平面向量的實(shí)際背景及基本概念 課件(人教A版必修四)

1、第二章平面向量 2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念一、向量的概念和表示方法一、向量的概念和表示方法1.1.向量的兩個(gè)要素向量的兩個(gè)要素:_:_和和_._.2.2.向量的表示向量的表示(1)(1)表示工具表示工具有向線段有向線段. .有向線段的三個(gè)要素有向線段的三個(gè)要素: :_,_,_,_,_._. 大小大小方向方向起點(diǎn)起點(diǎn)方向方向長(zhǎng)度長(zhǎng)度大小大小方向方向(2)(2)表示方法表示方法: : 思考思考: :有向線段就是向量有向線段就是向量, ,向量就是有向線段嗎向量就是有向線段嗎? ?提示：提示：有向線段只是一個(gè)幾何圖形有向線段只是一個(gè)幾何圖形, ,是向量的直觀表示是向量的直觀表示. .因此因此

2、, ,有向線段與向量是完全不同的兩個(gè)概念有向線段與向量是完全不同的兩個(gè)概念. . 二、向量的長(zhǎng)度二、向量的長(zhǎng)度( (或稱?；蚍Q模) )與特殊向量與特殊向量1.1.向量的長(zhǎng)度定義向量的長(zhǎng)度定義: :向量的向量的_._.2.2.向量的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度表示: :向量向量 的長(zhǎng)度記作的長(zhǎng)度記作:_;:_;向量向量a的長(zhǎng)度記作的長(zhǎng)度記作:_.:_.大小大小AB AB | |a| |3.3.特殊向量特殊向量: :思考思考: :零向量的方向是什么零向量的方向是什么? ?兩個(gè)單位向量的方向相同嗎兩個(gè)單位向量的方向相同嗎? ?提示：提示：零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的. .兩個(gè)單位向量的方向不一定相

3、同兩個(gè)單位向量的方向不一定相同. .名稱名稱定義定義零向量零向量_的向量的向量, ,記作記作0單位向量單位向量_的向量的向量長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為0 0長(zhǎng)度等于長(zhǎng)度等于1 1個(gè)單位個(gè)單位三、向量的關(guān)系三、向量的關(guān)系1.1.相等向量相等向量定義定義表示方法表示方法結(jié)論結(jié)論長(zhǎng)度長(zhǎng)度_且方向且方向_的向量的向量向量向量a與與b相等相等, ,記作記作_有向線段表示同一個(gè)向量的條件有向線段表示同一個(gè)向量的條件: :_、_相等相等相同相同a= =b長(zhǎng)度相等長(zhǎng)度相等指向一致指向一致2.2.平行向量平行向量( (也叫共線向量也叫共線向量) )定義定義方向方向_的非零向量的非零向量表示方法表示方法向量向量a平行于向量平行

4、于向量b, ,記作記作_規(guī)定規(guī)定零向量與零向量與_平行平行相同或相反相同或相反ab任一向量任一向量判斷判斷:(:(正確的打正確的打“”,”,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”)”)(1)(1)向量向量 與向量與向量 是相等向量是相等向量.(.() )(2)(2)與實(shí)數(shù)類似與實(shí)數(shù)類似, ,對(duì)于兩個(gè)向量對(duì)于兩個(gè)向量a, ,b有有: :a= =b, ,a b, ,a |b|,|,則則a b. .(2)(2)若若ab, ,則則a= =b. .(3)(3)若若a= =b, ,則則ab. .(4)(4)若若a= =b, ,則則| |a|=|=|b|.|.(5)(5)若若ab, ,則則a與與b不是共線向量不是共線向量,

