 【12】【14】屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.證明：對特征值的

13、個數(shù)作第二數(shù)學(xué)歸納法. 由于特征向量是不為零的，所以單個的特征向量必然線性無關(guān).現(xiàn)在設(shè)屬于個不同特征值的特征向量線性無關(guān)，我們證明屬于個不同特征值的特征向量也線性無關(guān). 假設(shè)關(guān)系式（1）成立.等式兩端乘以，得（2）.（1）式兩端同時施行變換，即有（3）.（3）減去（2）得到.根據(jù)歸納假設(shè)，線性無關(guān)，于是.但，所以.這時（1）式變成.又因為，所以只有.這就證明了線性無關(guān). 根據(jù)歸納法原理，得證.例16 【9】【10】【11】設(shè)是線性空間的線性變換.證明：如果，但，則線性無關(guān).證：對用第一數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，向量組即，當(dāng)然是線性無關(guān)的.假定時結(jié)論成立，下證時成立：即設(shè)，但，即.于是由歸納假設(shè)（1）相

14、性無關(guān).而如果（2）線性相關(guān)，則必可由（1）線性表示，設(shè)，兩邊施以，由于，故得.這與矛盾.故（2）必線性無關(guān).例17 【4】【7】設(shè)是復(fù)數(shù)域上的一個階方陣.證明：復(fù)數(shù)域上任意一個階方陣都與一個上三角矩陣相似.證：對階數(shù)用第一數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時結(jié)論當(dāng)然成立.假定對階結(jié)論成立，證明對階成立.設(shè)為任一階復(fù)方陣，由（）知，存在可逆方陣，使.由于是階復(fù)方陣，故由歸納假設(shè)，存在階可逆方陣，使.從而可逆方陣，使從而得證.（七）數(shù)學(xué)歸納法在-矩陣中的應(yīng)用 例18 【2】【8】【17】設(shè)為特征根是的階若當(dāng)塊，而，證明：.證：可以用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.，其中，而當(dāng)時認(rèn)為.于是.將代入上式后即得的第行第列的元素為.所以

15、.（八）數(shù)學(xué)歸納法在歐幾里得空間里的應(yīng)用例19 【12】維歐式空間中任一個正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基.證明：設(shè)是一正交向量組，我們對作第一數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時，就是一組正交基了. 假設(shè)時結(jié)論成立，也就是說，可以找到向量，使得成為一組正交基. 現(xiàn)在看來的情形.因為，所以一定有向量不能被線性表出，作向量.這里是待定的系數(shù).用與作內(nèi)積，得.取.有.由的選擇可知.因此是一正交向量組，根據(jù)歸納假定，可以擴(kuò)充成一正交基. 于是，命題得證.附錄 四種數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法的表達(dá)形式是有很多，如第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、倒推歸納法和螺旋式歸納法.下面給出四種歸納法的定義.1第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)

16、的命題，若（1）在時成立；（2）在（是任意自然數(shù)）成立的假定下，可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立.2第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若，（1）在時成立;（2）在（,其中是任意自然數(shù)）成立的假定下，可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立.3、倒推歸納法（反向歸納法）：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，若：（1）驗證對于無窮多個自然數(shù)命題成立；（2）假設(shè)成立，并在此基礎(chǔ)上，推出成立；綜合（1）（2），對一切自然數(shù)，命題都成立.4、螺旋式歸納法：對兩個與自然數(shù)有關(guān)的命題，若：（1）驗證時成立；（2）假設(shè)成立，能推出成立，假設(shè)成立，能推出成立；綜合（1）（2），對一切自然數(shù)，都成立.而在本文中主要介紹第一數(shù)學(xué)

17、歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法在高等代數(shù)中的應(yīng)用.所以對與其他的歸納法不作進(jìn)一步的講解. 三、小結(jié) 總之，在高等代數(shù)中還是在其他學(xué)科中，解題證明問題時，我們常用數(shù)學(xué)歸納法證明這些問題,使得在解決問題是顯得思路清晰,又能找出相應(yīng)的遞推關(guān)系,非常湊效.我們常把數(shù)學(xué)歸納法作為解題的一種重要的方法.用數(shù)學(xué)歸納法解決高等代數(shù)中的問題時，讓我們更簡便，更快的解決問題.參考文獻(xiàn)：【1】 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社.1988年.【2】 張賢科，許甫華.高等代數(shù)m.北京：清華大學(xué)出版社.2000年.【3】 李師正.高等代數(shù)復(fù)習(xí)方法與技巧m.北京：高等教育出版社.2005年.【4】 楊子胥.高等代數(shù)

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