數(shù)學(xué)建模數(shù)碼相機(jī)定位改

1、數(shù)碼相機(jī)定位摘要隨著數(shù)碼技術(shù)的迅速發(fā)展，數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面得到了泛的應(yīng)用，本文主要基于數(shù)碼相機(jī)的成像模型討論了如何從物平面到像平面的坐標(biāo)變換，來解決對單目定位中靶標(biāo)上一個(gè)特征點(diǎn)（圓心）在一部固定相機(jī)的像平面中的坐標(biāo)以及對雙目定位中由靶標(biāo)上特征點(diǎn)的位置來確定兩部相機(jī)的相對位置。（1）、我們利用幾何知識和針孔成像原理，由MATLAB找出三組點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，從而建立了一個(gè)坐標(biāo)變換模型。（2）、由給出靶標(biāo)和其像，利用問題一建立的模型和MATLAB以及CAD，結(jié)合空間向量的知識得到解決的方案，來確定給出的五個(gè)圓的圓心在其對應(yīng)的像平面的像坐標(biāo):（mm）（3）、由于圖像識別精度，實(shí)際得到

2、的坐標(biāo)是有誤差的，我們可以得到靶標(biāo)上點(diǎn)的像的另外一組坐標(biāo)值，再按問題二的方法就可得到靶標(biāo)上圓的圓心的像的另外一組像坐標(biāo)，與原來的圓心形成的像坐標(biāo)進(jìn)行相對誤差分析，從而檢驗(yàn)問題一中建立的模型的準(zhǔn)確性。（4）、其模型可看成是由兩個(gè)單個(gè)照相機(jī)成像組合而成，根據(jù)成像原理進(jìn)行分析，最后可得到兩個(gè)相機(jī)的相對位置的值關(guān)鍵詞：坐標(biāo)變換 針孔成像 誤差分析 雙目定位 一、問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，

3、分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像

4、精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。 圖 1 靶標(biāo)上圓的像有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，如圖2所示。用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。 圖 2 靶標(biāo)示意圖 圖3 靶標(biāo)的像需要回答的問題：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)

5、像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×768；（3） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ停Ψ椒ǖ木群头€(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。2、 問題分析2.1問題一分析為了解決物平面與像平面可能存在夾角這個(gè)問題，建立三維的空間坐標(biāo)系。在物平面中，首先選出三個(gè)圓，作出每兩個(gè)圓的公切線，組成三角形。使三個(gè)圓切于三角形內(nèi)部。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)就是物平面中三個(gè)定點(diǎn)。在像平面中，找到與之對應(yīng)的圓的像，同樣方法得到對應(yīng)的三個(gè)定點(diǎn)的像。通過相機(jī)成像的原理找到定點(diǎn)與像之間的關(guān)系，再通過物平面可以確定的距離關(guān)系建立方程組，這個(gè)方程組可以解決

6、物與像之間的關(guān)系系數(shù)。然后利用這些系數(shù)再加上空間距離關(guān)系，計(jì)算出物平面上任意一點(diǎn)在像平面上的空間坐標(biāo)。最后利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到該點(diǎn)在像平面上對應(yīng)像的二維坐標(biāo)。2.2問題二分析給出靶標(biāo)和其像，利用問題一建立的模型，結(jié)合空間向量的知識得到解決的方案，來確定給出的五個(gè)圓的圓心在其對應(yīng)的像平面的像坐標(biāo)。2.3問題三分析由于圖像識別精度，實(shí)際得到的坐標(biāo)是有誤差的，我們可以得到靶標(biāo)上點(diǎn)的像的另外一組坐標(biāo)值，再按問題二的方法就可得到靶標(biāo)上圓的圓心的像的另外一組像坐標(biāo)，與原來的圓心形成的像坐標(biāo)進(jìn)行相對誤差分析，從而檢驗(yàn)問題一中建立的模型的準(zhǔn)確性。2.4問題四分析其模型可看成是由兩個(gè)單個(gè)照相機(jī)成像組合而成，根據(jù)成

7、像原理進(jìn)行分析，最后可得到兩個(gè)相機(jī)的相對位置的值。三、問題假設(shè)（1）、忽略鏡頭的非線性畸變等因素，照相機(jī)成像可以用線性針孔成像模型來近似。（2）、物體表面上任一點(diǎn)P經(jīng)連接P點(diǎn)與針孔的直線投影到像平面上P，從而構(gòu)成物體的像。（3）、針孔對應(yīng)于相機(jī)的光學(xué)中心，像平面與光學(xué)中心的距離稱為像距。（4）、假設(shè)相機(jī)本身質(zhì)量良好，所拍攝的圖片在相機(jī)功能良好的情況下拍攝。（5）、假設(shè)題目中所給定的圖片合乎要求，尺寸精度十分準(zhǔn)確。四、變量說明1）：對應(yīng)兩點(diǎn)的距離（ =1,2,3; =1,2,3,4）2）,：待定系數(shù)3），, ，：對應(yīng)點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)(=1,2,3)4) ，：關(guān)系系數(shù)5）：光學(xué)中心到像平面的距離