5、,其中正確說(shuō)法的序號(hào)是其中正確說(shuō)法的序號(hào)是_._.2.2.如圖如圖, D,E,F, D,E,F分別是分別是ABCABC各邊上的中點(diǎn)各邊上的中點(diǎn), ,四邊形四邊形BCMFBCMF是平行四邊形是平行四邊形, ,請(qǐng)分別寫出請(qǐng)分別寫出: :(1)(1)與與 模相等且共線的向量模相等且共線的向量. .(2)(2)與與 相等的向量相等的向量. .【解題探究】【解題探究】1.1.相等向量和共線向量是如何定義的相等向量和共線向量是如何定義的? ?它們之間它們之間有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?兩個(gè)向量能比較大小嗎兩個(gè)向量能比較大小嗎? ?2.2.平行四邊形的對(duì)邊有哪些性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊有哪些性質(zhì)? ?表示共線向量

6、的有向線段所表示共線向量的有向線段所在直線有什么位置關(guān)系在直線有什么位置關(guān)系? ?CMED 探究提示：探究提示：1.1.長(zhǎng)度相等且方向相同的向量是相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量是相等向量. .方向相同或相反的方向相同或相反的向量是共線向量向量是共線向量. .相等向量一定是共線向量相等向量一定是共線向量, ,但共線向量不一但共線向量不一定是相等向量定是相等向量. .兩個(gè)向量不能比較大小兩個(gè)向量不能比較大小. .2.2.平行四邊形的對(duì)邊平行且相等平行四邊形的對(duì)邊平行且相等. .表示共線向量的有向線段所表示共線向量的有向線段所在直線平行或重合在直線平行或重合. .【解析】【解析】1.(1)1.(1

7、)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若若ab, ,則則a與與b的方向不一定相同的方向不一定相同, ,模也不一定相等模也不一定相等, ,故無(wú)法得到故無(wú)法得到a= =b. .(3)(3)正確正確. .若若a= =b, ,則則a與與b的方向相同的方向相同, ,故故ab. .(4)(4)正確正確. .若若a= =b, ,則則a與與b模相等模相等, ,即即| |a|=|=|b|.|.(5)(5)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若若ab, ,則則a與與b有可能模不相等但方向相同有可能模不相等但方向相同, ,所以有所以有可能是共線向量可能是共線向量. .答案答案:

8、:(3)(4)(3)(4)2.(1)2.(1)因?yàn)橐驗(yàn)锽CMFBCMF是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以CMBF.CMBF.因?yàn)橐驗(yàn)镈,ED,E分別是分別是BC,ACBC,AC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,所以所以BFDE.BFDE.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镕 F是是ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,所以與向量所以與向量 模相等且共線的向量有模相等且共線的向量有: : , , , , , , . , , , , , , .(2)(2)由由(1)(1)的分析可知的分析可知, ,與向量與向量 相等的向量有相等的向量有 , , ., , .CMDE ED BFFBFA AF MCED FBAF MC【互動(dòng)探究】【互動(dòng)探究】試在

9、題試在題2 2中寫出與向量中寫出與向量 相等的向量相等的向量. .【解析】【解析】與向量與向量 相等的向量有相等的向量有 , ., .AE AE EC FD 【拓展提升】【拓展提升】1.1.在平面圖形中找出相等向量和平行向量的關(guān)鍵在平面圖形中找出相等向量和平行向量的關(guān)鍵關(guān)鍵是根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)尋找線線的平行關(guān)系和線段關(guān)鍵是根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì)尋找線線的平行關(guān)系和線段之間的長(zhǎng)度相等關(guān)系之間的長(zhǎng)度相等關(guān)系. .2.2.向量平行與直線平行的關(guān)系向量平行與直線平行的關(guān)系兩條直線平行時(shí)兩條直線平行時(shí), ,直線上的有向線段平行直線上的有向線段平行, ,從而有向線段所表從而有向線段所表示的兩個(gè)向量平行

