控制系統(tǒng)數(shù)字仿真第二章習(xí)題答案

1、控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與cad第二章習(xí)題答案2-1 思考題：（1）數(shù)學(xué)模型的微分方程，狀態(tài)方程，傳遞函數(shù)，零極點(diǎn)增益和部分分式五種形式，各有什么特點(diǎn)？（2）數(shù)學(xué)模型各種形式之間為什么要互相轉(zhuǎn)換？（3）控制系統(tǒng)建模的基本方法有哪些？他們的區(qū)別和特點(diǎn)是什么？（4）控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真中的“實(shí)現(xiàn)問題”是什么含意？（5）數(shù)值積分法的選用應(yīng)遵循哪幾條原則？答：（1）微分方程是直接描述系統(tǒng)輸入和輸出量之間的制約關(guān)系，是連續(xù)控制系統(tǒng)其他數(shù)學(xué)模型表達(dá)式的基礎(chǔ)。狀態(tài)方程能夠反映系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)之間的相互關(guān)系，適用于多輸入多輸出系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是零極點(diǎn)形式和部分分式形式的基礎(chǔ)。零極點(diǎn)增益形式可用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。利

2、用部分分式形式可直接分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程。（2）不同的控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法，只適用于特定的數(shù)學(xué)模型形式。（3）控制系統(tǒng)的建模方法大體有三種：機(jī)理模型法，統(tǒng)計(jì)模型法和混合模型法。機(jī)理模型法就是對已知結(jié)構(gòu)，參數(shù)的物理系統(tǒng)運(yùn)用相應(yīng)的物理定律或定理，經(jīng)過合理的分析簡化建立起來的各物理量間的關(guān)系。該方法需要對系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性完全的了解，精度高。統(tǒng)計(jì)模型法是采用歸納的方法，根據(jù)系統(tǒng)實(shí)測的數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)規(guī)律和系統(tǒng)辨識(shí)等理論建立的系統(tǒng)模型。該方法建立的數(shù)學(xué)模型受數(shù)據(jù)量不充分，數(shù)據(jù)精度不一致，數(shù)據(jù)處理方法的不完善，很難在精度上達(dá)到更高的要求。混合法是上述兩種方法的結(jié)合。（4）“實(shí)現(xiàn)問題”就是根據(jù)建立的數(shù)學(xué)

3、模型和精度，采用某種數(shù)值計(jì)算方法，將模型方程轉(zhuǎn)換為適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行的公式和方程，通過計(jì)算來使之正確的反映系統(tǒng)各變量動(dòng)態(tài)性能，得到可靠的仿真結(jié)果。（5）數(shù)值積分法應(yīng)該遵循的原則是在滿足系統(tǒng)精度的前提下，提高數(shù)值運(yùn)算的速度和并保證計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定。2-2.用matlab語言求下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)、零極點(diǎn)增益、和部分分式形式的模型參數(shù)，并分別寫出其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式：(1) g（s）= (2) =y=0 2 0 2 x（1） 解：（1）狀態(tài)方程模型參數(shù):編寫matlab程序如下 >> num=1 7 24 24;>> den=1 10 35 50 24;>&g

4、t; a b c d=tf2ss(num,den) 得到結(jié)果：a=,b=,c=,d=0所以模型為: =x+u,y=x (2) 零極點(diǎn)增益:編寫程序 >> num=1 7 24 24;>> den=1 10 35 50 24;>> z p k=tf2zp(num,den)得到結(jié)果z= -2.7306 + 2.8531 , -2.7306 - 2.8531i ,-1.5388 p= -4, -3 ,-2 ,-1 k=1 (3) 部分分式形式:編寫程序>> num=1 7 24 24;>> den=1 10 35 50 24; >&g

5、t; r p h=residue(num,den) 得到結(jié)果r= 4.0000 ,-6.0000, 2.0000, 1.0000 p= -4.0000, -3.0000 , -2.0000 ,-1.0000 h= g(s)=（2）解：（1）傳遞函數(shù)模型參數(shù)：編寫程序>> a=2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75； >> b=4 2 2 0' >> c=0 2 0 2;>> d=0;>> num den=s

6、s2tf(a,b,c,d) 得到結(jié)果num = 0 4.0000 14.0000 22.0000 15.0000den =1.0000 4.0000 6.2500 5.2500 2.2500 (2) 零極點(diǎn)增益模型參數(shù):編寫程序>> a=2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75； >> b=4 2 2 0' >> c=0 2 0 2;>> d=0; >> z,p,k=ss2zp(a,b,c,d) 得到結(jié)果z