8、6）r：兩部相機(jī)之間的距離五、模型的建立與求解 5.1 問題一5.1.1問題分析我們知道，任意兩個(gè)圓都存在公切線，當(dāng)相機(jī)成像之后公切線仍然存在，并且這些切線也是相片上那些不規(guī)則圖形的公切線。5.1.2模型建立我們先在物平面上畫取3個(gè)圓，分別取他們之間的三條外公切線組成一個(gè)三角形MNQ。（如圖1）。在像平面中我們也能通過軟件給3個(gè)圓的成像做出3條公切線，這3條線組成的三角形就是像（如圖2）圖（1） 圖（2） 接著我們在像平面上建立二維坐標(biāo)（如圖（3）圖（3）我們知道，三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。在圖2中我們設(shè)在像平面上的坐標(biāo)為 ,。由于x-y平面平行于像平面，建立的二維坐標(biāo)系原點(diǎn)在原三維坐標(biāo)

9、系的z軸上。 故我們可以知道在三維坐標(biāo)系上的坐標(biāo) 。其中，R為像距（即三維坐標(biāo)中心到二維平面的距離）另外，在物平面上 設(shè)。 根據(jù)成像的原理，在三維坐標(biāo)系中 則有關(guān)系： ( =1,2,3) （1.1）所以的坐標(biāo)表示為。計(jì)算，的值。5.1.3模型求解對于靶坐標(biāo)，任何兩點(diǎn)之間的距離都可以通過測量得出，設(shè)測得值|= |= |=則有 (1.2)此方程只有，三個(gè)未知數(shù)，所以能求得解。根據(jù)以上得到的數(shù)據(jù)，給出靶標(biāo)上任意圓的圓心，我們可以測量與之間的距離來確定的坐標(biāo)設(shè)的坐標(biāo)為，到之間的距離分別為=,=,=則有 （1.3）此方程也只有三個(gè)未知數(shù)，所以能求得點(diǎn)坐標(biāo)P。為P在像平面上對應(yīng)的點(diǎn)根據(jù)的共線關(guān)系可得點(diǎn)的坐

10、標(biāo)為而在像平面上，故,所以所以的坐標(biāo)就確定了 （其中，是與，有關(guān)的常數(shù)，=1，2，3）5.2問題二我們來解決實(shí)際問題。我們用AutoCAD打開題目給出的照片文件，然后我們把相片上的不規(guī)則圖形按橢圓擬合在通過CAD上的捕捉切點(diǎn)的功能分別找到3條公切線，并設(shè)這3條公切線的交點(diǎn)為,，如圖（4）: 圖（4）通過CAD上的坐標(biāo)定位，找到,在CAD上的坐標(biāo)，再通過一定的轉(zhuǎn)換把他們的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到像平面上（即以像素為單位）。,在像平面上的坐標(biāo)為（-226.11, 238.802）（223.1317, 201.5533） （-277.2719, -202.0605）另外在物平面上，我們找到間的長度關(guān)系，如下圖（5

11、）： 圖 （5）|MN|= 140.9706 （mm） =532.8689（像素）|MQ|= 140.9706 （mm） =532.8689（像素）|NQ|= 199.3625 （mm） =753.5904（像素）根據(jù)我們上面建立的模型，把以上數(shù)據(jù)帶入方程（1.2）可以算得 （其余數(shù)據(jù)舍去，算法理由在附錄1中給出2）算出在三維坐標(biāo)系上坐標(biāo)（267.8 ,-282.8,-1867.6） (-263.0,-237.5,-1858.5) (275.0, 200.4,-1564.2)由于距離的測量是存在誤差的，這樣用距離公式進(jìn)行計(jì)算，很有可能會(huì)找不到目標(biāo)點(diǎn)，所以我們下面采用向量的方法解決此問題。又根據(jù)

12、幾何向量知識得到：對于任意一點(diǎn)都有： （以和為基底表示）根據(jù)上面公式我們可以求得,所對應(yīng)的，值如下表：表（1）： ()0.08510.29790.79450.79450.0851 ()0.08510.08510.08510.79450.7945()0.82980.61700.1204-0.58900.1204的坐標(biāo)均已求出，故我們可以得到在三維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)如下表：表（2）：坐標(biāo)軸ABCDEx223.2110.3-153.3-148.2228.3y-237.8-228.2-205.7137.1105.0z-1841.0-1839.1-1834.6-1619.3-1625.8 （單位：像素）經(jīng)過

13、MATLAB編程可得到其像的坐標(biāo)為（程序見附錄2）2：表（3）：坐標(biāo)軸x-191.2-94.6131.8144.3-221.5y203.7195.7176.8-133.5-101.8z1577.01577.01577.01577.01577.0 （單位：像素）所以圓心像點(diǎn)在像平面上的二維坐標(biāo)分別為坐標(biāo)軸x-191.2-94.6131.8144.3-221.5y203.7195.7176.8-133.5-101.8 （單位：像素）5.3問題三由于空間中一點(diǎn)我們是以點(diǎn)所在的像素小方格得到他的坐標(biāo)，這樣得到點(diǎn)的坐標(biāo)就會(huì)產(chǎn)生誤差，且和相機(jī)分辨率有關(guān)了，假如圖像識別精度達(dá)到1個(gè)像素級，那么對于空間一物點(diǎn)