10、示的兩個(gè)向量平行; ;兩個(gè)向量平行時(shí)兩個(gè)向量平行時(shí), ,表示向量的有向線段所表示向量的有向線段所在的直線不一定平行在的直線不一定平行( (可能重合可能重合).).類型類型 三三 向量的幾何表示及應(yīng)用向量的幾何表示及應(yīng)用 【典型例題】【典型例題】1.1.已知已知B,CB,C是線段是線段ADAD的兩個(gè)三等分點(diǎn)的兩個(gè)三等分點(diǎn), ,分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫出和終點(diǎn)最多可以寫出_個(gè)互不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量. .2.2.某人從某人從A A點(diǎn)出發(fā)向東走了點(diǎn)出發(fā)向東走了5 5米到達(dá)米到達(dá)B B點(diǎn)點(diǎn), ,然后改變方向按東北然后改變方向按東北方向走了方向走了10 10

11、 米到達(dá)米到達(dá)C C點(diǎn)點(diǎn), ,到達(dá)到達(dá)C C點(diǎn)后又改變方向向西走了點(diǎn)后又改變方向向西走了1010米到達(dá)米到達(dá)D D點(diǎn)點(diǎn). .(1)(1)作出向量作出向量 , , ., , .(2)(2)求求 的模的模. .2AB BC CD AD 【解題探究】【解題探究】1.1.向量向量 與與 是相等向量嗎是相等向量嗎? ?可以從哪兩個(gè)角可以從哪兩個(gè)角度列出滿足題意的向量度列出滿足題意的向量? ?2.2.用有向線段表示向量時(shí)用有向線段表示向量時(shí), ,向量的兩個(gè)要素是如何表達(dá)出來(lái)的向量的兩個(gè)要素是如何表達(dá)出來(lái)的? ?探究提示：探究提示：1.1.向量向量 與與 是不相等的向量是不相等的向量. .可以從向量的大小和

12、方向兩可以從向量的大小和方向兩個(gè)角度列出滿足題意的向量個(gè)角度列出滿足題意的向量. .2.2.用有向線段表示向量時(shí)用有向線段表示向量時(shí), ,用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的長(zhǎng)度, ,用有向線段的方向表示向量的方向用有向線段的方向表示向量的方向. .BC CB BC CB 【解析】【解析】1.1.設(shè)線段設(shè)線段ADAD的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度是3,3,則長(zhǎng)度為則長(zhǎng)度為1 1的向量有的向量有 共共2 2個(gè)互不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量; ;長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為2 2的向量有的向量有 共共2 2個(gè)互不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量; ;長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為3 3的向的向量有量有 共共2 2個(gè)互

13、不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量, ,綜上知綜上知, ,最多可以寫最多可以寫出出6 6個(gè)互不相等的非零向量個(gè)互不相等的非零向量. .答案答案: :6 6ABBCCD, BACBDC, ACBD, CADB, AD ,DA, 2.(1)2.(1)作出向量作出向量 如圖所示如圖所示: :(2)(2)由題意得由題意得, ,BCDBCD是直角三角形是直角三角形, ,其中其中BDC=90BDC=90, ,BC=10 BC=10 米米,CD=10,CD=10米米, ,所以所以BD=10BD=10米米. .ABDABD是直角三角形是直角三角形, ,其中其中ABD=90ABD=90,AB=5,AB=5米米

14、,BD=10,BD=10米米, ,所以所以 ( (米米).).所以所以 米米. .AB ,BC ,CD 222AD5(10)5 5AD5 5 【拓展提升】【拓展提升】1.1.向量的兩種表示方法向量的兩種表示方法(1)(1)幾何表示法幾何表示法: :先確定向量的起點(diǎn)先確定向量的起點(diǎn), ,再確定向量的方向再確定向量的方向, ,最后最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn). .(2)(2)字母表示法字母表示法: :為了便于運(yùn)算可用字母為了便于運(yùn)算可用字母a, ,b, ,c表示表示, ,為了聯(lián)系為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)平面幾何中的圖形性質(zhì), ,可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與可用