7、=-1.0000 + 1.2247i -1.0000 - 1.2247i -1.5000p= -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.5000 -1.5000 k = 4.0000 表達(dá)式 （3）部分分式形式的模型參數(shù)：編寫程序>> a=2.25 -5 -1.25 -0.52.25 -4.25 -1.25 -0.250.25 -0.5 -1.25 -11.25 -1.75 -0.25 -0.75； >> b=4 2 2 0' >> c=0 2 0 2;>> d=0;>> num den=s

8、s2tf(a,b,c,d) >> r,p,h=residue(num,den) 得到結(jié)果r = 4.0000 -0.0000 0.0000 - 2.3094i 0.0000 + 2.3094ip = -1.5000 -1.5000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660ih =2-3.用歐拉法求下面系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)在0t1上，h=0.1時(shí)的數(shù)值。 要求保留4位小數(shù)，并將結(jié)果與真解比較。解：歐拉法（前向歐拉法,可以自啟動(dòng)）其幾何意義：把f(t,y)在區(qū)間內(nèi)的曲邊面積用矩形面積近似代替。利用matlab提供的m文件編程，得到算法公式。如下所示（1）

9、m文件程序?yàn)?h=0.1;disp('函數(shù)的數(shù)值解為'); %顯示 中間的文字%disp('y='); %同上%y=1;for t=0:h:1 m=y; disp(y); %顯示y的當(dāng)前值% y=m-m*h;end保存文件q2.m 在matalb命令行中鍵入>> q2 得到結(jié)果 函數(shù)的數(shù)值解為y= 1 0.9000 0.8100 0.7290 0.6561 0.5905 0.5314 0.4783 0.4305 0.3874 0.3487（2）另建一個(gè)m 文件求解在t0,1的數(shù)值 （ %是的真解%）程序?yàn)閔=0.1;disp('函數(shù)的離散時(shí)刻

10、解為');disp('y=');for t=0:h:1 y=exp(-t); disp(y);end 保存文件q3.m在matalb命令行中鍵入>> q3 函數(shù)的離散時(shí)刻解為y= 1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679比較歐拉方法求解與真值的差別歐拉10.90000.81000.72900.65610.59050.53140.47830.43050.38740.3487真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.496

11、60.44930.40660.3679誤差0-0.0048-0.00070.01180.01420.01600.01740.01830.0188-0.0192-0.0192顯然誤差與為同階無窮小，歐拉法具有一階計(jì)算精度，精度較低，但算法簡單。2-4用二階龍格庫塔法求解2-3的數(shù)值解，并于歐拉法求得的結(jié)果比較。解：我們經(jīng)常用到 預(yù)報(bào)-校正法 的二階龍-格庫塔法， 此方法可以自啟動(dòng)，具有二階計(jì)算精度，幾何意義：把f(t,y)在區(qū)間內(nèi)的曲邊面積用上下底為和、高為h的梯形面積近似代替。利用matlab提供的m文件編程，得到算法公式。如下所示 （1）m文件程序?yàn)?h=0.1;disp('函數(shù)的數(shù)

12、值解為');disp('y=');y=1;for t=0:h:1 disp(y); k1=-y; k2=-(y+k1*h); y=y+(k1+k2)*h/2;end 保存文件q4.m在matlab的命令行中鍵入 >> q4 顯示結(jié)果為 函數(shù)的數(shù)值解為y= 1 0.9050 0.8190 0.7412 0.6708 0.6071 0.5494 0.4972 0.4500 0.4072 0.3685（2） 比較歐拉法與二階龍格-庫塔法求解.（誤差為絕對值）真值10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.4

13、0660.3679龍庫10.90500.81900.74120.67080.60710.54940.49720.45000.40720.3685誤差00.00020.00030.00040.00050.00060.00060.00060.00070.00060.0006明顯誤差為得同階無窮小，具有二階計(jì)算精度，而歐拉法具有以階計(jì)算精度，二階龍格-庫塔法比歐拉法計(jì)算精度高。2-5用四階龍格-庫塔法求解題2-3數(shù)值解，并與前兩題結(jié)果相比較。解：四階龍格-庫塔法表達(dá)式，其截?cái)嗾`差為同階無窮小，當(dāng)h步距取得較小時(shí)，誤差是很小的. (1)編輯m文件程序h=0.1;disp('四階龍格-庫塔方法求

14、解函數(shù)數(shù)值解為');disp('y=');y=1;for t=0:h:1 disp(y); k1=-y; k2=-(y+k1*h/2); k3=-(y+k2*h/2); k4=-(y+k3*h); y=y+(k1+2*k2+2*k3+k4)*h/6;end 保存文件q5.m 在matlab命令行里鍵入>> q5得到結(jié)果 四階龍格-庫塔方法求解函數(shù)數(shù)值解為y= 1 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 (2)比較這幾種方法： 對于四階龍格-庫塔方法 真值10.