14、，設(shè)其在像平面上的第行，第列的像素中。只要該點(diǎn)在該像素內(nèi)，則該點(diǎn)坐標(biāo)即已經(jīng)確定這樣得到誤差有： （3.1）其中分別為對求整以（-226.11, 238.802），（223.1317, 201.5533），（-277.2719, -202.0605）為例，在像平面上坐標(biāo)為（267.8 ,-282.8）則得到坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)之間的誤差由（3.1）式得： （3.2）理想坐標(biāo)與實(shí)際物理坐標(biāo)關(guān)系為：從而得到的理想坐標(biāo)分別為（-226.22，238.614），（222.2634,201.1066）, (-277.5438,-202.1210)在根據(jù)問題2提出的模型可得到新的在像平面上的坐標(biāo)為表（4）：坐標(biāo)軸

15、x-191.4-95.0131.0143.1-221.9y203.5195.4176.4-134.0-102.0z1577.01577.01577.01577.01577.0 （單位：像素）與原來的的坐標(biāo)比較得表（5）：相對誤差0.12%0.39%0.63%0.87%0.17%0.10%0.15%0.22%0.38%0.17%00000（其中表示所求坐標(biāo)與理想坐標(biāo)之間的相對誤差）問題四：其模型可看成是由兩個(gè)單照相機(jī)成像組合而成，其示意圖如圖（6）所示：圖（6）圖（6）中，為經(jīng)過兩光學(xué)中心的光線。確定了他們兩之間的距離r也就固定了兩部相機(jī)的相對位置.兩相機(jī)的像距都是分別為左右相機(jī)的像平面，為物平

16、面上坐標(biāo)點(diǎn)在兩個(gè)像平面上的像?？臻g點(diǎn)與像點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系是一個(gè)三維到二維平面的變換。又三個(gè)點(diǎn)共線得關(guān)系： = (4.1) = (4.2)由小孔成像和三角關(guān)系得到： = (4.3) = (4.4)由（4.1），（4.2），（4.3），（4.4）得：= (4.5)= (4.6)= (4.7)由像平面可以得到,的具體值，又由模型1得到的值，即 , , 已知，由式（4.7）得：= (4.8)即可計(jì)算出的值。備注：根據(jù)Burnelleschi提出的針孔模型，空間任意一點(diǎn)P在圖像上的投影位置為光心O與P點(diǎn)的連線OP與圖像平面的交點(diǎn)。列出透視方程其中（x,y）為的物理圖像坐標(biāo)，（）為空間點(diǎn)P在相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

17、六、模型評價(jià)與分析模型的優(yōu)點(diǎn)：模型一構(gòu)造簡單易懂，具有可行性模型三以反向求解方法得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差較小，顯示了模型的合理性。本模型通過找到公切線交點(diǎn)不會(huì)由于角度問題而在圖像中丟失的特性巧妙的解決了圖像變形問題；利用MATLAB處理了大量的公式計(jì)算，以及繁瑣的坐標(biāo)運(yùn)算；第二問中采取向量的方法避免了求坐標(biāo)時(shí)可能產(chǎn)生無解的錯(cuò)誤。模型的缺點(diǎn)：本模型假設(shè)中把圖像中不規(guī)則圖形近似為橢圓會(huì)使數(shù)據(jù)產(chǎn)生一定誤差，在此問題上如能得到解決數(shù)據(jù)將會(huì)進(jìn)一步精確。具體做法可以采用某種圖像處理工具直接找到不規(guī)則圓滑圖形的切線。過程中的誤差包含了一些內(nèi)部參數(shù)的影響，為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃头椒ǖ耐獠繀?shù)標(biāo)定能力，最好對數(shù)據(jù)進(jìn)行適

18、當(dāng)預(yù)處理。七、參考文獻(xiàn)：【1】許洪范，郭學(xué)軍，一種測距定位儀的數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，第37卷第19期，2007，10【2】宋來忠、王志明，數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)北京：科學(xué)出版社，2005【3】鄭阿奇，MATLAB實(shí)用教程.北京：電子工業(yè)出版社，2007.8八、附錄附錄:附錄1( MATLAB程序)：>> A1=-226.11,238.802,1577;>> B1=223.1317,201.5533,1577;>> C1=-277.2719,-202.0605,1577;>> t=0.6854,0.3146,0;>> h1=-1.1843

19、, -1.1785,-0.9919;>> h2=-1.0348,- 1.1623, -1.1794;>> a=-1.1843, -1.0348;>> b=-1.1785, - 1.1623;>> c=-0.9919, -1.1794;>> A=a'*A1;>> B=b'*B1;>> C=c'*C1;>> H1=A(1,:);B(1,:);C(1,:);>> H2=A(2,:);B(2,:);C(2,:);>> a1=t*H1;>> a2=t*H2;>> g=-84.9284,228.2597,1577;>> o1=a1./g；o1 = -1.1870 -1.1766 -1.1825>> o2=a2./go2 = -0.9276 -1