15、表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量終點(diǎn)表示向量, ,如如 等等. .AB, CD, EF 2.2.兩種向量表示方法的作用兩種向量表示方法的作用(1)(1)用幾何表示法表示向量用幾何表示法表示向量, ,便于用幾何研究向量運(yùn)算便于用幾何研究向量運(yùn)算, ,為用向?yàn)橛孟蛄刻幚韼缀螁?wèn)題打下了基礎(chǔ)量處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ). .(2)(2)用字母表示法表示向量用字母表示法表示向量, ,便于向量的運(yùn)算便于向量的運(yùn)算. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】在如圖所示的坐標(biāo)紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為在如圖所示的坐標(biāo)紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,1,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量用直尺和圓規(guī)畫出下列向量: :(1) =3,(1)

16、=3,點(diǎn)點(diǎn)A A在點(diǎn)在點(diǎn)O O正東方向正東方向. .(2) =3,(2) =3,點(diǎn)點(diǎn)B B在點(diǎn)在點(diǎn)O O正西方向正西方向. .(3) = ,(3) = ,點(diǎn)點(diǎn)C C在點(diǎn)在點(diǎn)O O東北方向東北方向. .(4) =2,(4) =2,點(diǎn)點(diǎn)D D在點(diǎn)在點(diǎn)O O西南方向西南方向. .|OA |OB| |OC| |OD| 4 2【解題指南】【解題指南】解答本題一方面要注意向量的長(zhǎng)度解答本題一方面要注意向量的長(zhǎng)度, ,另一方面要另一方面要注意向量的方向注意向量的方向. .【解析】【解析】如圖所示如圖所示. .【易錯(cuò)誤區(qū)】【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)向量有關(guān)概念理解不準(zhǔn)致誤對(duì)向量有關(guān)概念理解不準(zhǔn)致誤【典例】【典例】給出下列

17、六種敘述給出下列六種敘述: :(1)(1)兩個(gè)向量相等兩個(gè)向量相等, ,則它們的起點(diǎn)相同則它們的起點(diǎn)相同, ,終點(diǎn)相同終點(diǎn)相同. .(2)(2)若若| |a|=|=|b|,|,則則a= =b. .(3)(3)若若 則四邊形則四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. .(4)(4)平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中中, ,一定有一定有(5)(5)若若m= =n, ,n= =k, ,則則m= =k. .(6)(6)若若ab, ,bc, ,則則ac. .其中正確的有其中正確的有_(_(填所有正確說(shuō)法的序號(hào)填所有正確說(shuō)法的序號(hào)) )ABDC, ABDC. 【解析】【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)

18、誤. .兩個(gè)向量相等，兩個(gè)向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不一定相同一定相同. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若若| |a|=|=|b| |，則，則a與與b方向未必相同，故方向未必相同，故a與與b不一定不一定相等相等. .(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若若 則則A A，B B，C C，D D四個(gè)點(diǎn)有可能在同一條直線上，四個(gè)點(diǎn)有可能在同一條直線上，所以四邊形所以四邊形ABCDABCD不一定是平行四邊形不一定是平行四邊形. .ABDC ，(4)(4)正確正確. .平行四邊形平行四邊形ABCDABCD中，中，ABDCABDC，AB=DCAB=DC且有向線段且有向線段與與 方向相同，所以方向

19、相同，所以(5)(5)正確正確. .若若m= =n, ,n= =k, ,則則m，k都與都與n長(zhǎng)度相等且方向相同長(zhǎng)度相等且方向相同, ,所所以以m= =k. .(6)(6)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .若若ab，bc，b= =0則則a與與c不一定平行不一定平行. .答案：答案：(4)(5)(4)(5)AB DC ABDC. 【誤區(qū)警示】【誤區(qū)警示】【防范措施】【防范措施】1.1.正確理解向量的有關(guān)概念正確理解向量的有關(guān)概念解答向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要緊扣向量的定義，從向量的大小解答向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要緊扣向量的定義，從向量的大小和方向兩個(gè)角度分析問(wèn)題和方向兩個(gè)角度分析問(wèn)題. .如本例如本例(1)(2)(4)(5)(