15、90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679龍庫10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679誤差00000000000顯然四階龍格-庫塔法求解精度很高，基本接近真值。三種方法比較可以得到精度（四階 ） 精度（二階） 精度（歐拉）2-6已知二階系統(tǒng)狀態(tài)方程為寫出取計(jì)算步長為h時(shí)，該系統(tǒng)狀態(tài)變量x=的四階龍格-庫塔法遞推關(guān)系式。解：四階龍格-庫塔法表達(dá)式所以狀態(tài)變量的遞推公式可以寫作： a=,b=,可以寫成則遞推形式2-7單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)已

16、知如下 用matlab語句 、函數(shù)求取系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)，并求取系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。解：已知開環(huán)傳遞函數(shù)，求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 在matlab命令行里鍵入>> a=1 0;>> b=1 4.6;>> c=1 3.4 16.35;>> d=conv(a,b)；>> e=conv(d,c)e = 1.0000 8.0000 31.9900 75.2100 0>> f=0 0 0 5 100;>> g=e+fg = 1.0000 8.0000 31.9900 80.2100 100.0000%以上是計(jì)算閉環(huán)傳

17、遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式%>> p=roots(g) %計(jì)算特征多項(xiàng)式的根，就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)%p =-0.9987 + 3.0091i -0.9987 - 3.0091i -3.0013 + 0.9697i -3.0013 - 0.9697i>> m=5 100;>> z=roots(m)z = -20 %計(jì)算零點(diǎn)% 綜上：當(dāng)閉環(huán)傳函形如時(shí)，可控標(biāo)準(zhǔn)型為：； 所以可控標(biāo)準(zhǔn)型是2-8用matlab語言編制單變量系統(tǒng)三階龍格-庫塔法求解程序，程序入口要求能接收狀態(tài)方程各系數(shù)陣（a,b,c,d）,和輸入階躍函數(shù)r(t)=r*1(t);程序出口應(yīng)給出輸出量y（t）的

18、動(dòng)態(tài)響應(yīng)數(shù)值解序列。解：m文件為：function y=hs(a,b,c,d,r,t,h) %t為觀測時(shí)間,h為計(jì)算步長，r為輸入信號幅值%disp('數(shù)值解為');y=0;r=r;x=0;0;0;0;n=t/h;for t=1:n; k1=a*x+b*r; k2=a*(x+h*k1/3)+b*r; k3=a*(x+2*h*k2/3)+b*r;x=x+h*(k1+3*k3)/4;y(t)=c*x+d*r;end在命令行里鍵入a= b= c= d= r= t= h=y=hs(a,b,c,d,r,t,h) 得到結(jié)果。2-9用題2-8仿真程序求解題2-7系統(tǒng)的閉環(huán)輸出響應(yīng)y(t).解

19、：a=,b=,c=,d=0在命令行里鍵入>> a=0 1 0 00 0 1 00 0 0 1-100 -80.21 -31.99 -8;>> b=0 0 0 1'>> c=-100 5 0 0;>> d=0;>> t=1;>> r=1;>> h=0.01;>> y=hs(a,b,c,d,r,t,h)數(shù)值解為 0 8.3333e-007 5.8659e-006 1.8115e-005 3.9384e-005 7.0346e-005。 %僅取一部分%2-10.用式（2-34）梯形法求解試驗(yàn)方程，

20、分析對計(jì)算步長h有何限制，說明h對數(shù)值穩(wěn)定性的影響。解：編寫梯形法程序?yàn)榈玫?穩(wěn)定系統(tǒng)最終漸進(jìn)收斂。系統(tǒng)穩(wěn)定則 計(jì)算得。h的選取不能超出上述范圍，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。2-11如圖2-27所示斜梁滾球系統(tǒng)，若要研究滾球在梁上的位置可控性，需首先建立其數(shù)學(xué)模型，已知力矩電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩m與其電流i成正比，橫梁為均勻可自平衡梁（即當(dāng)電機(jī)不通電且無滾球時(shí)，橫梁可處于=0的水平狀態(tài)），是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并給出簡化后系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：設(shè)球的質(zhì)心到桿的距離為0，該系統(tǒng)為特殊情況下的球棒系統(tǒng)。另令分別表示棒的慣量、球的質(zhì)量和球的慣量。則球質(zhì)心的位置和速度為其中，。因而動(dòng)能的移動(dòng)部分為因而動(dòng)能的移動(dòng)部分為 球棒系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為 因而，系統(tǒng)總的動(dòng)能等于其中為常數(shù)。此系統(tǒng)的拉格朗日方程組為綜合以上公式的系統(tǒng)的方程組為設(shè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近，則系統(tǒng)方程可化為對上式進(jìn)行拉普拉斯變換并化簡后