20、1)(2)(4)(5)判斷兩個(gè)向量判斷兩個(gè)向量相等，就要判斷方向和長(zhǎng)度兩個(gè)方面是否都相同相等，就要判斷方向和長(zhǎng)度兩個(gè)方面是否都相同. .2.2.明確向量共線和平行與平面幾何中的明確向量共線和平行與平面幾何中的“共線共線”“”“平行平行”的的區(qū)別區(qū)別共線向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的共線向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量向量. .理解時(shí)要注意與平面幾何中的理解時(shí)要注意與平面幾何中的“共線共線”“”“平行平行”的區(qū)別的區(qū)別. .如本例中如本例中(3)(3)的判斷，的判斷， A A，B B，C C，D D四個(gè)點(diǎn)有可能共線四個(gè)點(diǎn)有可能共線. .3.3.重視零向量的特

21、殊性重視零向量的特殊性要特別注意零向量與任意向量平行，如本例對(duì)要特別注意零向量與任意向量平行，如本例對(duì)(6)(6)的判斷若忽的判斷若忽視這一點(diǎn)就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤視這一點(diǎn)就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. .ABDC ，【類題試解】【類題試解】給出下列五種敘述：給出下列五種敘述：(1)(1)向量向量 與與 是共線向量，則是共線向量，則A,B,C,DA,B,C,D四點(diǎn)必在一直線上四點(diǎn)必在一直線上. .(2)(2)單位向量都相等單位向量都相等. .(3)(3)若一個(gè)向量的模為若一個(gè)向量的模為0 0，則該向量的方向不確定，則該向量的方向不確定. .(4)(4)共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)

22、一定不同. .(5)(5)已知非零向量已知非零向量ab，若非零向量，若非零向量ca，則，則cb. .其中正確的有其中正確的有_(_(填所有正確的序號(hào)填所有正確的序號(hào)) )AB CD 【解析】【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .向量向量 與與 是共線向量，則是共線向量，則A A，B B，C C，D D四點(diǎn)在一直線上或四點(diǎn)在一直線上或ABCD.ABCD.(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .單位向量模都相等，但是方向不一定相同單位向量模都相等，但是方向不一定相同. .(3)(3)正確正確. .若一個(gè)向量的模為若一個(gè)向量的模為0 0，則該向量是零向量，其方向不，則該向量是零向量，其方向不確定，是任意的確定，是任意

23、的. .(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)有可能相同共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)有可能相同. .(5)(5)正確正確. .已知非零向量已知非零向量ab，若非零向量，若非零向量ca，則，則b，c與與a方方向相同或相反，所以向相同或相反，所以b與與c方向相同或相反方向相同或相反. .答案：答案：(3)(5)(3)(5)AB CD 1.1.下列各量中不是向量的是下列各量中不是向量的是( () )A.A.浮力浮力 B.B.風(fēng)速風(fēng)速 C.C.位移位移 D.D.密度密度【解析】【解析】選選D.D.浮力、風(fēng)速、位移既有大小又有方向浮力、風(fēng)速、位移既有大小又有方向, ,是向量是向量,

24、,而密度只有大小而密度只有大小, ,是數(shù)量是數(shù)量. .2.2.正正n n邊形有邊形有n n條邊條邊, ,它們對(duì)應(yīng)的向量依次為它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1 1, ,a2 2, ,a3 3, , ,an n, ,則則這這n n個(gè)向量個(gè)向量( () )A.A.都相等都相等 B.B.都共線都共線C.C.都不共線都不共線 D.D.模都相等模都相等【解析】【解析】選選D.D.正正n n邊形邊形n n條邊相等條邊相等, ,故這故這n n個(gè)向量的模相等個(gè)向量的模相等. .故選故選D. D. 3.3.若若a為任一非零向量為任一非零向量, ,b為單位向量為單位向量, ,下列各式下列各式: :(1)|(1)|a|b|.(2)|.(2)ab.(3)|.(3)|a|0.(4)|0.(4)|b|=|=1.1.(5)(5)若若a0 0是與是與a同向的單位向量同向的單位向量, ,則則a0 0= =b. .其中正確的是其中正確的是_._.【解析】【解析】因?yàn)橐?/p>